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1. 下列各式从左到右的变形正确的是(
A.$-x - y = -(x - y)$
B.$(x - y)^3 = (y - x)^3$
C.$(y - x)^2 = 1(x - y)^2$
D.$(x - 2)(x - 4) = (2 - x)(4 - x)$
D
)A.$-x - y = -(x - y)$
B.$(x - y)^3 = (y - x)^3$
C.$(y - x)^2 = 1(x - y)^2$
D.$(x - 2)(x - 4) = (2 - x)(4 - x)$
答案
1.D
解析
【分析】
这道题考查整式变形的正误判断，解题时需要逐个分析每个选项，结合去括号法则、乘方的符号规律、多项式乘法的符号规则逐一验证变形是否恒成立，最终选出正确选项。
【解析】
我们对每个选项逐一验证：
A选项：对等式右边去括号，可得$-(x-y)=-x+y$，和左边的$-x-y$不相等，变形错误。
B选项：因为$y-x=-(x-y)$，根据负数的奇数次幂是负数，可得$(y-x)^3=[-(x-y)]^3=-(x-y)^3$，和左边的$(x-y)^3$不相等，变形错误。
C选项：$(y-x)^2=(x-y)^2$，该选项等式右侧符号错误，左右两边不相等，变形错误。
D选项：对右边变形可得$(2-x)(4-x)=[-(x-2)]×[-(x-4)]=(-1)×(-1)×(x-2)(x-4)=(x-2)(x-4)$，和左边相等，变形正确。
【答案】
D
【知识点】
整式恒等变形，去括号法则，乘方符号规律
【点评】
本题主要考查整式变形中的符号处理，解题时要注意负数的奇数次幂为负、偶数次幂为正，多个含负号的因式相乘时负负得正的规则，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.7
这道题考查整式变形的正误判断，解题时需要逐个分析每个选项，结合去括号法则、乘方的符号规律、多项式乘法的符号规则逐一验证变形是否恒成立，最终选出正确选项。
【解析】
我们对每个选项逐一验证：
A选项：对等式右边去括号，可得$-(x-y)=-x+y$，和左边的$-x-y$不相等，变形错误。
B选项：因为$y-x=-(x-y)$，根据负数的奇数次幂是负数，可得$(y-x)^3=[-(x-y)]^3=-(x-y)^3$，和左边的$(x-y)^3$不相等，变形错误。
C选项：$(y-x)^2=(x-y)^2$，该选项等式右侧符号错误，左右两边不相等，变形错误。
D选项：对右边变形可得$(2-x)(4-x)=[-(x-2)]×[-(x-4)]=(-1)×(-1)×(x-2)(x-4)=(x-2)(x-4)$，和左边相等，变形正确。
【答案】
D
【知识点】
整式恒等变形，去括号法则，乘方符号规律
【点评】
本题主要考查整式变形中的符号处理，解题时要注意负数的奇数次幂为负、偶数次幂为正，多个含负号的因式相乘时负负得正的规则，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.7
2.如果$4x^2 + m + 9y^2$是一个完全平方式，那么$m$的值是（
A.$36xy$
B.$6xy$
C.$\pm12xy$
D.$\pm36xy$
C
）A.$36xy$
B.$6xy$
C.$\pm12xy$
D.$\pm36xy$
答案
2.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆完全平方式的结构特征：完全平方式满足$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，即式子由两个平方项和一个交叉项组成，交叉项是两个平方项底数乘积的2倍，符号可正可负。解题时先把已知的两个项对应成完全平方式的平方项，确定两个底数，再根据公式计算交叉项即可得到m的值，注意不要漏了符号的两种情况。
【解析】
首先将已知的平方项变形：
$4x^2=(2x)^2$，$9y^2=(3y)^2$
根据完全平方公式，该完全平方式可以是$(2x+3y)^2$或者$(2x-3y)^2$，分别展开：
$(2x+3y)^2=4x^2+12xy+9y^2$
$(2x-3y)^2=4x^2-12xy+9y^2$
将展开结果和原式$4x^2+m+9y^2$对比，可得$m=\pm12xy$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式；完全平方式的特征
【点评】
本题核心考查对完全平方公式结构的掌握，易错点是容易只考虑和的平方的情况，遗漏差的平方对应的负的交叉项，解题时要注意分类讨论两种完全平方的形式，避免漏解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆完全平方式的结构特征：完全平方式满足$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，即式子由两个平方项和一个交叉项组成，交叉项是两个平方项底数乘积的2倍，符号可正可负。解题时先把已知的两个项对应成完全平方式的平方项，确定两个底数，再根据公式计算交叉项即可得到m的值，注意不要漏了符号的两种情况。
【解析】
首先将已知的平方项变形：
$4x^2=(2x)^2$，$9y^2=(3y)^2$
根据完全平方公式，该完全平方式可以是$(2x+3y)^2$或者$(2x-3y)^2$，分别展开：
$(2x+3y)^2=4x^2+12xy+9y^2$
$(2x-3y)^2=4x^2-12xy+9y^2$
将展开结果和原式$4x^2+m+9y^2$对比，可得$m=\pm12xy$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式；完全平方式的特征
【点评】
本题核心考查对完全平方公式结构的掌握，易错点是容易只考虑和的平方的情况，遗漏差的平方对应的负的交叉项，解题时要注意分类讨论两种完全平方的形式，避免漏解。
【难度系数】
0.7
3. 下列为$5x^2+17x-12$的因式的是(
A.$x+1$
B.$x-1$
C.$x+4$
D.$x-4$
C
)A.$x+1$
B.$x-1$
C.$x+4$
D.$x-4$
答案
3.C
解析
【分析】
这道题考查二次三项式的因式分解及因式的判定，有两种常用解题思路：一是用十字相乘法直接对$5x^2+17x-12$进行因式分解，再对照选项匹配对应的因式；二是用试根法，若$x+a$是原式的因式，则当$x=-a$时，原式的计算结果为0，将各选项对应的x值代入原式验证即可。
【解析】
方法一：十字相乘法分解因式
将二次项系数5拆为$5×1$，常数项-12拆为$(-3)×4$，交叉相乘求和：$5×4 + 1×(-3)=20-3=17$，恰好等于一次项系数，因此：
$5x^2+17x-12=(5x-3)(x+4)$
可知$x+4$是原式的因式。
方法二：试根法验证
若一次式是原式的因式，则将一次式等于0时的x值代入原式，结果应为0：
A选项：令$x+1=0$，得$x=-1$，代入原式得$5×(-1)^2+17×(-1)-12=5-17-12=-24≠0$，不是因式；
B选项：令$x-1=0$，得$x=1$，代入原式得$5×1^2+17×1-12=5+17-12=10≠0$，不是因式；
C选项：令$x+4=0$，得$x=-4$，代入原式得$5×(-4)^2+17×(-4)-12=80-68-12=0$，是原式的因式；
D选项：令$x-4=0$，得$x=4$，代入原式得$5×4^2+17×4-12=80+68-12=136≠0$，不是因式。
综上本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二次三项式因式分解，十字相乘法，因式判定
【点评】
本题是因式判定的基础题型，两种解题方法都十分常用，熟练掌握十字相乘法可以更快得到结果，试根法也适用于大部分同类选择题。
【难度系数】
0.8
这道题考查二次三项式的因式分解及因式的判定，有两种常用解题思路：一是用十字相乘法直接对$5x^2+17x-12$进行因式分解，再对照选项匹配对应的因式；二是用试根法，若$x+a$是原式的因式，则当$x=-a$时，原式的计算结果为0，将各选项对应的x值代入原式验证即可。
【解析】
方法一：十字相乘法分解因式
将二次项系数5拆为$5×1$，常数项-12拆为$(-3)×4$，交叉相乘求和：$5×4 + 1×(-3)=20-3=17$，恰好等于一次项系数，因此：
$5x^2+17x-12=(5x-3)(x+4)$
可知$x+4$是原式的因式。
方法二：试根法验证
若一次式是原式的因式，则将一次式等于0时的x值代入原式，结果应为0：
A选项：令$x+1=0$，得$x=-1$，代入原式得$5×(-1)^2+17×(-1)-12=5-17-12=-24≠0$，不是因式；
B选项：令$x-1=0$，得$x=1$，代入原式得$5×1^2+17×1-12=5+17-12=10≠0$，不是因式；
C选项：令$x+4=0$，得$x=-4$，代入原式得$5×(-4)^2+17×(-4)-12=80-68-12=0$，是原式的因式；
D选项：令$x-4=0$，得$x=4$，代入原式得$5×4^2+17×4-12=80+68-12=136≠0$，不是因式。
综上本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二次三项式因式分解，十字相乘法，因式判定
【点评】
本题是因式判定的基础题型，两种解题方法都十分常用，熟练掌握十字相乘法可以更快得到结果，试根法也适用于大部分同类选择题。
【难度系数】
0.8
4. 在有理式$\frac{xy^2}{2}$，$\frac{x}{π}$，$\frac{1}{a+1}$，$\frac{1}{x+y}$，$\frac{x}{2^2 -1}$中，属于分式的有
$\frac{1}{a+1},\frac{1}{x+y}$
。答案
4. $\frac{1}{a+1},\frac{1}{x+y}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确分式的判定标准：判断一个有理式是否为分式，核心是看它的分母中是否含有字母（注意π是固定常数，不属于字母），分母含字母的是分式，否则是整式。接下来我们逐个分析给出的有理式，对照标准筛选即可。
【解析】
根据分式的定义逐一判断：
1. $\frac{xy^2}{2}$：分母是2，属于常数，不含字母，是整式，不是分式；
2. $\frac{x}{π}$：分母是π，π是圆周率，属于固定常数，不含字母，是整式，不是分式；
3. $\frac{1}{a+1}$：分母是$a+1$，含有字母$a$，符合分式定义，是分式；
4. $\frac{1}{x+y}$：分母是$x+y$，含有字母$x、y$，符合分式定义，是分式；
5. $\frac{x}{2^2 -1}$：分母$2^2-1=3$，属于常数，不含字母，是整式，不是分式。
综上，可得出属于分式的有理式。
【答案】
$\frac{1}{a+1},\frac{1}{x+y}$
【知识点】
1. 分式的定义 2. 整式与分式的区分
【点评】
本题属于基础概念类考题，主要考察分式的判定方法，解题时要注意区分常数和字母，尤其要牢记π是常数不要误判，只要掌握分式的核心特征就能轻松解答。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，首先要明确分式的判定标准：判断一个有理式是否为分式，核心是看它的分母中是否含有字母（注意π是固定常数，不属于字母），分母含字母的是分式，否则是整式。接下来我们逐个分析给出的有理式，对照标准筛选即可。
【解析】
根据分式的定义逐一判断：
1. $\frac{xy^2}{2}$：分母是2，属于常数，不含字母，是整式，不是分式；
2. $\frac{x}{π}$：分母是π，π是圆周率，属于固定常数，不含字母，是整式，不是分式；
3. $\frac{1}{a+1}$：分母是$a+1$，含有字母$a$，符合分式定义，是分式；
4. $\frac{1}{x+y}$：分母是$x+y$，含有字母$x、y$，符合分式定义，是分式；
5. $\frac{x}{2^2 -1}$：分母$2^2-1=3$，属于常数，不含字母，是整式，不是分式。
综上，可得出属于分式的有理式。
【答案】
$\frac{1}{a+1},\frac{1}{x+y}$
【知识点】
1. 分式的定义 2. 整式与分式的区分
【点评】
本题属于基础概念类考题，主要考察分式的判定方法，解题时要注意区分常数和字母，尤其要牢记π是常数不要误判，只要掌握分式的核心特征就能轻松解答。
【难度系数】
0.85
5.计算：$\frac{x^2}{xy} - \frac{x}{y} =$
0
。答案
5. 0
解析
【分析】
这是一道分式减法运算题，解题思路是先化简可约分的分式，再进行减法计算。首先观察第一个分式$\frac{x^2}{xy}$，分子分母存在公因式$x$（分式有意义的前提是$x≠0$、$y≠0$，满足约分条件），先约分得到最简分式，再和第二个分式做差即可得到结果。
【解析】
当$x≠0$且$y≠0$时，先对第一个分式约分：
$\frac{x^2}{xy}=\frac{x· x}{x· y}=\frac{x}{y}$
将约分结果代入原式计算：
$\frac{x^2}{xy} - \frac{x}{y}=\frac{x}{y}-\frac{x}{y}=0$
【答案】
0
【知识点】
分式约分；分式减法运算
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题核心是先将非最简分式约分简化后再计算，能有效降低运算出错概率。
【难度系数】
0.85
这是一道分式减法运算题，解题思路是先化简可约分的分式，再进行减法计算。首先观察第一个分式$\frac{x^2}{xy}$，分子分母存在公因式$x$（分式有意义的前提是$x≠0$、$y≠0$，满足约分条件），先约分得到最简分式，再和第二个分式做差即可得到结果。
【解析】
当$x≠0$且$y≠0$时，先对第一个分式约分：
$\frac{x^2}{xy}=\frac{x· x}{x· y}=\frac{x}{y}$
将约分结果代入原式计算：
$\frac{x^2}{xy} - \frac{x}{y}=\frac{x}{y}-\frac{x}{y}=0$
【答案】
0
【知识点】
分式约分；分式减法运算
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题核心是先将非最简分式约分简化后再计算，能有效降低运算出错概率。
【难度系数】
0.85
6.解方程$\frac{2}{x-1}=\frac{3}{2x+3}$的结果是
$x=-9$
。答案
6. $x=-9$
解析
【分析】
这是一道分式方程求解题目，解题思路如下：第一步先确定方程中两个分母的最简公分母，利用等式的性质给方程两边同时乘最简公分母，将分式方程转化为我们已经学过的一元一次方程；第二步求解一元一次方程得到未知数的解；第三步将解代入最简公分母检验，若最简公分母不为0，该解就是原方程的解，若为0则是增根需要舍去。
【解析】
解：该分式方程的最简公分母为$(x-1)(2x+3)$
1. 去分母：方程两边同时乘以$(x-1)(2x+3)$（隐含条件$x≠1$且$x≠-\frac{3}{2}$），得
$2(2x+3)=3(x-1)$
2. 去括号：
$4x+6=3x-3$
3. 移项、合并同类项：
$4x-3x=-3-6$
$x=-9$
4. 检验：将$x=-9$代入最简公分母$(x-1)(2x+3)$，得
$(-9-1)×(2×(-9)+3)=(-10)×(-15)=150≠0$
因此$x=-9$是原分式方程的解。
【答案】
$x=-9$
【知识点】
分式方程解法；一元一次方程求解；分式方程验根
【点评】
本题属于分式方程基础运算题，解题关键是掌握去分母将分式方程转化为整式方程的方法，需注意解分式方程必须进行验根，避免因增根导致结果错误。
【难度系数】
0.8
这是一道分式方程求解题目，解题思路如下：第一步先确定方程中两个分母的最简公分母，利用等式的性质给方程两边同时乘最简公分母，将分式方程转化为我们已经学过的一元一次方程；第二步求解一元一次方程得到未知数的解；第三步将解代入最简公分母检验，若最简公分母不为0，该解就是原方程的解，若为0则是增根需要舍去。
【解析】
解：该分式方程的最简公分母为$(x-1)(2x+3)$
1. 去分母：方程两边同时乘以$(x-1)(2x+3)$（隐含条件$x≠1$且$x≠-\frac{3}{2}$），得
$2(2x+3)=3(x-1)$
2. 去括号：
$4x+6=3x-3$
3. 移项、合并同类项：
$4x-3x=-3-6$
$x=-9$
4. 检验：将$x=-9$代入最简公分母$(x-1)(2x+3)$，得
$(-9-1)×(2×(-9)+3)=(-10)×(-15)=150≠0$
因此$x=-9$是原分式方程的解。
【答案】
$x=-9$
【知识点】
分式方程解法；一元一次方程求解；分式方程验根
【点评】
本题属于分式方程基础运算题，解题关键是掌握去分母将分式方程转化为整式方程的方法，需注意解分式方程必须进行验根，避免因增根导致结果错误。
【难度系数】
0.8
7.若分式$\frac{2}{x-1}$与1互为相反数，则x的值是
-1
。答案
7. -1
解析
【分析】
解题首先要用到互为相反数的核心性质：互为相反数的两个数相加和为0。根据这个性质我们可以列出关于x的分式方程，再按照分式方程的求解步骤去分母、化简计算，最后一定要检验所得的解是否让原分式的分母不为0，排除增根即可得到正确的x值。
【解析】
∵ 分式$\frac{2}{x-1}$与1互为相反数，根据互为相反数的两数之和为0，可列方程：
$\frac{2}{x-1} + 1 = 0$
方程两边同时乘以最简公分母$(x-1)$（此时$x≠1$）去分母得：
$2 + (x - 1) = 0$
化简计算：
$2 + x - 1 = 0$
$x + 1 = 0$
解得 $x = -1$
检验：将$x=-1$代入原分式的分母$x-1$，得$-1-1=-2≠0$，因此$x=-1$是原方程的解。
【答案】
-1
【知识点】
相反数的性质；分式方程的解法
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练掌握相反数的性质列对方程，同时要注意解分式方程必须验根，避免因忽略分母不为0的条件出错。
【难度系数】
0.85
解题首先要用到互为相反数的核心性质：互为相反数的两个数相加和为0。根据这个性质我们可以列出关于x的分式方程，再按照分式方程的求解步骤去分母、化简计算，最后一定要检验所得的解是否让原分式的分母不为0，排除增根即可得到正确的x值。
【解析】
∵ 分式$\frac{2}{x-1}$与1互为相反数，根据互为相反数的两数之和为0，可列方程：
$\frac{2}{x-1} + 1 = 0$
方程两边同时乘以最简公分母$(x-1)$（此时$x≠1$）去分母得：
$2 + (x - 1) = 0$
化简计算：
$2 + x - 1 = 0$
$x + 1 = 0$
解得 $x = -1$
检验：将$x=-1$代入原分式的分母$x-1$，得$-1-1=-2≠0$，因此$x=-1$是原方程的解。
【答案】
-1
【知识点】
相反数的性质；分式方程的解法
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练掌握相反数的性质列对方程，同时要注意解分式方程必须验根，避免因忽略分母不为0的条件出错。
【难度系数】
0.85
三、化简题
8.
8.
答案
8. a+2
解析
【分析】
这是分式混合运算化简题，解题思路按运算顺序推进：第一步先计算括号内的加法，整数1和分式相加需要先通分，把1转化为分母为$a-2$的同分母分式再合并；第二步将除法运算转化为乘法运算，即乘以除式的倒数，同时利用平方差公式对$a^2-4$因式分解；最后对分子分母的公因式进行约分，即可得到最简结果。
【解析】
解：
$\begin{aligned}原式&=( \frac{a-2}{a-2}+\frac{3}{a-2} )÷\frac{a+1}{(a+2)(a-2)}\\&=\frac{a-2+3}{a-2}×\frac{(a+2)(a-2)}{a+1}\\&=\frac{a+1}{a-2}×\frac{(a+2)(a-2)}{a+1}\\&=a+2\end{aligned}$
【答案】
$a+2$
【知识点】
分式混合运算，平方差公式，分式约分
【点评】
本题是分式化简的基础题型，解题核心是熟练掌握通分、因式分解、分式乘除的运算法则，将除法转化为乘法后再约分，能简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
这是分式混合运算化简题，解题思路按运算顺序推进：第一步先计算括号内的加法，整数1和分式相加需要先通分，把1转化为分母为$a-2$的同分母分式再合并；第二步将除法运算转化为乘法运算，即乘以除式的倒数，同时利用平方差公式对$a^2-4$因式分解；最后对分子分母的公因式进行约分，即可得到最简结果。
【解析】
解：
$\begin{aligned}原式&=( \frac{a-2}{a-2}+\frac{3}{a-2} )÷\frac{a+1}{(a+2)(a-2)}\\&=\frac{a-2+3}{a-2}×\frac{(a+2)(a-2)}{a+1}\\&=\frac{a+1}{a-2}×\frac{(a+2)(a-2)}{a+1}\\&=a+2\end{aligned}$
【答案】
$a+2$
【知识点】
分式混合运算，平方差公式，分式约分
【点评】
本题是分式化简的基础题型，解题核心是熟练掌握通分、因式分解、分式乘除的运算法则，将除法转化为乘法后再约分，能简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
9. $\frac{x^2}{x-2} - \frac{4x}{$
$} + \frac{4}{x-2}$。
$} + \frac{4}{x-2}$。答案
9. x-2
解析
【分析】
首先观察算式中三个分式的分母完全相同，均为$x-2$，按照同分母分式的加减运算法则，分母保持不变，只需要把三个分子相加减即可。得到的分子是二次三项式，可利用完全平方公式因式分解，最后通过约分化简得到最简结果。
【解析】
解：由题意可知$x≠2$，根据同分母分式加减法则：
$\begin{aligned}原式&=\frac{x^2 - 4x + 4}{x-2}\\&=\frac{(x-2)^2}{x-2}\\&=x-2\end{aligned}$
【答案】
$x-2$
【知识点】
同分母分式加减法；完全平方公式；分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题关键是先观察分母特征，同分母分式优先合并分子，再结合因式分解约分得到最简结果，运算时要注意分子加减的符号不要出错。
【难度系数】
0.8
首先观察算式中三个分式的分母完全相同，均为$x-2$，按照同分母分式的加减运算法则，分母保持不变，只需要把三个分子相加减即可。得到的分子是二次三项式，可利用完全平方公式因式分解，最后通过约分化简得到最简结果。
【解析】
解：由题意可知$x≠2$，根据同分母分式加减法则：
$\begin{aligned}原式&=\frac{x^2 - 4x + 4}{x-2}\\&=\frac{(x-2)^2}{x-2}\\&=x-2\end{aligned}$
【答案】
$x-2$
【知识点】
同分母分式加减法；完全平方公式；分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题关键是先观察分母特征，同分母分式优先合并分子，再结合因式分解约分得到最简结果，运算时要注意分子加减的符号不要出错。
【难度系数】
0.8
