登录
5.下列几何体中不能由平面图形绕某条直线旋转一周得到的是().
答案
C
解析
【分析】
解题时依据“面动成体”的原理，先回忆常见旋转体的形成规律，再逐一分析每个选项的几何体：旋转得到的几何体必然含有曲面（或本身由曲面围成），而全由平面围成的棱柱类多面体无法通过平面旋转得到，据此判断即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 球可由半圆绕其直径所在的直线旋转一周得到，不符合题意；
B. 该几何体上部分为圆锥、下部分为圆柱，可将直角三角形和矩形的一条直角边重合，绕这条公共边所在直线为轴旋转一周得到，不符合题意；
C. 该几何体是三棱柱，所有面都是平面，不存在曲面，无法由平面图形绕某条直线旋转一周得到，符合题意；
D. 圆台可由直角梯形绕其垂直于两底的腰所在的直线旋转一周得到，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
面动成体；旋转体特征；几何体识别
【点评】
本题主要考查平面图形旋转形成几何体的相关知识，需要掌握常见旋转体的形成过程，能准确区分旋转体和多面体的特点。
【难度系数】
0.8
解题时依据“面动成体”的原理，先回忆常见旋转体的形成规律，再逐一分析每个选项的几何体：旋转得到的几何体必然含有曲面（或本身由曲面围成），而全由平面围成的棱柱类多面体无法通过平面旋转得到，据此判断即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 球可由半圆绕其直径所在的直线旋转一周得到，不符合题意；
B. 该几何体上部分为圆锥、下部分为圆柱，可将直角三角形和矩形的一条直角边重合，绕这条公共边所在直线为轴旋转一周得到，不符合题意；
C. 该几何体是三棱柱，所有面都是平面，不存在曲面，无法由平面图形绕某条直线旋转一周得到，符合题意；
D. 圆台可由直角梯形绕其垂直于两底的腰所在的直线旋转一周得到，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
面动成体；旋转体特征；几何体识别
【点评】
本题主要考查平面图形旋转形成几何体的相关知识，需要掌握常见旋转体的形成过程，能准确区分旋转体和多面体的特点。
【难度系数】
0.8
6.下列平面图形沿虚线旋转一周,可以得到如图所示的几何体的是().
A
B
C
D
A
B
C
D
答案
B
解析
【分析】
解题时首先回忆“面动成体”的核心知识点：平面图形绕固定轴旋转一周会形成对应的立体图形。第一步先拆解目标几何体：它是两个底面大小相同、互相重合的圆锥组成的组合体；第二步回忆基础旋转体的形成规律：单个圆锥是直角三角形绕它的一条直角边旋转一周得到的；第三步推导目标几何体对应的平面图形：要得到两个底面重合的圆锥，需要两个以旋转轴（虚线）为公共直角边、另一条直角边长度相等的直角三角形组合而成，最后对应选项筛选即可。
【解析】
根据“面动成体”的原理，逐一分析各选项旋转后的结果：
1. 首先明确目标几何体的构成：它是由两个底面大小相等、完全重合的圆锥组成的组合体。
2. 分析选项：
选项A：旋转后得到单个圆锥，与目标几何体不符；
选项B：图形由两个以虚线为公共直角边、另一条直角边长度相等的直角三角形组成，绕虚线旋转一周后，两个直角三角形各形成一个圆锥，且两个圆锥的底面重合，与目标几何体一致；
选项C：旋转后得到圆柱或圆台类几何体，与目标几何体不符；
选项D：旋转后得到球或其他不规则旋转体，与目标几何体不符。
综上，符合要求的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
面动成体、圆锥的形成、旋转体识别
【点评】
本题考查平面图形旋转形成立体图形的相关知识，需要同学们熟悉常见基础立体图形的旋转来源，遇到组合类旋转体时，可以先将立体图形拆分为基础立体，再分别对应旋转前的平面部分，能有效降低解题难度。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆“面动成体”的核心知识点：平面图形绕固定轴旋转一周会形成对应的立体图形。第一步先拆解目标几何体：它是两个底面大小相同、互相重合的圆锥组成的组合体；第二步回忆基础旋转体的形成规律：单个圆锥是直角三角形绕它的一条直角边旋转一周得到的；第三步推导目标几何体对应的平面图形：要得到两个底面重合的圆锥，需要两个以旋转轴（虚线）为公共直角边、另一条直角边长度相等的直角三角形组合而成，最后对应选项筛选即可。
【解析】
根据“面动成体”的原理，逐一分析各选项旋转后的结果：
1. 首先明确目标几何体的构成：它是由两个底面大小相等、完全重合的圆锥组成的组合体。
2. 分析选项：
选项A：旋转后得到单个圆锥，与目标几何体不符；
选项B：图形由两个以虚线为公共直角边、另一条直角边长度相等的直角三角形组成，绕虚线旋转一周后，两个直角三角形各形成一个圆锥，且两个圆锥的底面重合，与目标几何体一致；
选项C：旋转后得到圆柱或圆台类几何体，与目标几何体不符；
选项D：旋转后得到球或其他不规则旋转体，与目标几何体不符。
综上，符合要求的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
面动成体、圆锥的形成、旋转体识别
【点评】
本题考查平面图形旋转形成立体图形的相关知识，需要同学们熟悉常见基础立体图形的旋转来源，遇到组合类旋转体时，可以先将立体图形拆分为基础立体，再分别对应旋转前的平面部分，能有效降低解题难度。
【难度系数】
0.7
7.圆柱的底面与侧面相交形成的线有条，是线；圆锥的侧面与底面相交形成条线，是线；圆柱和圆锥的侧面都是面，底面都是面。
答案
解：圆柱的底面与侧面相交形成的线有2条，是曲线；圆锥的侧面与底面相交形成1条线，是曲线；圆柱和圆锥的侧面都是曲面，底面都是平面。
解析
【分析】
解题时结合“面与面相交得到线”的基础知识点，先回忆圆柱、圆锥的结构特征逐一推导：①圆柱有上下2个完全相同的圆形平面底面，侧面是曲面，每个底面和侧面各形成1条交线，因此交线共2条，交线为圆形，属于曲线；②圆锥只有1个圆形平面底面，侧面是曲面，因此底面和侧面仅形成1条交线，形状也是圆形，属于曲线；③再根据面的分类判断：平整无弧度的面是平面，有弧度的面是曲面，即可确定侧面和底面的面的类型。
【解析】
我们根据圆柱、圆锥的结构特征逐一分析：
1. 圆柱有2个平行的圆形平面底面，侧面为曲面，上下底面分别与侧面相交，共形成2条交线，交线形状是圆，属于曲线；
2. 圆锥只有1个圆形平面底面，侧面为曲面，底面与侧面相交仅形成1条交线，交线形状是圆，属于曲线；
3. 圆柱和圆锥的侧面有弧度，属于曲面；底面是平整的圆形，属于平面。
【答案】
2；曲；1；曲；曲；平
【知识点】
面与面相交成线；圆柱的特征；圆锥的特征
【点评】
本题考查常见立体图形的结构特征与点线面体的基础关系，属于概念类基础题，熟练掌握圆柱、圆锥的构成特点即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时结合“面与面相交得到线”的基础知识点，先回忆圆柱、圆锥的结构特征逐一推导：①圆柱有上下2个完全相同的圆形平面底面，侧面是曲面，每个底面和侧面各形成1条交线，因此交线共2条，交线为圆形，属于曲线；②圆锥只有1个圆形平面底面，侧面是曲面，因此底面和侧面仅形成1条交线，形状也是圆形，属于曲线；③再根据面的分类判断：平整无弧度的面是平面，有弧度的面是曲面，即可确定侧面和底面的面的类型。
【解析】
我们根据圆柱、圆锥的结构特征逐一分析：
1. 圆柱有2个平行的圆形平面底面，侧面为曲面，上下底面分别与侧面相交，共形成2条交线，交线形状是圆，属于曲线；
2. 圆锥只有1个圆形平面底面，侧面为曲面，底面与侧面相交仅形成1条交线，交线形状是圆，属于曲线；
3. 圆柱和圆锥的侧面有弧度，属于曲面；底面是平整的圆形，属于平面。
【答案】
2；曲；1；曲；曲；平
【知识点】
面与面相交成线；圆柱的特征；圆锥的特征
【点评】
本题考查常见立体图形的结构特征与点线面体的基础关系，属于概念类基础题，熟练掌握圆柱、圆锥的构成特点即可快速作答。
【难度系数】
0.9
8.如图,有一长a cm,宽b cm的长方形纸板,将它分别绕其两条对称轴旋转半周,得到两个几何体.
(1)按这两种方式得到的几何体是;
(2)当$a=8\ \mathrm{cm},b=6\ \mathrm{cm}$时,请通过计算说明哪种方式得到的几何体体积大;
(3)若按照方式①得到的几何体的体积是按照方式②得到的几何体的体积的$n$倍,则$a$与$b$之间的数量关系为.
(1)按这两种方式得到的几何体是;
(2)当$a=8\ \mathrm{cm},b=6\ \mathrm{cm}$时,请通过计算说明哪种方式得到的几何体体积大;
(3)若按照方式①得到的几何体的体积是按照方式②得到的几何体的体积的$n$倍,则$a$与$b$之间的数量关系为.
答案
解：
(1) 圆柱
(2) 方式①得到的圆柱底面半径为$\frac{a}{2}\ \mathrm{cm}$，高为$b\ \mathrm{cm}$，体积为：
$V_1=π·(\frac{a}{2})^2· b=\frac{π a^2 b}{4}$
将$a=8\ \mathrm{cm}$，$b=6\ \mathrm{cm}$代入，得$V_1=\frac{π×8^2×6}{4}=96π\ \mathrm{cm}^3$。
方式②得到的圆柱底面半径为$\frac{b}{2}\ \mathrm{cm}$，高为$a\ \mathrm{cm}$，体积为：
$V_2=π·(\frac{b}{2})^2· a=\frac{π a b^2}{4}$
将$a=8\ \mathrm{cm}$，$b=6\ \mathrm{cm}$代入，得$V_2=\frac{π×8×6^2}{4}=72π\ \mathrm{cm}^3$。
因为$96π＞72π$，所以方式①得到的几何体体积更大。
(3) $a=nb$
(1) 圆柱
(2) 方式①得到的圆柱底面半径为$\frac{a}{2}\ \mathrm{cm}$，高为$b\ \mathrm{cm}$，体积为：
$V_1=π·(\frac{a}{2})^2· b=\frac{π a^2 b}{4}$
将$a=8\ \mathrm{cm}$，$b=6\ \mathrm{cm}$代入，得$V_1=\frac{π×8^2×6}{4}=96π\ \mathrm{cm}^3$。
方式②得到的圆柱底面半径为$\frac{b}{2}\ \mathrm{cm}$，高为$a\ \mathrm{cm}$，体积为：
$V_2=π·(\frac{b}{2})^2· a=\frac{π a b^2}{4}$
将$a=8\ \mathrm{cm}$，$b=6\ \mathrm{cm}$代入，得$V_2=\frac{π×8×6^2}{4}=72π\ \mathrm{cm}^3$。
因为$96π＞72π$，所以方式①得到的几何体体积更大。
(3) $a=nb$
解析
【分析】
(1) 依据“面动成体”的原理，长方形是平面图形，绕其对称轴旋转半周后会形成立体图形，结合旋转特征可直接判断几何体类型。
(2) 计算旋转得到的几何体体积，首先要明确两种旋转方式对应圆柱的底面半径和高：方式①绕平行于宽的对称轴旋转，底面半径为长的一半$\frac{a}{2}$，高等于长方形的宽$b$；方式②绕平行于长的对称轴旋转，底面半径为宽的一半$\frac{b}{2}$，高等于长方形的长$a$。再根据圆柱体积公式分别计算体积，代入数值后比较大小即可。
(3) 根据“方式①的体积是方式②的$n$倍”列出等量关系，代入两个体积表达式化简，即可得到$a$和$b$的数量关系。
【解析】
(1) 长方形绕对称轴旋转半周，得到的几何体是圆柱。
(2) 方式①得到的圆柱：底面半径为$\frac{a}{2}\ \mathrm{cm}$，高为$b\ \mathrm{cm}$，根据圆柱体积公式$V=πr^2h$，体积为：
$V_1=π·(\frac{a}{2})^2· b=\frac{π a^2 b}{4}$
将$a=8\ \mathrm{cm}$，$b=6\ \mathrm{cm}$代入，得$V_1=\frac{π×8^2×6}{4}=96π\ \mathrm{cm}^3$。
方式②得到的圆柱：底面半径为$\frac{b}{2}\ \mathrm{cm}$，高为$a\ \mathrm{cm}$，体积为：
$V_2=π·(\frac{b}{2})^2· a=\frac{π a b^2}{4}$
将$a=8\ \mathrm{cm}$，$b=6\ \mathrm{cm}$代入，得$V_2=\frac{π×8×6^2}{4}=72π\ \mathrm{cm}^3$。
因为$96π＞72π$，所以方式①得到的几何体体积更大。
(3) 由题意得$V_1=nV_2$，即$\frac{πa^2b}{4}=n·\frac{πab^2}{4}$，两边同时除以不为0的$\frac{πab}{4}$，化简得$a=nb$。
【答案】
(1) 圆柱
(2) 方式①得到的几何体体积更大
(3) $a=nb$
【知识点】
面动成体、圆柱体积计算、等式化简
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题型，既考查了对平面图形旋转形成立体图形的认知，也考查了圆柱体积计算和代数式化简的能力，解题的核心是不要混淆两种旋转方式对应的底面半径和高。
【难度系数】
0.75
(1) 依据“面动成体”的原理，长方形是平面图形，绕其对称轴旋转半周后会形成立体图形，结合旋转特征可直接判断几何体类型。
(2) 计算旋转得到的几何体体积，首先要明确两种旋转方式对应圆柱的底面半径和高：方式①绕平行于宽的对称轴旋转，底面半径为长的一半$\frac{a}{2}$，高等于长方形的宽$b$；方式②绕平行于长的对称轴旋转，底面半径为宽的一半$\frac{b}{2}$，高等于长方形的长$a$。再根据圆柱体积公式分别计算体积，代入数值后比较大小即可。
(3) 根据“方式①的体积是方式②的$n$倍”列出等量关系，代入两个体积表达式化简，即可得到$a$和$b$的数量关系。
【解析】
(1) 长方形绕对称轴旋转半周，得到的几何体是圆柱。
(2) 方式①得到的圆柱：底面半径为$\frac{a}{2}\ \mathrm{cm}$，高为$b\ \mathrm{cm}$，根据圆柱体积公式$V=πr^2h$，体积为：
$V_1=π·(\frac{a}{2})^2· b=\frac{π a^2 b}{4}$
将$a=8\ \mathrm{cm}$，$b=6\ \mathrm{cm}$代入，得$V_1=\frac{π×8^2×6}{4}=96π\ \mathrm{cm}^3$。
方式②得到的圆柱：底面半径为$\frac{b}{2}\ \mathrm{cm}$，高为$a\ \mathrm{cm}$，体积为：
$V_2=π·(\frac{b}{2})^2· a=\frac{π a b^2}{4}$
将$a=8\ \mathrm{cm}$，$b=6\ \mathrm{cm}$代入，得$V_2=\frac{π×8×6^2}{4}=72π\ \mathrm{cm}^3$。
因为$96π＞72π$，所以方式①得到的几何体体积更大。
(3) 由题意得$V_1=nV_2$，即$\frac{πa^2b}{4}=n·\frac{πab^2}{4}$，两边同时除以不为0的$\frac{πab}{4}$，化简得$a=nb$。
【答案】
(1) 圆柱
(2) 方式①得到的几何体体积更大
(3) $a=nb$
【知识点】
面动成体、圆柱体积计算、等式化简
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题型，既考查了对平面图形旋转形成立体图形的认知，也考查了圆柱体积计算和代数式化简的能力，解题的核心是不要混淆两种旋转方式对应的底面半径和高。
【难度系数】
0.75
9.(几何直观、空间观念)如图,小军和小红分别以直角梯形的上底和下底为轴,将梯形旋转一周,得到甲、乙两个立体图形.
(1)你同意的说法；
(2)甲、乙两个立体图形的体积比是多少？
(1)你同意的说法；
(2)甲、乙两个立体图形的体积比是多少？
答案
解：
(1) 小红
(2) 由题意得，旋转形成的圆柱和圆锥的底面半径均为3 cm：
甲的体积为底面半径3 cm、高6 cm的圆柱体积减去底面半径3 cm、高$6-3=3\ \mathrm{cm}$的圆锥体积：
$\begin{aligned}V_甲&=π × 3^2 × 6 - \frac{1}{3} × π × 3^2 × 3\\&=54π - 9π\\&=45π\ (\mathrm{cm}^3)\end{aligned}$
乙的体积为底面半径3 cm、高3 cm的圆柱体积加上底面半径3 cm、高$6-3=3\ \mathrm{cm}$的圆锥体积：
$\begin{aligned}V_乙&=π × 3^2 × 3 + \frac{1}{3} × π × 3^2 × 3\\&=27π + 9π\\&=36π\ (\mathrm{cm}^3)\end{aligned}$
因此甲、乙两个立体图形的体积比为$45π:36π=5:4$。
答：甲、乙两个立体图形的体积比是$5:4$。
(1) 小红
(2) 由题意得，旋转形成的圆柱和圆锥的底面半径均为3 cm：
甲的体积为底面半径3 cm、高6 cm的圆柱体积减去底面半径3 cm、高$6-3=3\ \mathrm{cm}$的圆锥体积：
$\begin{aligned}V_甲&=π × 3^2 × 6 - \frac{1}{3} × π × 3^2 × 3\\&=54π - 9π\\&=45π\ (\mathrm{cm}^3)\end{aligned}$
乙的体积为底面半径3 cm、高3 cm的圆柱体积加上底面半径3 cm、高$6-3=3\ \mathrm{cm}$的圆锥体积：
$\begin{aligned}V_乙&=π × 3^2 × 3 + \frac{1}{3} × π × 3^2 × 3\\&=27π + 9π\\&=36π\ (\mathrm{cm}^3)\end{aligned}$
因此甲、乙两个立体图形的体积比为$45π:36π=5:4$。
答：甲、乙两个立体图形的体积比是$5:4$。
解析
【分析】
解决第一问时，首先判断两种旋转方式的差异：旋转轴分别是直角梯形的上底和下底，旋转后得到的立体图形组成结构不同，体积必然不相等，因此小红的说法正确。解决第二问的思路是：先拆分甲、乙两个立体图形的结构，甲是高6cm的圆柱挖去一个高3cm的圆锥，乙是高3cm的圆柱加上一个高3cm的圆锥，二者的圆柱、圆锥底面半径均为3cm，再分别代入体积公式计算，最后化简体积比即可。
【解析】
(1) 由于以不同边为轴旋转得到的立体图形组成不同，体积不相等，因此同意小红的说法。
(2) 旋转形成的所有圆柱、圆锥的底面半径均为3cm：
① 计算甲的体积：甲的体积等于底面半径3cm、高6cm的圆柱体积，减去底面半径3cm、高$6-3=3\ \mathrm{cm}$的圆锥体积：
$\begin{aligned}V_甲&=π × 3^2 × 6 - \frac{1}{3} × π × 3^2 × 3\\&=54π - 9π\\&=45π\ (\mathrm{cm}^3)\end{aligned}$
② 计算乙的体积：乙的体积等于底面半径3cm、高3cm的圆柱体积，加上底面半径3cm、高$6-3=3\ \mathrm{cm}$的圆锥体积：
$\begin{aligned}V_乙&=π × 3^2 × 3 + \frac{1}{3} × π × 3^2 × 3\\&=27π + 9π\\&=36π\ (\mathrm{cm}^3)\end{aligned}$
③ 计算体积比：$V_甲:V_乙=45π:36π=5:4$
【答案】
(1) 小红；(2) $5:4$
【知识点】
面动成体；圆柱圆锥体积计算；比的化简
【点评】
本题重点考查空间想象能力，需要准确判断平面图形绕不同轴旋转后形成的立体图形的组成，计算时注意区分两种旋转方式是添加圆锥还是挖去圆锥，避免混淆立体图形的结构导致计算错误。
【难度系数】
0.65
解决第一问时，首先判断两种旋转方式的差异：旋转轴分别是直角梯形的上底和下底，旋转后得到的立体图形组成结构不同，体积必然不相等，因此小红的说法正确。解决第二问的思路是：先拆分甲、乙两个立体图形的结构，甲是高6cm的圆柱挖去一个高3cm的圆锥，乙是高3cm的圆柱加上一个高3cm的圆锥，二者的圆柱、圆锥底面半径均为3cm，再分别代入体积公式计算，最后化简体积比即可。
【解析】
(1) 由于以不同边为轴旋转得到的立体图形组成不同，体积不相等，因此同意小红的说法。
(2) 旋转形成的所有圆柱、圆锥的底面半径均为3cm：
① 计算甲的体积：甲的体积等于底面半径3cm、高6cm的圆柱体积，减去底面半径3cm、高$6-3=3\ \mathrm{cm}$的圆锥体积：
$\begin{aligned}V_甲&=π × 3^2 × 6 - \frac{1}{3} × π × 3^2 × 3\\&=54π - 9π\\&=45π\ (\mathrm{cm}^3)\end{aligned}$
② 计算乙的体积：乙的体积等于底面半径3cm、高3cm的圆柱体积，加上底面半径3cm、高$6-3=3\ \mathrm{cm}$的圆锥体积：
$\begin{aligned}V_乙&=π × 3^2 × 3 + \frac{1}{3} × π × 3^2 × 3\\&=27π + 9π\\&=36π\ (\mathrm{cm}^3)\end{aligned}$
③ 计算体积比：$V_甲:V_乙=45π:36π=5:4$
【答案】
(1) 小红；(2) $5:4$
【知识点】
面动成体；圆柱圆锥体积计算；比的化简
【点评】
本题重点考查空间想象能力，需要准确判断平面图形绕不同轴旋转后形成的立体图形的组成，计算时注意区分两种旋转方式是添加圆锥还是挖去圆锥，避免混淆立体图形的结构导致计算错误。
【难度系数】
0.65
