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1. (2025·烟台期中)已知非零有理数$a,b,c$,满足$\dfrac{a}{|a|}+\dfrac{|b|}{b}+\dfrac{c}{|c|}=-1$,则$\dfrac{|abc|}{abc}$等于（
A.$\pm 1$
B.$-1$
C.$0$
D.$1$
D
）A.$\pm 1$
B.$-1$
C.$0$
D.$1$
答案
因为$\frac{a}{|a|}+\frac{|b|}{b}+\frac{c}{|c|}=-1$,所以a,b,c中有两个是负数,一个是正数,所以abc＞0,所以$\frac{|abc|}{abc}=1$.故选D.
2. (2025·南京校级月考)已知：$m=\dfrac{|a+b|}{c}+\dfrac{2|b+c|}{a}+\dfrac{3|c+a|}{b}$，且$abc＞0$，$a+b+c=0$，则$m$共有$x$个不同的值，若在这些不同的值中，最小的值为$y$，则$x-y=\_\_\_\_\_\_$。
答案
因为abc＞0,a+b+c=0,所以a+b=-c,b+c=-a,c+a=-b,所以a,b,c三个数中有两负一正,当a,b为负数,c为正数时,$m=\frac{|a+b|}{c}+\frac{2|b+c|}{a}+\frac{3|c+a|}{b}=\frac{|-c|}{c}+\frac{2|-a|}{a}+\frac{3|-b|}{b}=\frac{c}{c}+\frac{-2a}{a}+\frac{-3b}{b}=1-2-3=-4$;
当a,c为负数,b为正数时,
$m=\frac{|a+b|}{c}+\frac{2|b+c|}{a}+\frac{3|c+a|}{b}=\frac{|-c|}{c}+\frac{2|-a|}{a}+\frac{3|-b|}{b}=\frac{-c}{c}+\frac{-2a}{a}+\frac{3b}{b}=-1+(-2)+3=0$;
当b,c为负数,a为正数时,
$m=\frac{|a+b|}{c}+\frac{2|b+c|}{a}+\frac{3|c+a|}{b}=\frac{|-c|}{c}+\frac{2|-a|}{a}+\frac{3|-b|}{b}=\frac{-c}{c}+\frac{2a}{a}+\frac{-3b}{b}=-1+2-3=-2$.
因为m共有x个不同的值,在这些不同的值中,最小的值为y,所以x=3,y=-4,
所以x-y=3-(-4)=7.
当a,c为负数,b为正数时,
$m=\frac{|a+b|}{c}+\frac{2|b+c|}{a}+\frac{3|c+a|}{b}=\frac{|-c|}{c}+\frac{2|-a|}{a}+\frac{3|-b|}{b}=\frac{-c}{c}+\frac{-2a}{a}+\frac{3b}{b}=-1+(-2)+3=0$;
当b,c为负数,a为正数时,
$m=\frac{|a+b|}{c}+\frac{2|b+c|}{a}+\frac{3|c+a|}{b}=\frac{|-c|}{c}+\frac{2|-a|}{a}+\frac{3|-b|}{b}=\frac{-c}{c}+\frac{2a}{a}+\frac{-3b}{b}=-1+2-3=-2$.
因为m共有x个不同的值,在这些不同的值中,最小的值为y,所以x=3,y=-4,
所以x-y=3-(-4)=7.
3. （2025·镇江校级月考）阅读材料：$|x|=\begin{cases}x,x＞0,\\0,x=0,\\-x,x＜0,\end{cases}$ 即当 $x＜0$ 时，$\frac{x}{|x|}=\frac{x}{-x}=-1$，用这个结论解决下面问题：
(1) 已知 $a,b$ 是有理数，当 $ab≠0$ 时，求 $\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}$ 的值；
(2) 已知 $a,b,c$ 是有理数，当 $abc≠0$ 时，求 $\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}$ 的值；
(3) 已知 $a,b,c$ 是有理数，$a+b+c=0$，$abc＜0$，求 $\frac{b+c}{|a|}+\frac{a+c}{|b|}+\frac{a+b}{|c|}$ 的值.
＞＞ 进一步挑战进阶专题·P33 专题 19
(1) 已知 $a,b$ 是有理数，当 $ab≠0$ 时，求 $\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}$ 的值；
(2) 已知 $a,b,c$ 是有理数，当 $abc≠0$ 时，求 $\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}$ 的值；
(3) 已知 $a,b,c$ 是有理数，$a+b+c=0$，$abc＜0$，求 $\frac{b+c}{|a|}+\frac{a+c}{|b|}+\frac{a+b}{|c|}$ 的值.
＞＞ 进一步挑战进阶专题·P33 专题 19
答案
(1)①若a＜0,b＜0,则$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}=-1-1=-2$;
②若a＞0,b＞0,则$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}=1+1=2$;
③若a,b异号,则$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}=0$.
综上,$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}=\pm2$或0.
(2)①若a＜0,b＜0,c＜0,则$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}=-1-1-1=-3$;
②若a＞0,b＞0,c＞0,则$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}=1+1+1=3$;
③若a,b,c中有两负一正,则$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}=-1-1+1=-1$;
④若a,b,c中有两正一负,则$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}=-1+1+1=1$.
综上,$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}=\pm1$或$\pm3$.
(3)已知a,b,c是有理数,a+b+c=0,abc＜0,则b+c=-a,a+c=-b,a+b=-c,a,b,c中有两正一负,综上,$\frac{b+c}{|a|}+\frac{a+c}{|b|}+\frac{a+b}{|c|}=-\frac{a}{|a|}-\frac{b}{|b|}-\frac{c}{|c|}=1-1-1=-1$.
②若a＞0,b＞0,则$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}=1+1=2$;
③若a,b异号,则$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}=0$.
综上,$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}=\pm2$或0.
(2)①若a＜0,b＜0,c＜0,则$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}=-1-1-1=-3$;
②若a＞0,b＞0,c＞0,则$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}=1+1+1=3$;
③若a,b,c中有两负一正,则$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}=-1-1+1=-1$;
④若a,b,c中有两正一负,则$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}=-1+1+1=1$.
综上,$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}=\pm1$或$\pm3$.
(3)已知a,b,c是有理数,a+b+c=0,abc＜0,则b+c=-a,a+c=-b,a+b=-c,a,b,c中有两正一负,综上,$\frac{b+c}{|a|}+\frac{a+c}{|b|}+\frac{a+b}{|c|}=-\frac{a}{|a|}-\frac{b}{|b|}-\frac{c}{|c|}=1-1-1=-1$.
