8. [2024 达州]如图, 在$△ ABC$中, $AE_1$, $BE_1$分别是内角$∠ CAB$,外角$∠ CBD$ 的三等分线,且$∠ E_1AD=\dfrac{1}{3}∠ CAB$, $∠ E_1BD=\dfrac{1}{3}∠ CBD$.在$△ ABE_1$中, $AE_2$, $BE_2$分别是内角$∠ E_1AB$,外角$∠ E_1BD$ 的三等分线,且$∠ E_2AD=\dfrac{1}{3}∠ E_1AB$, $∠ E_2BD=\dfrac{1}{3}∠ E_1BD$,……以此规律作下去,若$∠ C=m°$,则$∠ E_n=$.

$\dfrac{1}{3^n}m°$

9. 如图，在$△ ABC$中，D是BC边上一点，$∠ 1=∠ 2$，$∠ 3=∠ 4$，$∠ BAC = 81°$. 求$∠ DAC$的度数.

$∠DAC=48°$

10. 如图，点D，E分别在△ABC的边BC，AC上，AD与BE交于点F. 求证：∠AFB=∠1+∠2+∠C.

证明：
∵ ∠ADB是△ADC的外角，
∴ ∠ADB = ∠1 + ∠C（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）。
又∵ ∠AFB是△BDF的外角，
∴ ∠AFB = ∠2 + ∠ADB（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）。
∴ ∠AFB = ∠2 + ∠1 + ∠C，
即∠AFB = ∠1 + ∠2 + ∠C。

11.【推理能力】如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC于点E，∠B=40°，∠C=60°.
(1)求图①中∠DAE的度数；
(2)如图②，若把“AE⊥BC”改为“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，其他条件不变，求∠DFE的度数；
(3)如图③，在(2)的条件下，作CG平分∠ACB分别交DF，AB于点P，G，过点P作PH⊥AB，若∠B=α，∠BCA=β（∠B＜∠BCA＜∠BAC），其他条件不变，请直接写出∠HPG的度数(用含α，β的代数式表示).

(1)$∠DAE=10°$
(2)$∠DFE=10°$
(3)$∠HPG=90°-α-\dfrac{1}{2}β$