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22.（10分）2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点.某公司计划采购A、B两种型号机器人.已知用505万元可以采购3台A型机器人和5台B型机器人，用755万元可以采购5台A型机器人和7台B型机器人.
（1）求采购一台A型机器人、一台B型机器人各需多少万元？
（2）一段时间后，该公司准备用3100万元的预算再采购第二批A、B两型机器人共50台，且A型机器人数量不超过B型机器人数量的4倍.求该公司有多少种采购方案？
（3）在（2）的条件下，因A型机器人非常紧俏，每台A型机器人进价提高$ m $万元（$ m＞0 $），B型机器人进价不变，最终该公司以3090万元的最低价格完成采购，直接写出$ m $的值.
（1）求采购一台A型机器人、一台B型机器人各需多少万元？
（2）一段时间后，该公司准备用3100万元的预算再采购第二批A、B两型机器人共50台，且A型机器人数量不超过B型机器人数量的4倍.求该公司有多少种采购方案？
（3）在（2）的条件下，因A型机器人非常紧俏，每台A型机器人进价提高$ m $万元（$ m＞0 $），B型机器人进价不变，最终该公司以3090万元的最低价格完成采购，直接写出$ m $的值.
答案
22. 解：（1）设采购一台A型机器人需$x$万元，一台B型机器人需$y$万元，
根据题意得：$\begin{cases} 3x + 5y = 505 \\ 5x + 7y = 755 \end{cases}$，
解得$\begin{cases} x = 60 \\ y = 65 \end{cases}$．
答：采购一台A型机器人需60万元，一台B型机器人需65万元；
（2）设采购$a$台A型机器人，则采购（50 - a）台B型机器人，
根据题意得：$\begin{cases} 60a + 65(50 - a) ≤ 3100 \\ a ≤ 4(50 - a) \end{cases}$，
解得：$30≤a≤40$，
∵$a$为正整数，
∴$40 - 30+1=11$（种）．
答：该公司有11种采购方案；
（3）当$60+m＜65$时，$40（60+m）+65×（50 - 40）=3090$，
解得：$m=1$；
当$60+m≥65$时，$30（60+m）+65×（50 - 30）=3090$，
解得：$m=-\dfrac{1}{3}$（不符合题意，舍去）．
答：$m$的值为1。
根据题意得：$\begin{cases} 3x + 5y = 505 \\ 5x + 7y = 755 \end{cases}$，
解得$\begin{cases} x = 60 \\ y = 65 \end{cases}$．
答：采购一台A型机器人需60万元，一台B型机器人需65万元；
（2）设采购$a$台A型机器人，则采购（50 - a）台B型机器人，
根据题意得：$\begin{cases} 60a + 65(50 - a) ≤ 3100 \\ a ≤ 4(50 - a) \end{cases}$，
解得：$30≤a≤40$，
∵$a$为正整数，
∴$40 - 30+1=11$（种）．
答：该公司有11种采购方案；
（3）当$60+m＜65$时，$40（60+m）+65×（50 - 40）=3090$，
解得：$m=1$；
当$60+m≥65$时，$30（60+m）+65×（50 - 30）=3090$，
解得：$m=-\dfrac{1}{3}$（不符合题意，舍去）．
答：$m$的值为1。
23.（10分）如图，直线$AB// CD$，射线$AC$，$BD$交于点$F$，点$E$为直线$AB$，$CD$之间$AC$左侧一点，连接$CE$.$∠ ACB=∠ ABC$，$∠ FCD=2∠ ECA$.
（1）求证：$EC⊥ BC$；
（2）试探究$∠ FAB$，$∠ AFB$与$∠ CBF$这三个角之间的数量关系，并说明理由；
（3）点$G$为直线$AB$上的一个动点，$BP$平分$∠ FBG$交直线$CE$于点$P$，若$∠ F - ∠ ECA=13°$，$2∠ FBC + ∠ F=80°$，请直接写出$∠ BPC$的度数.
（1）求证：$EC⊥ BC$；
（2）试探究$∠ FAB$，$∠ AFB$与$∠ CBF$这三个角之间的数量关系，并说明理由；
（3）点$G$为直线$AB$上的一个动点，$BP$平分$∠ FBG$交直线$CE$于点$P$，若$∠ F - ∠ ECA=13°$，$2∠ FBC + ∠ F=80°$，请直接写出$∠ BPC$的度数.
答案
23. 解：（1）
∵$AB//CD$，
∴$∠DCB=∠ABC$，
∵$∠ACB=∠ABC$，
∴$∠DCB=∠ACB=\dfrac{1}{2}∠ACD$，
即$∠ACD=2∠ACB$，
∵$∠FCD=2∠ECA$，$∠FCD=∠GCA$，
∴$∠GCA=2∠ECA$，
∵$∠GCA+∠ACD=180°$，
∴$2∠ECA+2∠ACB=180°$，
即$∠ECA+∠ACB=90°$，
∴$∠ECB=90°$，
∴$EC⊥BC$．
（2）
∵$AB//CD$，
∴$∠FAB=∠FCD$．在$△BCF$中，$∠AFB+∠CBF+∠BCF=180°$．
∵$∠BCF=\dfrac{1}{2}（∠ACB+∠BCD）$，且$∠ACB=∠ABC$，$∠FAB=∠FCD$，$∠BCD=∠ACB+∠FCD$．
∴$∠BCF=\dfrac{1}{2}（∠ABC+∠ABC+∠FAB）=∠ABC+\dfrac{1}{2}∠FAB$．
∵$∠ABC=∠BCD$，$∠FAB=∠FCD$，
在$△BCF$中，$∠AFB+∠CBF+∠ABC+\dfrac{1}{2}∠FAB=180°$．
∵$∠ABC=∠BCD$，$∠FAB=∠FCD$，$∠AFB+∠CBF+∠ABC+\dfrac{1}{2}∠FAB=180°$，
且$∠AFB+2∠CBF=∠FAB$．
∵$AB//CD$，
∴$∠FAB=∠FCD$，
在$△BCF$中，$∠AFB+∠CBF+∠BCF=180°$，$∠BCF=\dfrac{1}{2}（∠ACB+∠BCD）$，$∠ACB=∠ABC$，
∴$∠AFB+2∠CBF=∠FAB$．
（3）过$P$作$PH//AB//CD$，
设$∠ECA=α$，$∠FCD=2α$，
∵$∠F - ∠ECA=13°$，$2∠FBC+∠F=80°$，
∴$∠FBC=\dfrac{67°−α}{2}$，
∵$∠ECB=90°$，
∴$∠ACB=90° - α$，
∵$∠ACB=∠F+∠FBC$，
∴$13° + α + \dfrac{67°−α}{2} =90° - 2α$，
解得$α=29°$，
∴$∠FCD=58°$，$∠F=42°$，$∠FBC=19°$，
∴$∠ACB=42° +19° =61°$，
$∠ABF=61° +19° =80°$，且$∠ABP=40°$，
∵$∠BPC=∠BPH+∠HPC$，$∠BPH=∠ABP=40°$，$∠HPC =∠ECA =29°$，
∴$∠BPC=40° +29° =69°$。
∵$AB//CD$，
∴$∠DCB=∠ABC$，
∵$∠ACB=∠ABC$，
∴$∠DCB=∠ACB=\dfrac{1}{2}∠ACD$，
即$∠ACD=2∠ACB$，
∵$∠FCD=2∠ECA$，$∠FCD=∠GCA$，
∴$∠GCA=2∠ECA$，
∵$∠GCA+∠ACD=180°$，
∴$2∠ECA+2∠ACB=180°$，
即$∠ECA+∠ACB=90°$，
∴$∠ECB=90°$，
∴$EC⊥BC$．
（2）
∵$AB//CD$，
∴$∠FAB=∠FCD$．在$△BCF$中，$∠AFB+∠CBF+∠BCF=180°$．
∵$∠BCF=\dfrac{1}{2}（∠ACB+∠BCD）$，且$∠ACB=∠ABC$，$∠FAB=∠FCD$，$∠BCD=∠ACB+∠FCD$．
∴$∠BCF=\dfrac{1}{2}（∠ABC+∠ABC+∠FAB）=∠ABC+\dfrac{1}{2}∠FAB$．
∵$∠ABC=∠BCD$，$∠FAB=∠FCD$，
在$△BCF$中，$∠AFB+∠CBF+∠ABC+\dfrac{1}{2}∠FAB=180°$．
∵$∠ABC=∠BCD$，$∠FAB=∠FCD$，$∠AFB+∠CBF+∠ABC+\dfrac{1}{2}∠FAB=180°$，
且$∠AFB+2∠CBF=∠FAB$．
∵$AB//CD$，
∴$∠FAB=∠FCD$，
在$△BCF$中，$∠AFB+∠CBF+∠BCF=180°$，$∠BCF=\dfrac{1}{2}（∠ACB+∠BCD）$，$∠ACB=∠ABC$，
∴$∠AFB+2∠CBF=∠FAB$．
（3）过$P$作$PH//AB//CD$，
设$∠ECA=α$，$∠FCD=2α$，
∵$∠F - ∠ECA=13°$，$2∠FBC+∠F=80°$，
∴$∠FBC=\dfrac{67°−α}{2}$，
∵$∠ECB=90°$，
∴$∠ACB=90° - α$，
∵$∠ACB=∠F+∠FBC$，
∴$13° + α + \dfrac{67°−α}{2} =90° - 2α$，
解得$α=29°$，
∴$∠FCD=58°$，$∠F=42°$，$∠FBC=19°$，
∴$∠ACB=42° +19° =61°$，
$∠ABF=61° +19° =80°$，且$∠ABP=40°$，
∵$∠BPC=∠BPH+∠HPC$，$∠BPH=∠ABP=40°$，$∠HPC =∠ECA =29°$，
∴$∠BPC=40° +29° =69°$。
