10. 抛物线$y=ax^2 +k$的顶点坐标是$(0,3)$，且形状及开口方向与抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$相同，则$a,k$的值分别为（）

A.$-\frac{1}{2},3$
B.$-\frac{1}{2},-3$
C.$\frac{1}{2},3$
D.$\frac{1}{2},-3$

A

11. 已知$y=ax^2 +k$的图象上有三点A(-3，$y_1$)，B(1，$y_2$)，C(2，$y_3$)，且$y_2 ＜ y_3 ＜ y_1$，则a的取值范围是（）

A.$a＞0$
B.$a＜0$
C.$a≥0$
D.$a≤0$

A

12.（新视角·创新设问）由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，是由抛物线$y_1=-\frac{1}{4}x^2 +1$和抛物线$y_2=-\frac{1}{2}x^2 +k$组成的“月牙线”，则k的值为。

2

13. 抛物线 $ y=2x^2 +n $ 与直线 $ y=2x -1 $ 交于点$(m,3)$。
(1)求 $ m $ 和 $ n $ 的值；
(2)求抛物线 $ y=2x^2 +n $ 的顶点坐标和对称轴；
(3)当 $ x $ 取何值时，在二次函数 $ y=2x^2 +n $ 中，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小？

(1)解:$m=2,n=-5$.
(2)由(1)可得抛物线的解析式为$y=2x^2-5$,$\therefore$顶点坐标是$(0,-5)$,对称轴是y轴.
(3)当$x＜0$时,y随x的增大而减小.

14.(随州市期末)已知函数$y=2x$的图象和抛物线$y=ax^2+3$相交于点$(2,b)$。
(1)求$a,b$的值；
(2)若函数$y=2x$的图象上纵坐标为2的点为A，抛物线$y=ax^2+3$的顶点为B，求$△ AOB$的面积。

(1)解:把$(2,b)$代入$y=2x$,得$2×2=b$,$\therefore b=4$.把$(2,4)$代入$y=ax^2+3$,得$a×2^2+3=4$,$\therefore a=\frac{1}{4}$.
(2)把$y=2$代入$y=2x$,得$2x=2$,$\therefore x=1$,$\therefore A(1,2)$.抛物线$y=ax^2+3$的顶点坐标为$(0,3)$.$\therefore S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×3×1=\frac{3}{2}$.

15.(核心素养·应用意识)如图,已知正比例函数$y=2x$的图象与抛物线$y=ax^2+3$相交于点$A(1,b)$.
(1)求$a,b$的值.
(2)若点$B(m,4)$在函数$y=2x$的图象上,抛物线$y=ax^2+3$的顶点是$C$,求$△ ABC$的面积.
(3)若$P$是$x$轴上一个动点,则当$PA+PC$最小时,点$P$的坐标为.

(1)解:$\because$点$A(1,b)$在函数$y=2x$的图象上,$\therefore b=2×1=2$.$\therefore A(1,2)$.$\because$点$A(1,2)$在抛物线$y=ax^2+3$上,$\therefore 2=a+3$,解得$a=-1$.
(2)$\because$点$B(m,4)$在函数$y=2x$的图象上,$\therefore 4=2m$,解得$m=2$.$\therefore B(2,4)$.$\because$抛物线$y=-x^2+3$的顶点是$C$,$\therefore C(0,3)$.$\therefore S_{△ ABC}=S_{△ OBC}-S_{△ OAC}=\frac{1}{2}×3×2-\frac{1}{2}×3×1=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$.
(3)$(\frac{3}{5},0)$