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一、选择题
1.若点 P 为$△ ABC$的内心，则(
A.点 P 为三边中线的交点
B.点 P 为三边中垂线的交点
C.点 P 到三顶点的距离相等
D.点 P 到三边的距离相等
1.若点 P 为$△ ABC$的内心，则(
D
).A.点 P 为三边中线的交点
B.点 P 为三边中垂线的交点
C.点 P 到三顶点的距离相等
D.点 P 到三边的距离相等
答案
1.D
解析
【分析】
本题考查三角形特殊交点的性质，解题时先明确题干要求的是内心的特征，再逐一分析各选项对应的三角形特殊点的定义和性质，通过排除法确定正确答案。首先回忆：三角形的重心是三边中线交点，外心是三边中垂线交点，内心是三个内角角平分线交点，再对应各选项的描述逐一判断即可。
【解析】
我们先明确各特殊点的定义与性质：
1. 分析选项A：三角形三边中线的交点是三角形的重心，不是内心，故A错误；
2. 分析选项B：三角形三边中垂线的交点是三角形的外心，不是内心，故B错误；
3. 分析选项C：到三角形三顶点距离相等是外心的性质，对应中垂线交点的特征，不是内心的性质，故C错误；
4. 分析选项D：三角形内心是三个内角角平分线的交点，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此内心到三角形三边的距离相等，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
三角形内心的性质、三角形外心的性质、三角形重心的定义
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查三角形不同特殊交点的定义和性质的区分，只要牢记各“心”的对应特征，避免概念混淆就能快速解答。
【难度系数】
0.8
本题考查三角形特殊交点的性质，解题时先明确题干要求的是内心的特征，再逐一分析各选项对应的三角形特殊点的定义和性质，通过排除法确定正确答案。首先回忆：三角形的重心是三边中线交点，外心是三边中垂线交点，内心是三个内角角平分线交点，再对应各选项的描述逐一判断即可。
【解析】
我们先明确各特殊点的定义与性质：
1. 分析选项A：三角形三边中线的交点是三角形的重心，不是内心，故A错误；
2. 分析选项B：三角形三边中垂线的交点是三角形的外心，不是内心，故B错误；
3. 分析选项C：到三角形三顶点距离相等是外心的性质，对应中垂线交点的特征，不是内心的性质，故C错误；
4. 分析选项D：三角形内心是三个内角角平分线的交点，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此内心到三角形三边的距离相等，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
三角形内心的性质、三角形外心的性质、三角形重心的定义
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查三角形不同特殊交点的定义和性质的区分，只要牢记各“心”的对应特征，避免概念混淆就能快速解答。
【难度系数】
0.8
2.⊙O的直径是4，圆心O到直线l的距离是2，则直线l与⊙O的位置关系是（
A.相离
B.相切
C.相交
D.相离或相交
B
）。A.相离
B.相切
C.相交
D.相离或相交
答案
2.B
解析
【分析】
要判断直线与圆的位置关系，核心方法是比较圆心到直线的距离d与圆半径r的大小：d＞r时相离，d=r时相切，d＜r时相交。因此解题时首先需要根据已知的直径求出圆的半径，再将半径和已知的圆心到直线的距离作比较，对应即可得出位置关系。
【解析】
解：
∵⊙O的直径为4，
∴⊙O的半径$ r = 4÷2 = 2 $，
已知圆心O到直线l的距离$ d=2 $，
可得$ d=r $，根据直线与圆的位置关系判定规则，此时直线与圆相切。
综合结论，选择B。
【答案】
B
【知识点】
1.直线与圆的位置关系判定
2.圆的直径与半径换算
【点评】
本题是基础概念考查题，难度较低，只要掌握直线与圆位置关系的判定规则，就能快速得出答案，属于基础得分题。
【难度系数】
0.9
要判断直线与圆的位置关系，核心方法是比较圆心到直线的距离d与圆半径r的大小：d＞r时相离，d=r时相切，d＜r时相交。因此解题时首先需要根据已知的直径求出圆的半径，再将半径和已知的圆心到直线的距离作比较，对应即可得出位置关系。
【解析】
解：
∵⊙O的直径为4，
∴⊙O的半径$ r = 4÷2 = 2 $，
已知圆心O到直线l的距离$ d=2 $，
可得$ d=r $，根据直线与圆的位置关系判定规则，此时直线与圆相切。
综合结论，选择B。
【答案】
B
【知识点】
1.直线与圆的位置关系判定
2.圆的直径与半径换算
【点评】
本题是基础概念考查题，难度较低，只要掌握直线与圆位置关系的判定规则，就能快速得出答案，属于基础得分题。
【难度系数】
0.9
3.如图，PA，PB分别与$\odot O$相切于A，B两点，$∠ P=72°$，则$∠ C$的度数为（
A.$36°$
B.$54°$
C.$72°$
D.$108°$
B
）.A.$36°$
B.$54°$
C.$72°$
D.$108°$
答案
3.B
解析
【分析】
遇到切线相关的求角问题，首先考虑连接圆心与切点，利用切线的性质得到直角；接下来在四边形OAPB中，利用四边形内角和为360°，计算出弧AB所对的圆心角∠AOB的度数；最后根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠C的度数。
【解析】
解：连接OA、OB，
∵PA、PB分别与$\odot O$相切于A、B两点，
∴$OA⊥PA$，$OB⊥PB$，
∴$∠OAP=∠OBP=90°$，
∵四边形OAPB的内角和为$360°$，$∠P=72°$，
∴$∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠P=360°-90°-90°-72°=108°$，
又
∵$∠C$是弧AB所对的圆周角，$∠AOB$是弧AB所对的圆心角，
∴$∠C=\frac{1}{2}∠AOB=\frac{1}{2}×108°=54°$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；四边形内角和；圆周角定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的关键是熟练掌握切线性质和圆周角定理，通过连接圆心与切点的常用辅助线建立角度关系，是圆章节的高频基础考题。
【难度系数】
0.7
遇到切线相关的求角问题，首先考虑连接圆心与切点，利用切线的性质得到直角；接下来在四边形OAPB中，利用四边形内角和为360°，计算出弧AB所对的圆心角∠AOB的度数；最后根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠C的度数。
【解析】
解：连接OA、OB，
∵PA、PB分别与$\odot O$相切于A、B两点，
∴$OA⊥PA$，$OB⊥PB$，
∴$∠OAP=∠OBP=90°$，
∵四边形OAPB的内角和为$360°$，$∠P=72°$，
∴$∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠P=360°-90°-90°-72°=108°$，
又
∵$∠C$是弧AB所对的圆周角，$∠AOB$是弧AB所对的圆心角，
∴$∠C=\frac{1}{2}∠AOB=\frac{1}{2}×108°=54°$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；四边形内角和；圆周角定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的关键是熟练掌握切线性质和圆周角定理，通过连接圆心与切点的常用辅助线建立角度关系，是圆章节的高频基础考题。
【难度系数】
0.7
4.已知正六边形ABCDEF的面积为$6\sqrt{3}$，则正六边形的边长为(
A.1
B.$\sqrt{3}$
C.2
D.4
C
).A.1
B.$\sqrt{3}$
C.2
D.4
答案
4.C
解析
【分析】
解决本题的核心是利用正六边形的性质进行图形转化：正六边形的中心与各顶点连接后，可分割为6个全等的等边三角形，且等边三角形的边长与正六边形的边长相等。解题时先求出单个等边三角形的面积，再结合等边三角形的面积公式列方程，即可求出正六边形的边长。
【解析】
设正六边形的边长为$a$。
1. 正六边形可分割为6个全等的边长为$a$的等边三角形，已知正六边形总面积为$6\sqrt{3}$，因此单个等边三角形的面积为：
$S=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}$
2. 等边三角形的面积公式为$S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$，将$S=\sqrt{3}$代入得：
$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\sqrt{3}$
两边同时除以$\sqrt{3}$，化简得$\frac{1}{4}a^2=1$，解得$a^2=4$。
因为边长为正数，所以$a=2$。
【答案】
C
【知识点】
正六边形的性质、等边三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是掌握正六边形的分割技巧，将正六边形的面积转化为多个等边三角形的面积和进行计算，这类题目是正多边形面积计算的常考类型，熟练掌握常见正多边形的分割方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是利用正六边形的性质进行图形转化：正六边形的中心与各顶点连接后，可分割为6个全等的等边三角形，且等边三角形的边长与正六边形的边长相等。解题时先求出单个等边三角形的面积，再结合等边三角形的面积公式列方程，即可求出正六边形的边长。
【解析】
设正六边形的边长为$a$。
1. 正六边形可分割为6个全等的边长为$a$的等边三角形，已知正六边形总面积为$6\sqrt{3}$，因此单个等边三角形的面积为：
$S=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}$
2. 等边三角形的面积公式为$S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$，将$S=\sqrt{3}$代入得：
$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\sqrt{3}$
两边同时除以$\sqrt{3}$，化简得$\frac{1}{4}a^2=1$，解得$a^2=4$。
因为边长为正数，所以$a=2$。
【答案】
C
【知识点】
正六边形的性质、等边三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是掌握正六边形的分割技巧，将正六边形的面积转化为多个等边三角形的面积和进行计算，这类题目是正多边形面积计算的常考类型，熟练掌握常见正多边形的分割方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5.如图，AB是$\odot O$的直径，点P在AB的延长线上，PC切$\odot O$于点C，$PC=4$，$PB=2$，则$\odot O$的半径等于（
A.1
B.2
C.3
D.4
C
）.A.1
B.2
C.3
D.4
答案
5.C
解析
【分析】
本题是圆中切线相关的计算问题，解题思路如下：首先回忆切线的核心性质：圆的切线垂直于过切点的半径，因此可以连接切点C和圆心O，构造出直角三角形OCP；接下来设圆的半径为r，用含r的式子表示出直角三角形的三边长度，再利用勾股定理列方程求解即可，也可直接用切割线定理快速列式计算。
【解析】
连接OC
∵ PC是⊙O的切线，C为切点
∴ OC⊥PC，即$∠ OCP=90°$
设$\odot O$的半径为$r$，则$OC=OB=r$，$OP=OB+PB=r+2$
在$Rt△ OCP$中，根据勾股定理可得：
$OC^2 + PC^2 = OP^2$
代入已知$PC=4$，$PB=2$得：
$r^2 + 4^2 = (r+2)^2$
展开整理：$r^2 + 16 = r^2 + 4r + 4$
化简得：$4r=12$，解得$r=3$
【答案】
C
【知识点】
1.切线的性质 2.勾股定理 3.切割线定理
【点评】
本题属于圆的基础计算题，核心考查切线性质的应用，通过构造直角三角形将几何问题转化为方程求解，是圆章节的高频基础考点，熟练掌握切线性质是解题的关键。
【难度系数】
0.75
本题是圆中切线相关的计算问题，解题思路如下：首先回忆切线的核心性质：圆的切线垂直于过切点的半径，因此可以连接切点C和圆心O，构造出直角三角形OCP；接下来设圆的半径为r，用含r的式子表示出直角三角形的三边长度，再利用勾股定理列方程求解即可，也可直接用切割线定理快速列式计算。
【解析】
连接OC
∵ PC是⊙O的切线，C为切点
∴ OC⊥PC，即$∠ OCP=90°$
设$\odot O$的半径为$r$，则$OC=OB=r$，$OP=OB+PB=r+2$
在$Rt△ OCP$中，根据勾股定理可得：
$OC^2 + PC^2 = OP^2$
代入已知$PC=4$，$PB=2$得：
$r^2 + 4^2 = (r+2)^2$
展开整理：$r^2 + 16 = r^2 + 4r + 4$
化简得：$4r=12$，解得$r=3$
【答案】
C
【知识点】
1.切线的性质 2.勾股定理 3.切割线定理
【点评】
本题属于圆的基础计算题，核心考查切线性质的应用，通过构造直角三角形将几何问题转化为方程求解，是圆章节的高频基础考点，熟练掌握切线性质是解题的关键。
【难度系数】
0.75
6.如图，PA，PB为$\odot O$的切线，切点分别为点A，B，PO交AB于点C，PO的延长线交$\odot O$于点D，下列结论不一定成立的是（
A.$PA=PB$
B.$∠ BPD=∠ APD$
C.$AB⊥ PD$
D.AB平分PD
D
）。A.$PA=PB$
B.$∠ BPD=∠ APD$
C.$AB⊥ PD$
D.AB平分PD
答案
6.D
解析
【分析】
解决本题首先回忆切线长定理的相关内容，再结合等腰三角形的性质逐一判断每个选项：首先根据切线长定理可直接判断A、B两个选项；再由等腰三角形三线合一的性质判断C选项；最后分析D选项，明确该结论只有在特殊条件下才成立，并非一定成立，即可得出答案。
【解析】
对各选项逐一分析：
选项A：
∵PA、PB是$\odot O$的切线，切点分别为A、B，根据切线长定理，可得$PA=PB$，该结论一定成立；
选项B：根据切线长定理，PO平分$∠ APB$，即$∠ BPD=∠ APD$，该结论一定成立；
选项C：
∵$PA=PB$，$△ PAB$是等腰三角形，且PO平分$∠ APB$，根据等腰三角形三线合一的性质，可得$AB⊥ PD$，该结论一定成立；
选项D：只有当满足特殊条件（如$∠ APO=30°$，即$PA=OA$）时，AB才会平分PD，一般情况下该结论不成立，因此不一定成立。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
切线长定理，等腰三角形性质，圆的切线性质
【点评】
本题属于基础题，重点考查切线相关的性质，解题时需熟练掌握切线长定理和等腰三角形的性质，注意区分必然成立的结论和仅特殊情况成立的结论即可。
【难度系数】
0.7
解决本题首先回忆切线长定理的相关内容，再结合等腰三角形的性质逐一判断每个选项：首先根据切线长定理可直接判断A、B两个选项；再由等腰三角形三线合一的性质判断C选项；最后分析D选项，明确该结论只有在特殊条件下才成立，并非一定成立，即可得出答案。
【解析】
对各选项逐一分析：
选项A：
∵PA、PB是$\odot O$的切线，切点分别为A、B，根据切线长定理，可得$PA=PB$，该结论一定成立；
选项B：根据切线长定理，PO平分$∠ APB$，即$∠ BPD=∠ APD$，该结论一定成立；
选项C：
∵$PA=PB$，$△ PAB$是等腰三角形，且PO平分$∠ APB$，根据等腰三角形三线合一的性质，可得$AB⊥ PD$，该结论一定成立；
选项D：只有当满足特殊条件（如$∠ APO=30°$，即$PA=OA$）时，AB才会平分PD，一般情况下该结论不成立，因此不一定成立。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
切线长定理，等腰三角形性质，圆的切线性质
【点评】
本题属于基础题，重点考查切线相关的性质，解题时需熟练掌握切线长定理和等腰三角形的性质，注意区分必然成立的结论和仅特殊情况成立的结论即可。
【难度系数】
0.7
7.如图,一个边长为4 cm的等边三角形ABC的高与$\odot O$的直径相等.若$\odot O$与BC相切于点C,与AC相交于点E,则$\overset{\frown}{CE}$的长为(
A.4 cm
B.3 cm
C.$\frac{2\sqrt{3}π}{3}$ cm
D.$\frac{\sqrt{3}π}{3}$ cm
C
).A.4 cm
B.3 cm
C.$\frac{2\sqrt{3}π}{3}$ cm
D.$\frac{\sqrt{3}π}{3}$ cm
答案
7.C
解析
【分析】要求$\overset{\frown}{CE}$的长，需先回忆弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，因此需要先求出$\odot O$的半径$r$和$\overset{\frown}{CE}$对应的圆心角$n$的度数。第一步先根据等边三角形的高与$\odot O$直径相等求出半径；第二步利用切线性质、等边三角形内角性质求出圆心角的度数，最后代入公式计算即可。
【解析】
1. 求$\odot O$的半径：
等边三角形ABC边长为4cm，其高为$h=\frac{\sqrt{3}}{2}×4=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
由题意得$\odot O$的直径等于等边三角形的高，即直径$d=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，因此半径$r=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
2. 求$\overset{\frown}{CE}$对应的圆心角：
连接OC、OE，
∵$\odot O$与BC相切于点C，根据切线的性质，得$OC⊥ BC$，即$∠ OCB=90°$。
∵$△ ABC$是等边三角形，
∴$∠ ACB=60°$，
∴$∠ OCE=∠ OCB-∠ ACB=90°-60°=30°$。
又
∵OC=OE都是$\odot O$的半径，
∴$△ OCE$是等腰三角形，$∠ OEC=∠ OCE=30°$，
∴圆心角$∠ COE=180°-30°-30°=120°$。
3. 代入弧长公式计算：
$l_{\overset{\frown}{CE}}=\frac{nπ r}{180}=\frac{120×π×\sqrt{3}}{180}=\frac{2\sqrt{3}π}{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】C
【知识点】弧长计算，切线的性质，等边三角形的性质
【点评】本题是几何基础综合题，解题关键是明确弧长计算所需的两个要素，结合切线性质和等边三角形性质求出对应量即可，考查学生对基础几何性质的运用能力。
【难度系数】0.7
【解析】
1. 求$\odot O$的半径：
等边三角形ABC边长为4cm，其高为$h=\frac{\sqrt{3}}{2}×4=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
由题意得$\odot O$的直径等于等边三角形的高，即直径$d=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，因此半径$r=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
2. 求$\overset{\frown}{CE}$对应的圆心角：
连接OC、OE，
∵$\odot O$与BC相切于点C，根据切线的性质，得$OC⊥ BC$，即$∠ OCB=90°$。
∵$△ ABC$是等边三角形，
∴$∠ ACB=60°$，
∴$∠ OCE=∠ OCB-∠ ACB=90°-60°=30°$。
又
∵OC=OE都是$\odot O$的半径，
∴$△ OCE$是等腰三角形，$∠ OEC=∠ OCE=30°$，
∴圆心角$∠ COE=180°-30°-30°=120°$。
3. 代入弧长公式计算：
$l_{\overset{\frown}{CE}}=\frac{nπ r}{180}=\frac{120×π×\sqrt{3}}{180}=\frac{2\sqrt{3}π}{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】C
【知识点】弧长计算，切线的性质，等边三角形的性质
【点评】本题是几何基础综合题，解题关键是明确弧长计算所需的两个要素，结合切线性质和等边三角形性质求出对应量即可，考查学生对基础几何性质的运用能力。
【难度系数】0.7
8.设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h、r、R，则下列结论不正确的是(
A.$h=R+r$
B.$R=2r$
C.$r=\frac{\sqrt{3}}{4}a$
D.$R=\frac{\sqrt{3}}{3}a$
C
).A.$h=R+r$
B.$R=2r$
C.$r=\frac{\sqrt{3}}{4}a$
D.$R=\frac{\sqrt{3}}{3}a$
答案
8.C
解析
【分析】
解答本题首先利用等边三角形四心（内心、外心、重心、垂心）重合的性质，先通过勾股定理求出等边三角形的高h，再结合重心分高为2:1的规律，分别推导内切圆半径r、外接圆半径R的表达式，最后逐一核对四个选项判断正误即可。
【解析】
首先计算边长为a的等边三角形的高：
由勾股定理可得 $ h = \sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}a $。
因为等边三角形的重心、外心、内心重合，重心将高分为长度比为2:1的两段：
外接圆半径R是重心到顶点的距离，占高的$\frac{2}{3}$，故 $ R = \frac{2}{3}h = \frac{2}{3} × \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{3}a $；
内切圆半径r是重心到边的距离，占高的$\frac{1}{3}$，故 $ r = \frac{1}{3}h = \frac{1}{3} × \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{6}a $。
逐一验证选项：
A选项：$ R+r = \frac{\sqrt{3}}{3}a + \frac{\sqrt{3}}{6}a = \frac{\sqrt{3}}{2}a = h $，结论正确；
B选项：$ R = \frac{\sqrt{3}}{3}a = 2 × \frac{\sqrt{3}}{6}a = 2r $，结论正确；
C选项：计算得$ r = \frac{\sqrt{3}}{6}a ≠ \frac{\sqrt{3}}{4}a $，结论错误；
D选项：$ R = \frac{\sqrt{3}}{3}a $，结论正确。
本题要求选不正确的结论，故选C。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形性质、三角形内切圆与外接圆、重心的性质
【点评】
本题属于基础几何题，解题核心是掌握等边三角形四心重合的特点，结合重心分线段的比例关系可以快速得到各半径的长度，也可通过直接计算验证结论，是圆与三角形结合的常考题型。
【难度系数】
0.7
解答本题首先利用等边三角形四心（内心、外心、重心、垂心）重合的性质，先通过勾股定理求出等边三角形的高h，再结合重心分高为2:1的规律，分别推导内切圆半径r、外接圆半径R的表达式，最后逐一核对四个选项判断正误即可。
【解析】
首先计算边长为a的等边三角形的高：
由勾股定理可得 $ h = \sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}a $。
因为等边三角形的重心、外心、内心重合，重心将高分为长度比为2:1的两段：
外接圆半径R是重心到顶点的距离，占高的$\frac{2}{3}$，故 $ R = \frac{2}{3}h = \frac{2}{3} × \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{3}a $；
内切圆半径r是重心到边的距离，占高的$\frac{1}{3}$，故 $ r = \frac{1}{3}h = \frac{1}{3} × \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{6}a $。
逐一验证选项：
A选项：$ R+r = \frac{\sqrt{3}}{3}a + \frac{\sqrt{3}}{6}a = \frac{\sqrt{3}}{2}a = h $，结论正确；
B选项：$ R = \frac{\sqrt{3}}{3}a = 2 × \frac{\sqrt{3}}{6}a = 2r $，结论正确；
C选项：计算得$ r = \frac{\sqrt{3}}{6}a ≠ \frac{\sqrt{3}}{4}a $，结论错误；
D选项：$ R = \frac{\sqrt{3}}{3}a $，结论正确。
本题要求选不正确的结论，故选C。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形性质、三角形内切圆与外接圆、重心的性质
【点评】
本题属于基础几何题，解题核心是掌握等边三角形四心重合的特点，结合重心分线段的比例关系可以快速得到各半径的长度，也可通过直接计算验证结论，是圆与三角形结合的常考题型。
【难度系数】
0.7
