登录
26. 以下是圆圆解方程$\frac{x+1}{2}-\frac{x-3}{3}=1$的解答过程.
解:去分母,得$3(x+1)-2(x-3)=1$.
去括号,得$3x+1-2x+3=1$.
移项、合并同类项,得$x=-3$.
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程.
解:去分母,得$3(x+1)-2(x-3)=1$.
去括号,得$3x+1-2x+3=1$.
移项、合并同类项,得$x=-3$.
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程.
答案
26.圆圆的解答过程有错误.
正确的解答过程如下：
去分母,得$3(x+1)-2(x-3)=6$.
去括号,得$3x+3-2x+6=6$.
移项、合并同类项,得$x=-3$.
易错警示 (1)去分母时,需要把等式两边的每一项都要乘最简公分母.
(2)去分母时,去掉分数线,要注意添加括号,分数线有括号的作用.
正确的解答过程如下：
去分母,得$3(x+1)-2(x-3)=6$.
去括号,得$3x+3-2x+6=6$.
移项、合并同类项,得$x=-3$.
易错警示 (1)去分母时,需要把等式两边的每一项都要乘最简公分母.
(2)去分母时,去掉分数线,要注意添加括号,分数线有括号的作用.
解析
【分析】
要判断圆圆的解答是否有错误，需按照解一元一次方程的步骤逐行核对：首先去分母时，等式两边的每一项都要乘分母的最小公倍数，本题分母2和3的最小公倍数是6，圆圆仅给左边的项乘了6，右边的常数项1漏乘，此处错误；其次去括号时，括号外的系数要乘括号内的每一项，$3(x+1)$展开应为$3x+3$，$-2(x-3)$展开应为$-2x+6$，圆圆未将系数乘到括号内的常数项，此处也错误。正确解答时先修正这两处错误，再按常规步骤计算即可。
【解析】
首先判断圆圆的解答过程有错误，正确解答步骤如下：
1. 去分母：等式两边同时乘2和3的最小公倍数6，得 $3(x+1)-2(x-3)=6$；
2. 去括号：根据去括号法则，将系数乘入括号内每一项，得 $3x+3-2x+6=6$；
3. 移项：把含未知数的项留在等式左边，常数项移到等式右边，得 $3x-2x=6-3-6$；
4. 合并同类项，计算得 $x=-3$。
【答案】
圆圆的解答过程有错误.
正确的解答过程如下：
去分母,得$3(x+1)-2(x-3)=6$.
去括号,得$3x+3-2x+6=6$.
移项、合并同类项,得$x=-3$.
【知识点】
解一元一次方程，去分母法则，去括号法则
【点评】
本题考查一元一次方程的求解规范，易错点集中在去分母时常数项漏乘最简公分母、去括号时漏乘括号内的项，解题时要严格遵循步骤运算，完成后可将结果代入原方程检验是否正确。
【难度系数】
0.8
要判断圆圆的解答是否有错误，需按照解一元一次方程的步骤逐行核对：首先去分母时，等式两边的每一项都要乘分母的最小公倍数，本题分母2和3的最小公倍数是6，圆圆仅给左边的项乘了6，右边的常数项1漏乘，此处错误；其次去括号时，括号外的系数要乘括号内的每一项，$3(x+1)$展开应为$3x+3$，$-2(x-3)$展开应为$-2x+6$，圆圆未将系数乘到括号内的常数项，此处也错误。正确解答时先修正这两处错误，再按常规步骤计算即可。
【解析】
首先判断圆圆的解答过程有错误，正确解答步骤如下：
1. 去分母：等式两边同时乘2和3的最小公倍数6，得 $3(x+1)-2(x-3)=6$；
2. 去括号：根据去括号法则，将系数乘入括号内每一项，得 $3x+3-2x+6=6$；
3. 移项：把含未知数的项留在等式左边，常数项移到等式右边，得 $3x-2x=6-3-6$；
4. 合并同类项，计算得 $x=-3$。
【答案】
圆圆的解答过程有错误.
正确的解答过程如下：
去分母,得$3(x+1)-2(x-3)=6$.
去括号,得$3x+3-2x+6=6$.
移项、合并同类项,得$x=-3$.
【知识点】
解一元一次方程，去分母法则，去括号法则
【点评】
本题考查一元一次方程的求解规范，易错点集中在去分母时常数项漏乘最简公分母、去括号时漏乘括号内的项，解题时要严格遵循步骤运算，完成后可将结果代入原方程检验是否正确。
【难度系数】
0.8
27.某七年级同学在做作业时，不慎将墨水瓶打翻，使一道作业题只看到如下字样：“甲、乙两站相距448 km，一列慢车从甲站出发，速度为60 km/h，一列快车从乙站出发，速度为100 km/h，？”（横线部分表示被墨水覆盖的若干文字）请将这道作业题补充完整，并列方程解答。
答案
27.补充:两车同时相向而行,多长时间相遇?
设经过$x$小时两车相遇,
根据题意,得$60x+100x=448$,
解得$x=2.8$.
故经过2.8小时两车相遇.(答案不唯一).
设经过$x$小时两车相遇,
根据题意,得$60x+100x=448$,
解得$x=2.8$.
故经过2.8小时两车相遇.(答案不唯一).
解析
【分析】
这是一道开放型行程问题，已知甲乙两站总距离、两车的速度及出发位置，我们可以结合常见的行程类型补充合理问题，此处以补充“两车同时相向而行，多长时间相遇”为例。解题时首先按照列一元一次方程解应用题的步骤，先设相遇时间为未知数，再根据“相遇时两车行驶的路程之和等于两站总距离”的等量关系列方程，最后解方程得到结果即可。
【解析】
补充问题：两车同时相向而行，多长时间相遇？
解：设经过$x$小时两车相遇。
根据路程=速度×时间，慢车行驶的路程为$60x$km，快车行驶的路程为$100x$km，两车相遇时行驶路程和等于甲乙两站总距离，据此列方程：
$60x + 100x = 448$
合并同类项，得$160x = 448$
系数化为1，得$x = 2.8$
答：经过2.8小时两车相遇。（补充问题不唯一，合理即可）
【答案】
补充：两车同时相向而行，多长时间相遇？经过2.8小时两车相遇。（答案不唯一）
【知识点】
一元一次方程应用，行程相遇问题
【点评】
本题属于开放性试题，既考查对行程问题基本等量关系的掌握，也考查发散思维能力，补全问题时只要符合已知条件、逻辑通顺即可，解题核心是找准对应行程场景下的等量关系，正确列方程求解。
【难度系数】
0.8
这是一道开放型行程问题，已知甲乙两站总距离、两车的速度及出发位置，我们可以结合常见的行程类型补充合理问题，此处以补充“两车同时相向而行，多长时间相遇”为例。解题时首先按照列一元一次方程解应用题的步骤，先设相遇时间为未知数，再根据“相遇时两车行驶的路程之和等于两站总距离”的等量关系列方程，最后解方程得到结果即可。
【解析】
补充问题：两车同时相向而行，多长时间相遇？
解：设经过$x$小时两车相遇。
根据路程=速度×时间，慢车行驶的路程为$60x$km，快车行驶的路程为$100x$km，两车相遇时行驶路程和等于甲乙两站总距离，据此列方程：
$60x + 100x = 448$
合并同类项，得$160x = 448$
系数化为1，得$x = 2.8$
答：经过2.8小时两车相遇。（补充问题不唯一，合理即可）
【答案】
补充：两车同时相向而行，多长时间相遇？经过2.8小时两车相遇。（答案不唯一）
【知识点】
一元一次方程应用，行程相遇问题
【点评】
本题属于开放性试题，既考查对行程问题基本等量关系的掌握，也考查发散思维能力，补全问题时只要符合已知条件、逻辑通顺即可，解题核心是找准对应行程场景下的等量关系，正确列方程求解。
【难度系数】
0.8
28. 七年级1班共有学生45人，其中男生人数比女生人数少3人.某节课上，老师组织同学们做圆柱形笔筒，每名学生每节课能做筒身30个或筒底90个.
(1)七年级1班有男生、女生各多少人？
(2)原计划女生负责做筒身，男生负责做筒底，要求每个筒身匹配2个筒底，那么每节课做出的筒身和筒底配套吗？如果不配套，男生要支援女生几人，才能使筒身和筒底配套？
(1)七年级1班有男生、女生各多少人？
(2)原计划女生负责做筒身，男生负责做筒底，要求每个筒身匹配2个筒底，那么每节课做出的筒身和筒底配套吗？如果不配套，男生要支援女生几人，才能使筒身和筒底配套？
答案
28.(1)设女生有$x$人,则男生有$(x-3)$人,
由题意,得$x+(x-3)=45$,
解得$x=24$,则$x-3=21$.
故七年级1班有男生21人,女生24人.
(2)女生可以做筒身:$24×30=720$(个),
男生可以做筒底:$21×90=1890$(个).
$\because720×2＜1890$,$\therefore$原计划每节课做出的筒身和筒底不配套.
设男生要支援女生$a$人,才能使筒身和筒底配套,
则$(24+a)×30×2=(21-a)×90$,解得$a=3$.
故男生要支援女生3人,才能使筒身和筒底配套.
由题意,得$x+(x-3)=45$,
解得$x=24$,则$x-3=21$.
故七年级1班有男生21人,女生24人.
(2)女生可以做筒身:$24×30=720$(个),
男生可以做筒底:$21×90=1890$(个).
$\because720×2＜1890$,$\therefore$原计划每节课做出的筒身和筒底不配套.
设男生要支援女生$a$人,才能使筒身和筒底配套,
则$(24+a)×30×2=(21-a)×90$,解得$a=3$.
故男生要支援女生3人,才能使筒身和筒底配套.
解析
【分析】
(1) 第一问已知全班总人数和男女生的人数差，可通过设未知数列一元一次方程求解，等量关系为：男生人数+女生人数=全班总人数45人。设女生人数为$x$，则男生人数为$x-3$，代入等量关系即可解方程得到结果。
(2) 第二问先分别计算原计划下的筒身、筒底总数量，根据“1个筒身匹配2个筒底”的规则，判断筒底总数量是否等于2倍筒身总数量，若不等则不配套；再设男生支援女生$a$人，此时做筒身的总人数为$(24+a)$，做筒底的总人数为$(21-a)$，根据配套的核心等量关系“筒底总数量=2×筒身总数量”列方程求解即可。
【解析】
(1) 设女生有$x$人，则男生有$(x-3)$人，
由题意得：$x+(x-3)=45$，
解得$x=24$，则男生人数为$x-3=24-3=21$。
(2) 原计划女生做筒身的总数量：$24×30=720$（个），
原计划男生做筒底的总数量：$21×90=1890$（个），
720个筒身需要匹配的筒底数量为$720×2=1440$（个），
$\because1440＜1890$，$\therefore$原计划每节课做出的筒身和筒底不配套。
设男生要支援女生$a$人，才能使筒身和筒底配套，
由题意得：$(24+a)×30×2=(21-a)×90$，
化简得：$1440+60a=1890-90a$，
移项合并得：$150a=450$，
解得$a=3$。
【答案】
(1) 七年级1班有男生21人，女生24人；
(2) 原计划每节课做出的筒身和筒底不配套，男生要支援女生3人，才能使筒身和筒底配套。
【知识点】
一元一次方程应用，和差问题，配套问题
【点评】
本题结合实际生活场景命题，既考查了利用和差关系列方程求解基础数量的能力，又考查了配套问题中等量关系的梳理，解题时需注意配套规则中两类物品的数量倍数关系，避免列方程时将倍数写反，整体注重对方程建模思想的运用。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问已知全班总人数和男女生的人数差，可通过设未知数列一元一次方程求解，等量关系为：男生人数+女生人数=全班总人数45人。设女生人数为$x$，则男生人数为$x-3$，代入等量关系即可解方程得到结果。
(2) 第二问先分别计算原计划下的筒身、筒底总数量，根据“1个筒身匹配2个筒底”的规则，判断筒底总数量是否等于2倍筒身总数量，若不等则不配套；再设男生支援女生$a$人，此时做筒身的总人数为$(24+a)$，做筒底的总人数为$(21-a)$，根据配套的核心等量关系“筒底总数量=2×筒身总数量”列方程求解即可。
【解析】
(1) 设女生有$x$人，则男生有$(x-3)$人，
由题意得：$x+(x-3)=45$，
解得$x=24$，则男生人数为$x-3=24-3=21$。
(2) 原计划女生做筒身的总数量：$24×30=720$（个），
原计划男生做筒底的总数量：$21×90=1890$（个），
720个筒身需要匹配的筒底数量为$720×2=1440$（个），
$\because1440＜1890$，$\therefore$原计划每节课做出的筒身和筒底不配套。
设男生要支援女生$a$人，才能使筒身和筒底配套，
由题意得：$(24+a)×30×2=(21-a)×90$，
化简得：$1440+60a=1890-90a$，
移项合并得：$150a=450$，
解得$a=3$。
【答案】
(1) 七年级1班有男生21人，女生24人；
(2) 原计划每节课做出的筒身和筒底不配套，男生要支援女生3人，才能使筒身和筒底配套。
【知识点】
一元一次方程应用，和差问题，配套问题
【点评】
本题结合实际生活场景命题，既考查了利用和差关系列方程求解基础数量的能力，又考查了配套问题中等量关系的梳理，解题时需注意配套规则中两类物品的数量倍数关系，避免列方程时将倍数写反，整体注重对方程建模思想的运用。
【难度系数】
0.7
29.如图，线段$AB=24$，动点$P$从点$A$出发，以2个单位/秒的速度沿射线$AB$运动，$M$为$AP$的中点.
(1)出发多少秒后，$PB=2AM$.
(2)当点$P$在线段$AB$上运动时，试说明$2BM-BP$为定值.
(3)当点$P$在$AB$延长线上运动时，$N$为$BP$的中点，下列两个结论：①$MN$长度不变；②$MN+PN$的值不变.选出一个正确的结论，并求其值.
(1)出发多少秒后，$PB=2AM$.
(2)当点$P$在线段$AB$上运动时，试说明$2BM-BP$为定值.
(3)当点$P$在$AB$延长线上运动时，$N$为$BP$的中点，下列两个结论：①$MN$长度不变；②$MN+PN$的值不变.选出一个正确的结论，并求其值.
答案
29.(1)设出发$t$秒后,$PB=2AM$,
当点$P$在点$B$左边时,
$PA=2t$,$PB=24-2t$,$AM=t$,
由题意,得$24-2t=2t$,解得$t=6$;
当点$P$在点$B$右边时,
$PA=2t$,$PB=2t-24$,$AM=t$,
由题意,得$2t-24=2t$,方程无解.
综上所述,出发6秒后,$PB=2AM$.
(2)设点$P$出发$x$秒.因为$AM=x$,$BM=24-x$,
$PB=24-2x$,所以$2BM-BP=2(24-x)-(24-2x)=24$.
(3)选①.
设点$P$出发$y$秒.因为$PA=2y$,$AM=PM=y$,
$PB=2y-24$,$PN=\dfrac{1}{2}PB=y-12$,所以①$MN=PM-PN=y-(y-12)=12$(定值).
②$MN+PN=12+y-12=y$(变化).
故①的结论是正确的,$MN$的长度不变,为定值12.
当点$P$在点$B$左边时,
$PA=2t$,$PB=24-2t$,$AM=t$,
由题意,得$24-2t=2t$,解得$t=6$;
当点$P$在点$B$右边时,
$PA=2t$,$PB=2t-24$,$AM=t$,
由题意,得$2t-24=2t$,方程无解.
综上所述,出发6秒后,$PB=2AM$.
(2)设点$P$出发$x$秒.因为$AM=x$,$BM=24-x$,
$PB=24-2x$,所以$2BM-BP=2(24-x)-(24-2x)=24$.
(3)选①.
设点$P$出发$y$秒.因为$PA=2y$,$AM=PM=y$,
$PB=2y-24$,$PN=\dfrac{1}{2}PB=y-12$,所以①$MN=PM-PN=y-(y-12)=12$(定值).
②$MN+PN=12+y-12=y$(变化).
故①的结论是正确的,$MN$的长度不变,为定值12.
解析
【分析】
(1) 求解PB=2AM的时间，先设运动时间为t，用含t的代数式表示AP、AM，再分P在B左侧、P在B右侧两种情况表示PB的长度，分别列方程求解，舍去无解的情况即可。
(2) 要说明2BM-BP为定值，先将BM、BP用运动时间的代数式表示，代入式子化简，若最终结果不含变量，即可证明是定值。
(3) 判断两个结论是否正确，先将P在AB延长线上时的PM、PB、PN用运动时间的代数式表示，分别计算MN、MN+PN的值，结果不含变量的结论即为正确结论。
【解析】
(1) 设出发t秒后，$PB=2AM$。
①当点P在点B左边时，$PA=2t$，$PB=24-2t$，M是AP中点，故$AM=t$。
由题意列方程：$24-2t=2t$，解得$t=6$。
②当点P在点B右边时，$PA=2t$，$PB=2t-24$，$AM=t$。
由题意列方程：$2t-24=2t$，化简得$-24=0$，方程无解。
综上，出发6秒后，$PB=2AM$。
(2) 设点P运动时间为x秒，此时P在线段AB上。
则$AM=x$，$BM=24-x$，$PB=24-2x$。
代入式子得：$2BM-BP=2(24-x)-(24-2x)=48-2x-24+2x=24$，结果为定值，不随x变化。
(3) 选结论①。
设点P运动时间为y秒，此时P在AB延长线上。
则$PA=2y$，M是AP中点，故$AM=PM=y$；$PB=2y-24$，N是BP中点，故$PN=\frac{1}{2}PB=y-12$。
计算①：$MN=PM-PN=y-(y-12)=12$，是定值，不随y变化。
计算②：$MN+PN=12+(y-12)=y$，随运动时间y变化，不是定值。
故结论①正确，MN长度为定值。
【答案】
(1) 出发6秒后，$PB=2AM$；
(2) $2BM-BP$的定值为24；
(3) 选①，MN的长度为定值12。
【知识点】
线段中点计算，动点问题，一元一次方程应用
【点评】
本题是线段动点类的典型题型，考查分类讨论思想和用代数法解决几何定值问题的能力，解题时需注意根据点的不同位置正确表示线段长度，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 求解PB=2AM的时间，先设运动时间为t，用含t的代数式表示AP、AM，再分P在B左侧、P在B右侧两种情况表示PB的长度，分别列方程求解，舍去无解的情况即可。
(2) 要说明2BM-BP为定值，先将BM、BP用运动时间的代数式表示，代入式子化简，若最终结果不含变量，即可证明是定值。
(3) 判断两个结论是否正确，先将P在AB延长线上时的PM、PB、PN用运动时间的代数式表示，分别计算MN、MN+PN的值，结果不含变量的结论即为正确结论。
【解析】
(1) 设出发t秒后，$PB=2AM$。
①当点P在点B左边时，$PA=2t$，$PB=24-2t$，M是AP中点，故$AM=t$。
由题意列方程：$24-2t=2t$，解得$t=6$。
②当点P在点B右边时，$PA=2t$，$PB=2t-24$，$AM=t$。
由题意列方程：$2t-24=2t$，化简得$-24=0$，方程无解。
综上，出发6秒后，$PB=2AM$。
(2) 设点P运动时间为x秒，此时P在线段AB上。
则$AM=x$，$BM=24-x$，$PB=24-2x$。
代入式子得：$2BM-BP=2(24-x)-(24-2x)=48-2x-24+2x=24$，结果为定值，不随x变化。
(3) 选结论①。
设点P运动时间为y秒，此时P在AB延长线上。
则$PA=2y$，M是AP中点，故$AM=PM=y$；$PB=2y-24$，N是BP中点，故$PN=\frac{1}{2}PB=y-12$。
计算①：$MN=PM-PN=y-(y-12)=12$，是定值，不随y变化。
计算②：$MN+PN=12+(y-12)=y$，随运动时间y变化，不是定值。
故结论①正确，MN长度为定值。
【答案】
(1) 出发6秒后，$PB=2AM$；
(2) $2BM-BP$的定值为24；
(3) 选①，MN的长度为定值12。
【知识点】
线段中点计算，动点问题，一元一次方程应用
【点评】
本题是线段动点类的典型题型，考查分类讨论思想和用代数法解决几何定值问题的能力，解题时需注意根据点的不同位置正确表示线段长度，避免漏解。
【难度系数】
0.6
