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11. 新定义:若无理数$\sqrt{T}$的被开方数$T$($T$为正整数)满足$n^{2}＜T＜(n+1)^{2}$(其中$n$为正整数),则称无理数$\sqrt{T}$的“青一区间”为$(n,n+1)$;同理规定无理数$-\sqrt{T}$的“青一区间”为$(-n-1,-n)$.例如:因为$1^{2}＜2＜2^{2}$,所以$1＜\sqrt{2}＜2$,所以$\sqrt{2}$的“青一区间”为$(1,2)$,$-\sqrt{2}$的“青一区间”为$(-2,-1)$.请解答下列问题:
(1)$\sqrt{17}$的“青一区间”是
(2)若无理数$-\sqrt{a}$($a$为正整数)的“青一区间”为$(-3,-2)$,$\sqrt{a+3}$的“青一区间”为$(3,4)$,求$\sqrt[3]{a+1}$的值.
(3) 实数 $x,y,m$ 满足关系式:
$\sqrt{2x+3y-m}+\sqrt{3x+4y-2m}=$
$\sqrt{x+y-2026}+\sqrt{2026-x-y},$
求 $m$ 的算术平方根的“青一区间”.
(1)$\sqrt{17}$的“青一区间”是
$(4,5)$
;$-\sqrt{23}$的“青一区间”是$(-5,-4)$
.(2)若无理数$-\sqrt{a}$($a$为正整数)的“青一区间”为$(-3,-2)$,$\sqrt{a+3}$的“青一区间”为$(3,4)$,求$\sqrt[3]{a+1}$的值.
(3) 实数 $x,y,m$ 满足关系式:
$\sqrt{2x+3y-m}+\sqrt{3x+4y-2m}=$
$\sqrt{x+y-2026}+\sqrt{2026-x-y},$
求 $m$ 的算术平方根的“青一区间”.
答案
11. 解:(1) $(4,5)$ $(-5,-4)$
(2) 因为无理数$-\sqrt{a}$的“青一区间”为$(-3,-2)$,所以$2＜\sqrt{a}＜3$,所以$2^2＜a＜3^2$,即$4＜a＜9$. 因为$\sqrt{a+3}$的“青一区间”为$(3,4)$,所以$3＜\sqrt{a+3}＜4$,所以$3^2＜a+3＜4^2$,即$9＜a+3＜16$,所以$6＜a＜13$. 所以$6＜a＜9$. 因为$a$为正整数,所以$a=7$或$a=8$. 当$a=7$时,$\sqrt[3]{a+1}=\sqrt[3]{7+1}=\sqrt[3]{8}=2$;当$a=8$时,$\sqrt[3]{a+1}=\sqrt[3]{8+1}=\sqrt[3]{9}$,所以$\sqrt[3]{a+1}$的值为2或$\sqrt[3]{9}$.
(3) 因为$\sqrt{2x+3y-m}+\sqrt{3x+4y-2m}=\sqrt{x+y-2\ 026}+\sqrt{2\ 026-x-y}$,所以$x+y-2\ 026≥0$,$2\ 026-x-y≥0$,所以$x+y-2\ 026=0$,所以$x+y=2\ 026$. 所以$\sqrt{2x+3y-m}+\sqrt{3x+4y-2m}=0$,所以$2x+3y-m=0$,$3x+4y-2m=0$. 两式相减,得$x+y-m=0$,所以$m=x+y=2\ 026$,所以$m$的算术平方根为$\sqrt{2\ 026}$. 因为$45^2=2\ 025$,$46^2=2\ 116$,$2\ 025＜2\ 026＜2\ 116$,所以$45^2＜2\ 026＜46^2$,所以$45＜\sqrt{2\ 026}＜46$. 所以$m$的算术平方根的“青一区间”是$(45,46)$.
(2) 因为无理数$-\sqrt{a}$的“青一区间”为$(-3,-2)$,所以$2＜\sqrt{a}＜3$,所以$2^2＜a＜3^2$,即$4＜a＜9$. 因为$\sqrt{a+3}$的“青一区间”为$(3,4)$,所以$3＜\sqrt{a+3}＜4$,所以$3^2＜a+3＜4^2$,即$9＜a+3＜16$,所以$6＜a＜13$. 所以$6＜a＜9$. 因为$a$为正整数,所以$a=7$或$a=8$. 当$a=7$时,$\sqrt[3]{a+1}=\sqrt[3]{7+1}=\sqrt[3]{8}=2$;当$a=8$时,$\sqrt[3]{a+1}=\sqrt[3]{8+1}=\sqrt[3]{9}$,所以$\sqrt[3]{a+1}$的值为2或$\sqrt[3]{9}$.
(3) 因为$\sqrt{2x+3y-m}+\sqrt{3x+4y-2m}=\sqrt{x+y-2\ 026}+\sqrt{2\ 026-x-y}$,所以$x+y-2\ 026≥0$,$2\ 026-x-y≥0$,所以$x+y-2\ 026=0$,所以$x+y=2\ 026$. 所以$\sqrt{2x+3y-m}+\sqrt{3x+4y-2m}=0$,所以$2x+3y-m=0$,$3x+4y-2m=0$. 两式相减,得$x+y-m=0$,所以$m=x+y=2\ 026$,所以$m$的算术平方根为$\sqrt{2\ 026}$. 因为$45^2=2\ 025$,$46^2=2\ 116$,$2\ 025＜2\ 026＜2\ 116$,所以$45^2＜2\ 026＜46^2$,所以$45＜\sqrt{2\ 026}＜46$. 所以$m$的算术平方根的“青一区间”是$(45,46)$.
12. 甲、乙两同学玩填数游戏，每人各自从左到右依次填写四个实数 $x_1,x_2,x_3,x_4$，如下表所示.
所填的四个数满足：从第二个数开始，每一个数都大于或等于前面填写的任意一个数的2倍.
(1) 若甲同学填写的四个数中，$x_1=2,x_2=$$4.1,x_4=\sqrt{397}$, 则整数 $x_3=$
(2) 若甲、乙两位同学各自填写的四个数都是非零整数，且他们所填写的第一个数互为相反数，求这两位同学填写的这八个数之和的最小值.
所填的四个数满足：从第二个数开始，每一个数都大于或等于前面填写的任意一个数的2倍.
(1) 若甲同学填写的四个数中，$x_1=2,x_2=$$4.1,x_4=\sqrt{397}$, 则整数 $x_3=$
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.(2) 若甲、乙两位同学各自填写的四个数都是非零整数，且他们所填写的第一个数互为相反数，求这两位同学填写的这八个数之和的最小值.
答案
12. (1) 9 提示:由题意,得$\begin{cases}x_3≥2x_2,\\x_4≥2x_3.\end{cases}$ 因为$x_2=4.1$,$x_4=\sqrt{397}$,所以$\begin{cases}x_3≥8.2,\\2x_3≤\sqrt{397},\end{cases}$ 所以$8.2≤ x_3≤\dfrac{\sqrt{397}}{2}$,因为$19＜\sqrt{397}＜20$,所以$x_3=9$.
(2) 解:设甲填写的四个数为$x_1,x_2,x_3,x_4$,乙填写的四个数为$y_1,y_2,y_3,y_4$,不妨设$x_1=a$($a＞0$,且$a$为整数),则$x_2≥2a$,$x_3≥4a$,$x_4≥8a$. 因为$x_1$与$y_1$互为相反数,所以$y_1=-a$,则$y_2≥-2a$,$y_3≥-2a$,$y_4≥-2a$. 又因为$x_1+y_1=0$,$x_2+y_2≥2a+(-2a)$,$x_3+y_3≥4a+(-2a)$,$x_4+y_4≥8a+(-2a)$,即$x_1+y_1=0$,$x_2+y_2≥0$,$x_3+y_3≥2a$,$x_4+y_4≥6a$,所以$x_1+x_2+x_3+x_4+y_1+y_2+y_3+y_4≥8a$. 因为$x_1,x_2,x_3,x_4,y_1,y_2,y_3,y_4$都是非零整数,当$a=1$时,$8a=8$为最小值,所以这八个数之和的最小值为8.
(2) 解:设甲填写的四个数为$x_1,x_2,x_3,x_4$,乙填写的四个数为$y_1,y_2,y_3,y_4$,不妨设$x_1=a$($a＞0$,且$a$为整数),则$x_2≥2a$,$x_3≥4a$,$x_4≥8a$. 因为$x_1$与$y_1$互为相反数,所以$y_1=-a$,则$y_2≥-2a$,$y_3≥-2a$,$y_4≥-2a$. 又因为$x_1+y_1=0$,$x_2+y_2≥2a+(-2a)$,$x_3+y_3≥4a+(-2a)$,$x_4+y_4≥8a+(-2a)$,即$x_1+y_1=0$,$x_2+y_2≥0$,$x_3+y_3≥2a$,$x_4+y_4≥6a$,所以$x_1+x_2+x_3+x_4+y_1+y_2+y_3+y_4≥8a$. 因为$x_1,x_2,x_3,x_4,y_1,y_2,y_3,y_4$都是非零整数,当$a=1$时,$8a=8$为最小值,所以这八个数之和的最小值为8.
13. 已知 a , b 是有理数, x 是无理数, 如果
$\frac{3 a x^{2}-6 a x-2018 x+2 × 2018}{4 b x^{2}-8 b x+2017 x-2 × 2017}$
是有理数,求$\dfrac{a}{b}$的值.
$\frac{3 a x^{2}-6 a x-2018 x+2 × 2018}{4 b x^{2}-8 b x+2017 x-2 × 2017}$
是有理数,求$\dfrac{a}{b}$的值.
答案
13. 解:因为$\dfrac{3ax^2-6ax-2\ 018x+2×2\ 018}{4bx^2-8bx+2\ 017x-2×2\ 017}=\dfrac{3ax(x-2)-2\ 018(x-2)}{4bx(x-2)+2\ 017(x-2)}=\dfrac{(x-2)(3ax-2\ 018)}{(x-2)(4bx+2\ 017)}$,$x$是无理数,所以$x-2≠0$,所以原式$=\dfrac{3ax-2\ 018}{4bx+2\ 017}$. 因为$\dfrac{3ax-2\ 018}{4bx+2\ 017}$是有理数,设$\dfrac{3ax-2\ 018}{4bx+2\ 017}=m$,则$4bmx+2\ 017m=3ax-2\ 018$. 整理,得$3a-4bm=\dfrac{2\ 018+2\ 017m}{x}$. 因为$m,a,b$是有理数,$x$是无理数,所以$\begin{cases}2\ 018+2\ 017m=0,\\3a-4bm=0,\end{cases}$ 解得$m=-\dfrac{2\ 018}{2\ 017}$,$\dfrac{a}{b}=\dfrac{4m}{3}=-\dfrac{4×2\ 018}{3×2\ 017}=-\dfrac{8\ 072}{6\ 051}$.
