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7. 下列式子:①$x(y+1)$；②$y=\dfrac{2}{x+2}$；③$y=\dfrac{1}{x^{2}}$；④$y=-\dfrac{1}{2x}$；⑤$y=\dfrac{x}{2}$；⑥$y=\dfrac{2}{3x}$. 其中$y$是$x$的反比例函数的是（
A.①②③④⑥
B.③⑤⑥
C.①②④
D.④⑥
D
）A.①②③④⑥
B.③⑤⑥
C.①②④
D.④⑥
答案
7.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确反比例函数的核心定义和判定规则，我们先回忆反比例函数的标准形式：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为非零常数）的函数才是反比例函数，核心特征是y与x的乘积为非零常数，分母仅为自变量x的一次单项式，不能是x的多项式、也不能是x的高次幂。接下来我们逐个对题目给出的6个式子逐一对照定义排查，排除不符合的选项，最终得到正确结果。
【解析】
首先明确反比例函数的判定要求：函数表达式可整理为$y=\frac{k}{x}$（$k$是不为0的常数）的形式，等号右侧是分式，分子为非零常数，分母是仅含x的一次单项式。我们逐个判断6个式子：
1. ①$x(y+1)$：这只是一个代数式，不是等式，不属于函数，直接排除；
2. ②$y=\frac{2}{x+2}$：分母是$x+2$，属于x的一次多项式，该式表示y和$(x+2)$成反比例，不是y和x成反比例，不符合反比例函数定义，排除；
3. ③$y=\frac{1}{x^2}$：分母是$x^2$，x的次数为2，不满足反比例函数中x的次数为-1的要求，排除；
4. ④$y=-\frac{1}{2x}$：可变形为$y=\frac{-\frac{1}{2}}{x}$，其中$k=-\frac{1}{2}≠0$，完全符合反比例函数定义；
5. ⑤$y=\frac{x}{2}$：属于正比例函数，是特殊的一次函数，不符合反比例函数定义，排除；
6. ⑥$y=\frac{2}{3x}$：可变形为$y=\frac{\frac{2}{3}}{x}$，其中$k=\frac{2}{3}≠0$，符合反比例函数定义。
综上，只有④和⑥是y关于x的反比例函数，对应选项D。
【答案】D
【知识点】反比例函数的定义
【点评】本题是反比例函数的基础概念题，易错点是很多同学会误将分母含x的多项式、x高次幂的形式判定为反比例函数，解题时严格对照反比例函数的核心特征逐一排查，就能避免概念混淆出错。
【难度系数】0.7
要解决这道题，首先需要明确反比例函数的核心定义和判定规则，我们先回忆反比例函数的标准形式：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为非零常数）的函数才是反比例函数，核心特征是y与x的乘积为非零常数，分母仅为自变量x的一次单项式，不能是x的多项式、也不能是x的高次幂。接下来我们逐个对题目给出的6个式子逐一对照定义排查，排除不符合的选项，最终得到正确结果。
【解析】
首先明确反比例函数的判定要求：函数表达式可整理为$y=\frac{k}{x}$（$k$是不为0的常数）的形式，等号右侧是分式，分子为非零常数，分母是仅含x的一次单项式。我们逐个判断6个式子：
1. ①$x(y+1)$：这只是一个代数式，不是等式，不属于函数，直接排除；
2. ②$y=\frac{2}{x+2}$：分母是$x+2$，属于x的一次多项式，该式表示y和$(x+2)$成反比例，不是y和x成反比例，不符合反比例函数定义，排除；
3. ③$y=\frac{1}{x^2}$：分母是$x^2$，x的次数为2，不满足反比例函数中x的次数为-1的要求，排除；
4. ④$y=-\frac{1}{2x}$：可变形为$y=\frac{-\frac{1}{2}}{x}$，其中$k=-\frac{1}{2}≠0$，完全符合反比例函数定义；
5. ⑤$y=\frac{x}{2}$：属于正比例函数，是特殊的一次函数，不符合反比例函数定义，排除；
6. ⑥$y=\frac{2}{3x}$：可变形为$y=\frac{\frac{2}{3}}{x}$，其中$k=\frac{2}{3}≠0$，符合反比例函数定义。
综上，只有④和⑥是y关于x的反比例函数，对应选项D。
【答案】D
【知识点】反比例函数的定义
【点评】本题是反比例函数的基础概念题，易错点是很多同学会误将分母含x的多项式、x高次幂的形式判定为反比例函数，解题时严格对照反比例函数的核心特征逐一排查，就能避免概念混淆出错。
【难度系数】0.7
8.(2025·丰县月考)如果函数$y=x^{m-2}$是反比例函数,那么$m$的值是 （
A.2
B.$-1$
C.1
D.0
C
）A.2
B.$-1$
C.1
D.0
答案
8.C
解析
【分析】
我们要解决这道题，首先需要回忆反比例函数的定义特征：反比例函数的自变量x的次数必须为-1，且系数不为0。首先明确题目给出的函数是幂形式$y=x^{m-2}$，它的系数是1，天然满足不等于0的要求，因此只需要让x的指数等于-1，列出关于m的一元一次方程，求解方程就能得到m的值，最后匹配对应选项即可。
【解析】
解：根据反比例函数的定义，反比例函数可写成$y=kx^{-1}$（k为常数，$k≠0$）的形式，即自变量x的次数为-1。
已知函数$y=x^{m-2}$是反比例函数，因此自变量的指数满足等式：
$m-2 = -1$
解该一元一次方程，移项计算得：
$m = -1 + 2 = 1$
因此m的值为1，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数定义，一元一次方程求解
【点评】
本题是反比例函数章节的基础题，核心考察对反比例函数标准形式的掌握，本题函数系数为1，无需额外验证系数不为0的隐含条件，只要牢记反比例函数自变量次数为-1的核心特征即可快速求解，易错点是混淆反比例函数和一次函数、常数函数的自变量次数要求。
【难度系数】
0.9
我们要解决这道题，首先需要回忆反比例函数的定义特征：反比例函数的自变量x的次数必须为-1，且系数不为0。首先明确题目给出的函数是幂形式$y=x^{m-2}$，它的系数是1，天然满足不等于0的要求，因此只需要让x的指数等于-1，列出关于m的一元一次方程，求解方程就能得到m的值，最后匹配对应选项即可。
【解析】
解：根据反比例函数的定义，反比例函数可写成$y=kx^{-1}$（k为常数，$k≠0$）的形式，即自变量x的次数为-1。
已知函数$y=x^{m-2}$是反比例函数，因此自变量的指数满足等式：
$m-2 = -1$
解该一元一次方程，移项计算得：
$m = -1 + 2 = 1$
因此m的值为1，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数定义，一元一次方程求解
【点评】
本题是反比例函数章节的基础题，核心考察对反比例函数标准形式的掌握，本题函数系数为1，无需额外验证系数不为0的隐含条件，只要牢记反比例函数自变量次数为-1的核心特征即可快速求解，易错点是混淆反比例函数和一次函数、常数函数的自变量次数要求。
【难度系数】
0.9
9.(2025·崇川区期中)如表,当$x$和$y$成正比例时,$a$的值是
4
;当$x$和$y$成反比例时,$a$的值是9
.答案
9.4 9
解析
【分析】
我们需要先明确正比例和反比例的核心特征来解题：
1. 若两个量成正比例，说明它们的比值是固定不变的，任意一组对应的y和x的商相等。已知第一组x=4.5、y=6，第二组x=3、y=a，就可以列出比值相等的等式求解a。
2. 若两个量成反比例，说明它们的乘积是固定不变的，任意一组对应的x和y的积相等，代入两组数值列出乘积相等的等式就能算出对应的a。
【解析】
① 当x和y成正比例时：
正比例要求对应y与x的比值为定值，因此列等式：
$\frac{6}{4.5} = \frac{a}{3}$
交叉相乘得：$4.5a = 6×3 = 18$
解得：$a = 18÷4.5 = 4$
② 当x和y成反比例时：
反比例要求对应x与y的乘积为定值，因此列等式：
$4.5×6 = 3× a$
计算左边得：$27 = 3a$
解得：$a = 27÷3 =9$
【答案】4；9
【知识点】正比例判定，反比例判定
【点评】本题属于正反比例的基础应用题型，核心考点是区分正反比例的核心性质：正比例比值恒定、反比例乘积恒定，只要牢记两个特征，避免混淆两者的计算逻辑，就可以快速得到结果，是比例部分的常规基础题。
【难度系数】0.8
我们需要先明确正比例和反比例的核心特征来解题：
1. 若两个量成正比例，说明它们的比值是固定不变的，任意一组对应的y和x的商相等。已知第一组x=4.5、y=6，第二组x=3、y=a，就可以列出比值相等的等式求解a。
2. 若两个量成反比例，说明它们的乘积是固定不变的，任意一组对应的x和y的积相等，代入两组数值列出乘积相等的等式就能算出对应的a。
【解析】
① 当x和y成正比例时：
正比例要求对应y与x的比值为定值，因此列等式：
$\frac{6}{4.5} = \frac{a}{3}$
交叉相乘得：$4.5a = 6×3 = 18$
解得：$a = 18÷4.5 = 4$
② 当x和y成反比例时：
反比例要求对应x与y的乘积为定值，因此列等式：
$4.5×6 = 3× a$
计算左边得：$27 = 3a$
解得：$a = 27÷3 =9$
【答案】4；9
【知识点】正比例判定，反比例判定
【点评】本题属于正反比例的基础应用题型，核心考点是区分正反比例的核心性质：正比例比值恒定、反比例乘积恒定，只要牢记两个特征，避免混淆两者的计算逻辑，就可以快速得到结果，是比例部分的常规基础题。
【难度系数】0.8
10. 写出下列两个变量之间的函数表达式，并判断它们是否为反比例函数.
(1)当圆柱的体积是$50\ \mathrm{cm^3}$时，它的底面圆的面积$S(\mathrm{cm^2})$随高$h(\mathrm{cm})$的变化而变化；
(2)玲玲用200元钱买营养品送给妈妈，她所能购买营养品的数量$y$(千克)随单价$x$(元/千克)的变化而变化；
(3)一个物体重$100\ \mathrm{N}$，物体对地面的压强$p$(单位:$\mathrm{Pa}$)随物体与地面的接触面积$S$(单位:$\mathrm{m^2}$)的变化而变化.
(1)当圆柱的体积是$50\ \mathrm{cm^3}$时，它的底面圆的面积$S(\mathrm{cm^2})$随高$h(\mathrm{cm})$的变化而变化；
(2)玲玲用200元钱买营养品送给妈妈，她所能购买营养品的数量$y$(千克)随单价$x$(元/千克)的变化而变化；
(3)一个物体重$100\ \mathrm{N}$，物体对地面的压强$p$(单位:$\mathrm{Pa}$)随物体与地面的接触面积$S$(单位:$\mathrm{m^2}$)的变化而变化.
答案
10.解:(1)根据题意，得$50=Sh$，即$S=\dfrac{50}{h}$，该函数是$S$关于$h$的反比例函数.
(2)根据题意，得$y=\dfrac{200}{x}$，该函数是$y$关于$x$的反比例函数.
(3)根据题意，得$p=\dfrac{100}{S}$，该函数是$p$关于$S$的反比例函数.
(2)根据题意，得$y=\dfrac{200}{x}$，该函数是$y$关于$x$的反比例函数.
(3)根据题意，得$p=\dfrac{100}{S}$，该函数是$p$关于$S$的反比例函数.
解析
【分析】
解题时可以分两步推进：第一步先结合每个小题的实际场景，回忆对应的等量关系，将已知的常量代入等式，把等式变形为因变量关于自变量的函数表达式；第二步对照反比例函数的定义（形如$y=\frac{k}{x}$，其中$k$为非零常数的函数），判断得到的表达式是否符合反比例函数的形式。具体对应：第(1)题用圆柱体积公式代入已知体积变形，第(2)题用“总价=单价×数量”的关系代入总金额变形，第(3)题用压强公式代入已知压力变形，最后逐一完成判断即可。
【解析】
(1) 圆柱体积公式为$V=Sh$，已知圆柱体积为$50\ \mathrm{cm^3}$，代入得$50=Sh$，将等式两边同时除以$h$（$h＞0$），变形得到$S=\dfrac{50}{h}$，该表达式符合反比例函数的形式，因此是$S$关于$h$的反比例函数。
(2) 根据“总消费金额=单价×购买数量”，已知总金额为200元，代入得$200=xy$，变形得到$y=\dfrac{200}{x}$，该表达式符合反比例函数的形式，因此是$y$关于$x$的反比例函数。
(3) 压强公式为$p=\dfrac{F}{S}$，已知物体对地面的压力等于自身重力，即$F=100\ \mathrm{N}$，代入得$p=\dfrac{100}{S}$，该表达式符合反比例函数的形式，因此是$p$关于$S$的反比例函数。
【答案】
(1) $S=\dfrac{50}{h}$，该函数是$S$关于$h$的反比例函数；
(2) $y=\dfrac{200}{x}$，该函数是$y$关于$x$的反比例函数；
(3) $p=\dfrac{100}{S}$，该函数是$p$关于$S$的反比例函数。
【知识点】
反比例函数判定，实际问题列函数式，常见等量关系应用
【点评】
本题结合几何、日常生活、物理三类不同的实际场景，考察反比例函数的入门应用，核心解题逻辑是先找准场景对应的等量关系，变形得到变量间的表达式后对照定义即可完成判断，能帮助学生直观理解反比例函数在现实中的存在形式，属于基础巩固类题型。
【难度系数】
0.9
解题时可以分两步推进：第一步先结合每个小题的实际场景，回忆对应的等量关系，将已知的常量代入等式，把等式变形为因变量关于自变量的函数表达式；第二步对照反比例函数的定义（形如$y=\frac{k}{x}$，其中$k$为非零常数的函数），判断得到的表达式是否符合反比例函数的形式。具体对应：第(1)题用圆柱体积公式代入已知体积变形，第(2)题用“总价=单价×数量”的关系代入总金额变形，第(3)题用压强公式代入已知压力变形，最后逐一完成判断即可。
【解析】
(1) 圆柱体积公式为$V=Sh$，已知圆柱体积为$50\ \mathrm{cm^3}$，代入得$50=Sh$，将等式两边同时除以$h$（$h＞0$），变形得到$S=\dfrac{50}{h}$，该表达式符合反比例函数的形式，因此是$S$关于$h$的反比例函数。
(2) 根据“总消费金额=单价×购买数量”，已知总金额为200元，代入得$200=xy$，变形得到$y=\dfrac{200}{x}$，该表达式符合反比例函数的形式，因此是$y$关于$x$的反比例函数。
(3) 压强公式为$p=\dfrac{F}{S}$，已知物体对地面的压力等于自身重力，即$F=100\ \mathrm{N}$，代入得$p=\dfrac{100}{S}$，该表达式符合反比例函数的形式，因此是$p$关于$S$的反比例函数。
【答案】
(1) $S=\dfrac{50}{h}$，该函数是$S$关于$h$的反比例函数；
(2) $y=\dfrac{200}{x}$，该函数是$y$关于$x$的反比例函数；
(3) $p=\dfrac{100}{S}$，该函数是$p$关于$S$的反比例函数。
【知识点】
反比例函数判定，实际问题列函数式，常见等量关系应用
【点评】
本题结合几何、日常生活、物理三类不同的实际场景，考察反比例函数的入门应用，核心解题逻辑是先找准场景对应的等量关系，变形得到变量间的表达式后对照定义即可完成判断，能帮助学生直观理解反比例函数在现实中的存在形式，属于基础巩固类题型。
【难度系数】
0.9
11. (2025·沛县月考)已知 $y=y_1+y_2$，$y_1$ 与 $(x-1)$ 成反比例，$y_2$ 与 $x$ 成正比例，且当 $x=2$ 时，$y_1=4$，$y=2$。
求:(1)$y$ 关于 $x$ 的函数表达式；
(2)当 $x=3$ 时的函数值。
求:(1)$y$ 关于 $x$ 的函数表达式；
(2)当 $x=3$ 时的函数值。
答案
11.解:(1)设$y_1=\dfrac{k_1}{x-1}$，$y_2=k_2x(k_2≠0)$，$\therefore y=\dfrac{k_1}{x-1}+k_2x$.把$x=2$，$y_1=4$和$x=2$，$y=2$分别代入，得$\begin{cases} k_1=4,\\ k_1+2k_2=2,\\ \end{cases}$解得$\begin{cases} k_1=4,\\ k_2=-1,\\ \end{cases}$$\therefore y$关于$x$的函数表达式为$y=\dfrac{4}{x-1}-x$.
(2)当$x=3$时，$y=\dfrac{4}{3-1}-3=-1$.
(2)当$x=3$时，$y=\dfrac{4}{3-1}-3=-1$.
解析
【分析】
这道题的核心是用待定系数法求解组合型函数的解析式，我们可以按照以下思路逐步推导：
1. 首先根据题干给出的变量关系：y₁与(x-1)成反比例、y₂与x成正比例，回忆对应的函数形式，分别设出带独立参数的y₁、y₂表达式，注意两个比例系数要使用不同字母区分，避免混淆。
2. 结合y=y₁+y₂，把两个表达式相加，得到含有两个未知参数的y的通用表达式。
3. 把题干给出的x=2时y₁=4、y=2这两组已知条件代入通用表达式，得到关于两个参数的二元一次方程组，解方程组求出参数的具体数值，就能得到y关于x的完整函数式。
4. 第二问只需要把x=3代入已经求出的函数表达式，直接计算就能得到对应的函数值。
【解析】
(1) 由y₁与(x-1)成反比例，设$y_1=\dfrac{k_1}{x-1}\quad(k_1≠0)$；
由y₂与x成正比例，设$y_2=k_2x\quad(k_2≠0)$。
结合$y=y_1+y_2$，可得y的通用表达式：
$y=\dfrac{k_1}{x-1}+k_2x$
将$x=2$，$y_1=4$代入$y_1=\dfrac{k_1}{x-1}$，得$4=\dfrac{k_1}{2-1}$，解得$k_1=4$。
再将$x=2$，$y=2$代入y的表达式，可得方程组：
$\begin{cases}k_1=4\\k_1+2k_2=2\end{cases}$
解方程组，把$k_1=4$代入第二个式子，得$4+2k_2=2$，解得$k_2=-1$。
因此y关于x的函数表达式为$y=\dfrac{4}{x-1}-x$。
(2) 将$x=3$代入所求函数表达式：
$y=\dfrac{4}{3-1}-3=2-3=-1$
【答案】
(1) $y=\dfrac{4}{x-1}-x$；(2) 当$x=3$时函数值为$-1$
【知识点】
待定系数法求函数解析式，反比例函数定义，正比例函数定义
【点评】
本题属于函数模块的基础题型，重点考察对正比例、反比例函数定义的理解，以及待定系数法的常规应用，解题时要注意两个不同比例关系的参数不能混用，计算过程中留意负号的运算，避免出现符号错误，整体难度较低，适合巩固复合函数解析式的求解逻辑。
【难度系数】
0.8
这道题的核心是用待定系数法求解组合型函数的解析式，我们可以按照以下思路逐步推导：
1. 首先根据题干给出的变量关系：y₁与(x-1)成反比例、y₂与x成正比例，回忆对应的函数形式，分别设出带独立参数的y₁、y₂表达式，注意两个比例系数要使用不同字母区分，避免混淆。
2. 结合y=y₁+y₂，把两个表达式相加，得到含有两个未知参数的y的通用表达式。
3. 把题干给出的x=2时y₁=4、y=2这两组已知条件代入通用表达式，得到关于两个参数的二元一次方程组，解方程组求出参数的具体数值，就能得到y关于x的完整函数式。
4. 第二问只需要把x=3代入已经求出的函数表达式，直接计算就能得到对应的函数值。
【解析】
(1) 由y₁与(x-1)成反比例，设$y_1=\dfrac{k_1}{x-1}\quad(k_1≠0)$；
由y₂与x成正比例，设$y_2=k_2x\quad(k_2≠0)$。
结合$y=y_1+y_2$，可得y的通用表达式：
$y=\dfrac{k_1}{x-1}+k_2x$
将$x=2$，$y_1=4$代入$y_1=\dfrac{k_1}{x-1}$，得$4=\dfrac{k_1}{2-1}$，解得$k_1=4$。
再将$x=2$，$y=2$代入y的表达式，可得方程组：
$\begin{cases}k_1=4\\k_1+2k_2=2\end{cases}$
解方程组，把$k_1=4$代入第二个式子，得$4+2k_2=2$，解得$k_2=-1$。
因此y关于x的函数表达式为$y=\dfrac{4}{x-1}-x$。
(2) 将$x=3$代入所求函数表达式：
$y=\dfrac{4}{3-1}-3=2-3=-1$
【答案】
(1) $y=\dfrac{4}{x-1}-x$；(2) 当$x=3$时函数值为$-1$
【知识点】
待定系数法求函数解析式，反比例函数定义，正比例函数定义
【点评】
本题属于函数模块的基础题型，重点考察对正比例、反比例函数定义的理解，以及待定系数法的常规应用，解题时要注意两个不同比例关系的参数不能混用，计算过程中留意负号的运算，避免出现符号错误，整体难度较低，适合巩固复合函数解析式的求解逻辑。
【难度系数】
0.8
