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【例1】为了解学生的身体状况，提高学生的体育锻炼意识和能力，某学校七年级(1)班抽取了8名同学组成一组，并进行了体质健康测试，以40 kg为标准体重(其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数)，制成了下面的表格：
(1)表中哪几位同学的体重超出标准体重？
(2)表中哪位同学的体重最符合标准体重，要想了解同学的体重情况，除了判断正负数，还要考虑什么？据此进一步分析该小组同学的整体体重情况.
(3)结合(1)(2)，你想对该小组同学说什么？
(1)表中哪几位同学的体重超出标准体重？
(2)表中哪位同学的体重最符合标准体重，要想了解同学的体重情况，除了判断正负数，还要考虑什么？据此进一步分析该小组同学的整体体重情况.
(3)结合(1)(2)，你想对该小组同学说什么？
答案
解：
(1) 体重情况数值为正数的是编号1、3、7、8的同学，因此这四位同学的体重超出标准体重。
(2) 计算各体重情况对应数值的绝对值：
$|+5|=5$，$|-0.5|=0.5$，$|+10|=10$，$|-4|=4$，$|-3.5|=3.5$，$|-8|=8$，$|+1|=1$，$|+15|=15$
其中绝对值最小的是0.5，对应编号2的同学，因此2号同学的体重最符合标准体重。
除了判断正负数，还要考虑对应数值的绝对值，也就是实际体重和标准体重的差值大小。
将所有体重情况的数值求和：
$+5 - 0.5 + 10 - 4 - 3.5 - 8 + 1 + 15 = 15\ \mathrm{kg}$
该小组8名同学的体重与标准体重的总差值为$+15\ \mathrm{kg}$，平均每人超出标准体重$15÷8=1.875\ \mathrm{kg}$，整体平均体重为$40+1.875=41.875\ \mathrm{kg}$，整体体重略高于标准体重，但个体体重和标准体重的差值差距很大，体重分布不均衡。
(3) 建议体重远超标准的同学日常加强体育锻炼，合理控制饮食，避免体重过重；体重远低于标准的同学注意补充营养，规律作息，将体重调整到合理区间，全体同学都要重视体质健康，尽量让体重保持在标准值附近，提升身体素质。
(1) 体重情况数值为正数的是编号1、3、7、8的同学，因此这四位同学的体重超出标准体重。
(2) 计算各体重情况对应数值的绝对值：
$|+5|=5$，$|-0.5|=0.5$，$|+10|=10$，$|-4|=4$，$|-3.5|=3.5$，$|-8|=8$，$|+1|=1$，$|+15|=15$
其中绝对值最小的是0.5，对应编号2的同学，因此2号同学的体重最符合标准体重。
除了判断正负数，还要考虑对应数值的绝对值，也就是实际体重和标准体重的差值大小。
将所有体重情况的数值求和：
$+5 - 0.5 + 10 - 4 - 3.5 - 8 + 1 + 15 = 15\ \mathrm{kg}$
该小组8名同学的体重与标准体重的总差值为$+15\ \mathrm{kg}$，平均每人超出标准体重$15÷8=1.875\ \mathrm{kg}$，整体平均体重为$40+1.875=41.875\ \mathrm{kg}$，整体体重略高于标准体重，但个体体重和标准体重的差值差距很大，体重分布不均衡。
(3) 建议体重远超标准的同学日常加强体育锻炼，合理控制饮食，避免体重过重；体重远低于标准的同学注意补充营养，规律作息，将体重调整到合理区间，全体同学都要重视体质健康，尽量让体重保持在标准值附近，提升身体素质。
解析
【分析】
(1) 题目规定超出标准体重记为正数，不足记为负数，因此只需找出体重情况为正数对应的编号，即可得到体重超出标准的同学。
(2) 体重最符合标准即与标准体重的差值最小，绝对值对应本题就是实际体重和标准体重的差值大小，因此计算各体重情况数值的绝对值，绝对值最小的对应的同学就是最符合标准的；分析整体体重情况时，先计算所有体重差值的总和，再求平均差值，即可判断整体平均体重和标准体重的关系，同时观察个体差值的差异，就能判断体重分布是否均衡。
(3) 结合前两问得到的体重超重、偏轻的情况，以及整体体重的特点，给出合理的健康建议即可。
【解析】
(1) 观察表格中的体重情况数值，正数代表超出标准体重，其中+5、+10、+1、+15为正数，对应编号1、3、7、8，因此这四位同学的体重超出标准体重。
(2) 计算各体重情况数值的绝对值：
$|+5|=5$，$|-0.5|=0.5$，$|+10|=10$，$|-4|=4$，$|-3.5|=3.5$，$|-8|=8$，$|+1|=1$，$|+15|=15$
其中最小的绝对值是0.5，对应编号2的同学，因此2号同学的体重最符合标准体重。
除了判断正负数，还要考虑数值的绝对值，也就是实际体重和标准体重的差值大小。
计算所有体重差值的总和：
$+5 - 0.5 + 10 - 4 - 3.5 - 8 + 1 + 15 = 15\ \mathrm{kg}$
8名同学平均与标准体重的差值为$15÷8=1.875\ \mathrm{kg}$，因此小组平均体重为$40+1.875=41.875\ \mathrm{kg}$，整体体重略高于标准体重，但个体体重和标准体重的差值差距较大，体重分布不均衡。
(3) 体重远超标准的同学日常可加强体育锻炼，合理控制饮食，避免体重过重；体重远低于标准的同学注意补充营养，规律作息，将体重调整到合理区间，全体同学都要重视体质健康，尽量让体重保持在标准值附近，提升身体素质。
【答案】
(1) 编号1、3、7、8的同学体重超出标准体重。
(2) 编号2的同学体重最符合标准体重；除了判断正负数，还要考虑对应数值的绝对值（即实际体重和标准体重的差值大小）；该小组整体平均体重略高于标准体重，个体体重差值差距大，体重分布不均衡。
(3) 建议体重偏高的同学加强锻炼、合理饮食，体重偏低的同学补充营养、规律作息，全体同学重视体质健康，保持体重在合理区间。（表述合理即可）
【知识点】
正负数的实际应用，绝对值的意义，有理数加减运算
【点评】
本题结合体质健康的生活场景出题，既考察了正负数、绝对值、有理数运算的基础知识点，又引导学生运用数学知识分析解决生活实际问题，兼具知识性和实用性。
【难度系数】
0.8
(1) 题目规定超出标准体重记为正数，不足记为负数，因此只需找出体重情况为正数对应的编号，即可得到体重超出标准的同学。
(2) 体重最符合标准即与标准体重的差值最小，绝对值对应本题就是实际体重和标准体重的差值大小，因此计算各体重情况数值的绝对值，绝对值最小的对应的同学就是最符合标准的；分析整体体重情况时，先计算所有体重差值的总和，再求平均差值，即可判断整体平均体重和标准体重的关系，同时观察个体差值的差异，就能判断体重分布是否均衡。
(3) 结合前两问得到的体重超重、偏轻的情况，以及整体体重的特点，给出合理的健康建议即可。
【解析】
(1) 观察表格中的体重情况数值，正数代表超出标准体重，其中+5、+10、+1、+15为正数，对应编号1、3、7、8，因此这四位同学的体重超出标准体重。
(2) 计算各体重情况数值的绝对值：
$|+5|=5$，$|-0.5|=0.5$，$|+10|=10$，$|-4|=4$，$|-3.5|=3.5$，$|-8|=8$，$|+1|=1$，$|+15|=15$
其中最小的绝对值是0.5，对应编号2的同学，因此2号同学的体重最符合标准体重。
除了判断正负数，还要考虑数值的绝对值，也就是实际体重和标准体重的差值大小。
计算所有体重差值的总和：
$+5 - 0.5 + 10 - 4 - 3.5 - 8 + 1 + 15 = 15\ \mathrm{kg}$
8名同学平均与标准体重的差值为$15÷8=1.875\ \mathrm{kg}$，因此小组平均体重为$40+1.875=41.875\ \mathrm{kg}$，整体体重略高于标准体重，但个体体重和标准体重的差值差距较大，体重分布不均衡。
(3) 体重远超标准的同学日常可加强体育锻炼，合理控制饮食，避免体重过重；体重远低于标准的同学注意补充营养，规律作息，将体重调整到合理区间，全体同学都要重视体质健康，尽量让体重保持在标准值附近，提升身体素质。
【答案】
(1) 编号1、3、7、8的同学体重超出标准体重。
(2) 编号2的同学体重最符合标准体重；除了判断正负数，还要考虑对应数值的绝对值（即实际体重和标准体重的差值大小）；该小组整体平均体重略高于标准体重，个体体重差值差距大，体重分布不均衡。
(3) 建议体重偏高的同学加强锻炼、合理饮食，体重偏低的同学补充营养、规律作息，全体同学重视体质健康，保持体重在合理区间。（表述合理即可）
【知识点】
正负数的实际应用，绝对值的意义，有理数加减运算
【点评】
本题结合体质健康的生活场景出题，既考察了正负数、绝对值、有理数运算的基础知识点，又引导学生运用数学知识分析解决生活实际问题，兼具知识性和实用性。
【难度系数】
0.8
【例2】小明和小华玩一个猜数游戏，游戏规则如下：
(1)小明在1~100的整数里默想一个数并记住；
(2)小华对小明默想的数提出一个猜想数，小明比较这个数和自己心中所想的数的大小，然后回答“大了”“小了”或者“相等”，若“相等”，则说明小华猜中；
(3)若小华没有猜中，则根据小明的回答，调整猜想数；
(4)重复步骤(2)(3)，直到猜中。
若小明默想的数是20，小华如何猜想才能更快地猜中？
(1)小明在1~100的整数里默想一个数并记住；
(2)小华对小明默想的数提出一个猜想数，小明比较这个数和自己心中所想的数的大小，然后回答“大了”“小了”或者“相等”，若“相等”，则说明小华猜中；
(3)若小华没有猜中，则根据小明的回答，调整猜想数；
(4)重复步骤(2)(3)，直到猜中。
若小明默想的数是20，小华如何猜想才能更快地猜中？
答案
解：
采用每次选取当前剩余数区间中间整数的策略缩小猜测范围，具体猜想步骤如下：
1. 第1次猜1~100的中间数50，小明回答“大了”，确定目标数在1~49之间；
2. 第2次猜1~49的中间数25，小明回答“大了”，确定目标数在1~24之间；
3. 第3次猜1~24的中间数12，小明回答“小了”，确定目标数在13~24之间；
4. 第4次猜13~24的中间数18，小明回答“小了”，确定目标数在19~24之间；
5. 第5次猜19~24的中间数21，小明回答“大了”，确定目标数在19~20之间；
6. 第6次猜20，即可猜中。
该方法每次将待排查的数范围缩小一半，是最快猜中的策略。
答：小华每次选择当前剩余数范围的中间整数作为猜想数，按照上述逐步缩小范围的方式猜想，即可用最少的次数快速猜中20。
采用每次选取当前剩余数区间中间整数的策略缩小猜测范围，具体猜想步骤如下：
1. 第1次猜1~100的中间数50，小明回答“大了”，确定目标数在1~49之间；
2. 第2次猜1~49的中间数25，小明回答“大了”，确定目标数在1~24之间；
3. 第3次猜1~24的中间数12，小明回答“小了”，确定目标数在13~24之间；
4. 第4次猜13~24的中间数18，小明回答“小了”，确定目标数在19~24之间；
5. 第5次猜19~24的中间数21，小明回答“大了”，确定目标数在19~20之间；
6. 第6次猜20，即可猜中。
该方法每次将待排查的数范围缩小一半，是最快猜中的策略。
答：小华每次选择当前剩余数范围的中间整数作为猜想数，按照上述逐步缩小范围的方式猜想，即可用最少的次数快速猜中20。
解析
【分析】
要最快猜中目标数，核心是每次猜测后尽可能缩小待排查的数字范围，最优思路是每次选择当前剩余数字区间的中间数作为猜想数：如果小明回答“大了”，说明目标数比中间数小，就可以排除中间数及更大的所有数；如果回答“小了”，就排除中间数及更小的所有数，每次都能把待排查范围缩小近一半，相比随机猜测效率高很多，按照这个思路逐步缩小范围就能最快找到目标数20。
【解析】
采用每次选取当前剩余数区间中间整数的策略缩小猜测范围，具体猜想步骤如下：
1. 第1次猜1~100的中间数50，小明回答“大了”，确定目标数在1~49之间；
2. 第2次猜1~49的中间数25，小明回答“大了”，确定目标数在1~24之间；
3. 第3次猜1~24的中间数12，小明回答“小了”，确定目标数在13~24之间；
4. 第4次猜13~24的中间数18，小明回答“小了”，确定目标数在19~24之间；
5. 第5次猜19~24的中间数21，小明回答“大了”，确定目标数在19~20之间；
6. 第6次猜20，即可猜中。
该方法每次将待排查的数范围缩小一半，是最快猜中的策略。
【答案】
小华每次选择当前剩余数范围的中间整数作为猜想数，按照上述逐步缩小范围的方式猜想，即可用最少的次数快速猜中20。
【知识点】
最优策略，区间排查，逻辑推理
【点评】
这道题将数学策略融入趣味游戏场景，贴近生活趣味性强，能够很好地锻炼逻辑思维能力，掌握这种对半缩小范围的方法，也可以用来解决其他类似的范围排查类问题。
【难度系数】
0.7
要最快猜中目标数，核心是每次猜测后尽可能缩小待排查的数字范围，最优思路是每次选择当前剩余数字区间的中间数作为猜想数：如果小明回答“大了”，说明目标数比中间数小，就可以排除中间数及更大的所有数；如果回答“小了”，就排除中间数及更小的所有数，每次都能把待排查范围缩小近一半，相比随机猜测效率高很多，按照这个思路逐步缩小范围就能最快找到目标数20。
【解析】
采用每次选取当前剩余数区间中间整数的策略缩小猜测范围，具体猜想步骤如下：
1. 第1次猜1~100的中间数50，小明回答“大了”，确定目标数在1~49之间；
2. 第2次猜1~49的中间数25，小明回答“大了”，确定目标数在1~24之间；
3. 第3次猜1~24的中间数12，小明回答“小了”，确定目标数在13~24之间；
4. 第4次猜13~24的中间数18，小明回答“小了”，确定目标数在19~24之间；
5. 第5次猜19~24的中间数21，小明回答“大了”，确定目标数在19~20之间；
6. 第6次猜20，即可猜中。
该方法每次将待排查的数范围缩小一半，是最快猜中的策略。
【答案】
小华每次选择当前剩余数范围的中间整数作为猜想数，按照上述逐步缩小范围的方式猜想，即可用最少的次数快速猜中20。
【知识点】
最优策略，区间排查，逻辑推理
【点评】
这道题将数学策略融入趣味游戏场景，贴近生活趣味性强，能够很好地锻炼逻辑思维能力，掌握这种对半缩小范围的方法，也可以用来解决其他类似的范围排查类问题。
【难度系数】
0.7
1.有一种零件的尺寸是$300\pm5$(单位:mm)，则下列零件尺寸不合格的是().
A.295 mm
B.298 mm
C.304 mm
D.310 mm
A.295 mm
B.298 mm
C.304 mm
D.310 mm
答案
D
解析
【分析】
要判断零件尺寸是否合格，首先需要明确标注$300\pm5\mathrm{mm}$的含义：它表示零件的标准尺寸是300mm，允许的尺寸误差范围是上下浮动5mm，即合格尺寸的最小值为$300-5$，最大值为$300+5$，算出合格尺寸的区间后，再逐一对比选项中的尺寸是否在区间内即可。
【解析】
首先计算合格零件的尺寸范围：
最小合格尺寸：$300 - 5 = 295(\mathrm{mm})$
最大合格尺寸：$300 + 5 = 305(\mathrm{mm})$
因此合格零件的尺寸需满足$295\mathrm{mm} ≤ 尺寸 ≤ 305\mathrm{mm}$。
逐一核对选项：
A.295mm刚好等于最小合格尺寸，属于合格尺寸；
B.298mm在295~305mm范围内，属于合格尺寸；
C.304mm在295~305mm范围内，属于合格尺寸；
D.310mm大于305mm，超出合格范围，属于不合格尺寸。
【答案】
D
【知识点】
正负数的实际应用；有理数的加减运算
【点评】
本题结合生产实际考查正负数的含义，属于基础题型，解题关键是正确理解“±”所代表的误差范围含义，结合简单的加减运算即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要判断零件尺寸是否合格，首先需要明确标注$300\pm5\mathrm{mm}$的含义：它表示零件的标准尺寸是300mm，允许的尺寸误差范围是上下浮动5mm，即合格尺寸的最小值为$300-5$，最大值为$300+5$，算出合格尺寸的区间后，再逐一对比选项中的尺寸是否在区间内即可。
【解析】
首先计算合格零件的尺寸范围：
最小合格尺寸：$300 - 5 = 295(\mathrm{mm})$
最大合格尺寸：$300 + 5 = 305(\mathrm{mm})$
因此合格零件的尺寸需满足$295\mathrm{mm} ≤ 尺寸 ≤ 305\mathrm{mm}$。
逐一核对选项：
A.295mm刚好等于最小合格尺寸，属于合格尺寸；
B.298mm在295~305mm范围内，属于合格尺寸；
C.304mm在295~305mm范围内，属于合格尺寸；
D.310mm大于305mm，超出合格范围，属于不合格尺寸。
【答案】
D
【知识点】
正负数的实际应用；有理数的加减运算
【点评】
本题结合生产实际考查正负数的含义，属于基础题型，解题关键是正确理解“±”所代表的误差范围含义，结合简单的加减运算即可快速求解。
【难度系数】
0.9
2. 手机信号的强度(单位:dBm)通常采用负数来表示,绝对值越小表示信号越强,则下列数值中,表示信号最强的是().
A.－50
B.－60
C.－70
D.－80
A.－50
B.－60
C.－70
D.－80
答案
A
解析
【分析】
首先提取题目关键信息：手机信号强度为负数，绝对值越小信号越强，因此解题的核心是找到四个选项中绝对值最小的数。我们可以先根据绝对值的性质分别计算四个负数的绝对值，再比较绝对值的大小，最小的绝对值对应的数就是信号最强的。
【解析】
根据题意，信号强度的绝对值越小，信号越强。
先计算各选项数值的绝对值：
A. $\vert -50\vert = 50$
B. $\vert -60\vert = 60$
C. $\vert -70\vert = 70$
D. $\vert -80\vert = 80$
比较绝对值大小可得：$50 ＜ 60 ＜ 70 ＜ 80$，因此$-50$的绝对值最小，对应的信号最强。
【答案】
A
【知识点】
1. 绝对值的运算
2. 有理数大小比较
【点评】
本题结合生活场景考查有理数的基础性质，只要读懂题干给出的对应规则，将实际问题转化为有理数绝对值比较的数学问题即可快速求解。
【难度系数】
0.9
首先提取题目关键信息：手机信号强度为负数，绝对值越小信号越强，因此解题的核心是找到四个选项中绝对值最小的数。我们可以先根据绝对值的性质分别计算四个负数的绝对值，再比较绝对值的大小，最小的绝对值对应的数就是信号最强的。
【解析】
根据题意，信号强度的绝对值越小，信号越强。
先计算各选项数值的绝对值：
A. $\vert -50\vert = 50$
B. $\vert -60\vert = 60$
C. $\vert -70\vert = 70$
D. $\vert -80\vert = 80$
比较绝对值大小可得：$50 ＜ 60 ＜ 70 ＜ 80$，因此$-50$的绝对值最小，对应的信号最强。
【答案】
A
【知识点】
1. 绝对值的运算
2. 有理数大小比较
【点评】
本题结合生活场景考查有理数的基础性质，只要读懂题干给出的对应规则，将实际问题转化为有理数绝对值比较的数学问题即可快速求解。
【难度系数】
0.9
