1.(眉山市中考)如图，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，则∠ACD的度数为（）

A.70°
B.100°
C.110°
D.140°

1.C

【分析】
解题时首先根据已知条件AB=AC判断△ABC为等腰三角形，结合等腰三角形“等边对等角”的性质可得两个底角∠B与∠ACB相等；再利用三角形内角和为180°，结合已知顶角∠A的度数，即可计算出底角∠ACB的度数；最后观察图形可知∠ACD与∠ACB为邻补角，也可利用三角形外角的性质，即可求出∠ACD的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，∠B=∠ACB。
∵△ABC内角和为180°，∠A=40°，
∴$∠ ACB=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-40°}{2}=70°$。
∵点B、C、D在同一直线上，∠ACB与∠ACD互为邻补角，
∴$∠ ACD=180°-∠ ACB=180°-70°=110°$。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，邻补角的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查等腰三角形的性质和三角形角度的计算，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

2.(湖南省中考)若等腰三角形的一个底角的度数为$40°$,则它的顶角的度数为°.

2. 100

【分析】
解题思路：首先明确已知条件为等腰三角形的一个底角是40°，要求顶角度数。第一步回忆等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角度数相等，可得到另一个底角的度数；第二步回忆三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180°，用内角和减去两个底角的度数和，即可求出顶角的度数。
【解析】
解：
∵ 等腰三角形的两个底角相等，已知一个底角为40°
∴ 该等腰三角形的另一个底角也为40°
又
∵ 三角形的内角和为180°
∴ 顶角的度数 = 180° - 40° - 40° = 100°
【答案】
100
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础题型，重点考查等腰三角形的基本性质和三角形内角和定理的直接应用，熟练掌握相关基础知识点即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9

3.(教材第145页例1变式)如图,已知AD=AE,AB=AC,∠1=∠2=110°,∠BAC=80°,求∠CAE的度数.

3. 解:
∵AD=AE,AB=AC,
∴△ADE和△ABC是等腰三角形.
∴∠B=∠C,∠ADE=∠AED.
∵∠1=∠2=110°,
∴∠ADE=∠AED=70°.
∴∠DAE=180°-2×70°=40°.
∵∠1=∠2=110°,∠B=∠C,
∴∠BAD=∠EAC.
∵∠BAC=80°.
∴∠BAD = ∠EAC = (∠BAC - ∠DAE)÷2=20°.

【分析】
解题时先从已知的边相等条件入手，利用等腰三角形“等边对等角”的性质得到对应底角相等；再结合∠1、∠2的度数，先求出△ADE的两个底角，利用三角形内角和算出∠DAE的度数；接下来通过角的和差关系得到∠BAD与∠CAE的和，再证明两个角相等，即可求出∠CAE的度数。
【解析】
解：
∵AD=AE，AB=AC，
∴△ADE和△ABC都是等腰三角形，
∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED。
∵∠1=∠2=110°，∠1与∠ADE互为邻补角，∠2与∠AED互为邻补角，
∴∠ADE=∠AED=180°-110°=70°。
在△ADE中，根据三角形内角和为180°，
得∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=180°-2×70°=40°。
在△ABD和△ACE中，∠BAD=180°-∠B-∠1，∠CAE=180°-∠C-∠2，
又
∵∠B=∠C，∠1=∠2，
∴∠BAD=∠CAE。
∵∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠CAE=80°，
∴∠BAD+∠CAE=80°-∠DAE=80°-40°=40°，
∴∠CAE=40°÷2=20°。
【答案】
20°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，邻补角的性质
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题型，解题时需要结合角的和差关系、等腰三角形等边对等角的性质逐步推导，核心是先求出中间角∠DAE的度数，再利用角的等量关系求解目标角。
【难度系数】
0.7

4.(泰安市中考)如图，直线$l // m$，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若$∠ ABE=21°$，则$∠ ACD$的度数是（）

A.$45°$
B.$39°$
C.$29°$
D.$21°$

4.B

【分析】
解题时先回忆等边三角形和平行线的相关性质：首先等边三角形的三个内角均为60°，其次两直线平行时同旁内角互补。我们可以先拆分∠EBC和∠BCD两个角，结合平行线同旁内角和为180°的性质，将已知角度和等边三角形的内角度数代入，即可求出∠ACD的度数。
【解析】
∵ △ABC是等边三角形
∴ ∠ABC = ∠ACB = 60°
∵ 直线$l//m$
∴ ∠EBC + ∠BCD = 180°（两直线平行，同旁内角互补）
又
∵ ∠EBC = ∠ABE + ∠ABC，∠BCD = ∠ACB + ∠ACD
∴ ∠ABE + ∠ABC + ∠ACB + ∠ACD = 180°
将∠ABE=21°，∠ABC=60°，∠ACB=60°代入得：
$21° + 60° + 60° + ∠ACD = 180°$
解得：$∠ACD = 180° - 141° = 39°$
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的性质；平行线的性质；角的和差计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是结合平行线和等边三角形的性质进行角度推导，解题时注意准确拆分组合相关角，避免混淆角的组成即可轻松解答。
【难度系数】
0.7

5.如图，D，E分别是等边三角形ABC的边BC，CA延长线上的点，且CD=AE，连接AD，BE.求证：BE=AD.

5. 证明:
∵△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=∠ACB=60°,AB=AC.
∴∠BAE=∠ACD=120°. 在△ABE和△CAD中,
$\begin{cases}AE=CD,\\∠BAE=∠ACD,\\BA=AC,\end{cases}$
∴△ABE≌△CAD. (SAS),
∴BE=AD.

【分析】
要证明两条线段相等，常用方法是证明两条线段所在的三角形全等。首先结合等边三角形的性质，可得到边相等AB=AC、内角为60°，由此可推出两个三角形的夹角∠BAE和∠ACD均为120°，再结合已知条件CD=AE，刚好满足SAS的全等判定条件，证明△ABE和△CAD全等后，根据全等三角形对应边相等即可得到BE=AD的结论。
【解析】
证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，AB=AC，
∴∠BAE=∠ACD=120°。
在△ABE和△CAD中，
$\begin{cases}AE=CD,\\∠BAE=∠ACD,\\BA=AC,\end{cases}$
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴BE=AD。
【答案】
证明过程如上，可证得BE=AD。
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的SAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础证明题，核心考查全等三角形的应用，解题关键是结合等边三角形的性质，找到待证线段所在三角形的全等判定条件，是三角形章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.8

6.等腰三角形的一个外角是$100°$,则它的底角为.

6. 80°或 50°

【分析】
解决这道题要结合等腰三角形性质、三角形内外角关系和内角和定理，核心是要分类讨论：题目未明确100°的外角是对应顶角还是底角，所以需要分两种情况计算，最后验证结果是否符合三角形内角要求。首先先算出与外角相邻的内角度数，再分别假设这个内角是顶角或底角，结合等腰三角形两底角相等的性质计算底角即可。
【解析】
解：
∵等腰三角形的一个外角为100°，
∴与该外角相邻的内角度数为$180° - 100° = 80°$，分两种情况讨论：
① 当$80°$为等腰三角形的顶角时：
底角$=(180° - 80°)÷2 = 50°$；
② 当$80°$为等腰三角形的底角时：
此时顶角为$180° - 80°×2 = 20°$，符合三角形内角和规则，底角为$80°$。
综上，该等腰三角形的底角为$80°$或$50°$。
【答案】
$80°$或$50°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形外角性质
【点评】
本题易错点是忽略分类讨论导致漏解，解题时对于未明确对应角的外角，要考虑到对应顶角、底角两种可能，计算后需验证结果是否符合三角形内角的相关要求，避免出现不符合内角和规则的错误。
【难度系数】
0.6

7. 如图，已知$△ ABC$是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且$CG=CD$，$DF=DE$，则$∠ E$的度数为 （）

A.$25°$
B.$20°$
C.$15°$
D.$7.5°$

第7题图 第8题图

7.C

【分析】
解题时先从已知的等边三角形入手，首先利用等边三角形内角为60°的性质得到∠ACB的度数，进而求出其邻补角∠ACD的度数；再结合CG=CD的条件，利用等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理算出∠CDG的度数；接着根据点共线的特点求出∠FDE的度数；最后结合DF=DE的条件，再次用等腰三角形性质和内角和定理即可求出∠E的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-60°=120°，
∵CG=CD，
∴△CGD为等腰三角形，∠CGD=∠CDG，
∴∠CDG=(180°-∠ACD)÷2=(180°-120°)÷2=30°，
∵点C、D、E在同一直线上，
∴∠FDE=180°-∠CDG=180°-30°=150°，
又
∵DF=DE，
∴△DFE为等腰三角形，∠E=∠DFE，
∴∠E=(180°-∠FDE)÷2=(180°-150°)÷2=15°。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题，需要灵活运用等边、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行角度的逐步推导，解题时要注意相邻角之间的数量关系，避免角度换算出错。
【难度系数】
0.7

8.(重庆市中考)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ A=36°$,$BD$平分$∠ ABC$交$AC$于点$D$.若$BC=2$,则$AD$的长度为.

8.2

【分析】
解题时先利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合已知的顶角∠A的度数求出两个底角的度数；再根据角平分线的定义得到∠ABD的度数，发现∠ABD与∠A相等，利用“等角对等边”得到AD=BD；接着计算∠BDC的度数，发现它和底角∠C相等，再次利用“等角对等边”得到BD=BC；最后通过BD作为中间量，即可得到AD和BC的长度相等，从而求出AD的长。
【解析】
解：
∵$AB=AC$，$∠ A=36°$
∴$∠ ABC=∠ C=\frac{180° - ∠ A}{2}=\frac{180° - 36°}{2}=72°$
∵BD平分$∠ ABC$
∴$∠ ABD=∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=36°$
∴$∠ ABD=∠ A=36°$
∴$AD=BD$（等角对等边）
∵$∠ BDC$是$△ ABD$的外角
∴$∠ BDC=∠ A+∠ ABD=36°+36°=72°$
∴$∠ BDC=∠ C=72°$
∴$BD=BC$（等角对等边）
∴$AD=BD=BC=2$
【答案】
2
【知识点】
等腰三角形的性质；角平分线的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题属于等腰三角形性质应用的基础题，通过角度计算推导相等的角，再利用“等角对等边”实现线段长度的转化，是解决这类问题的常用思路，解题时要注意图中隐含的外角关系。
【难度系数】
0.7

9.如图，△ABC中，AB=AC，∠A=50°，P为△ABC内一点，∠PBC=∠PCA，求∠BPC的值.

9. 解:
∵在△ABC中,AB=AC,∠A=50°,
∴∠ACB = ∠ABC = 65°, 又∠PBC = ∠PCA,
∴∠PBC + ∠PCB=∠PCA+∠PCB=∠ACB=65°,
∴∠BPC=115°.

【分析】
解题时先从已知的等腰三角形条件入手，利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和先求出两个底角∠ABC和∠ACB的度数；再根据题目给出的∠PBC=∠PCA的条件，通过等量代换，将△BPC中两个底角的和∠PBC+∠PCB转化为∠ACB的度数；最后再利用三角形内角和定理即可求出∠BPC的度数。
【解析】
解：
∵在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，
∴∠ACB = ∠ABC = (180°-50°)÷2 = 65°，
又
∵∠PBC = ∠PCA，
∴∠PBC + ∠PCB=∠PCA+∠PCB=∠ACB=65°，
在△BPC中，根据三角形内角和为180°可得：
∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-65°=115°。
【答案】
115°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何计算题，解题核心是利用角的等量代换实现未知角和已知角的转化，熟练掌握等腰三角形性质和三角形内角和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8