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(1)至少用(
A.2
B.4
C.6
D.8
D
)个棱长2厘米的小正方体才能拼成一个较大的正方体。A.2
B.4
C.6
D.8
答案
(1)D
解析
【分析】
解题时首先回忆正方体的基本特征：正方体的12条棱长度都相等。要使用棱长相等的小正方体拼成一个更大的正方体，那么大正方体每条棱上摆放的小正方体数量必须相等，且至少需要2个（如果只摆1个就还是原来的小正方体，不符合“较大”的要求）。拼成大正方体需要的小正方体总个数等于长、宽、高三个方向摆放的小正方体数量相乘。另外要注意题目里给出的小正方体棱长2厘米是干扰条件，不影响所需小正方体的个数，不用代入计算。
【解析】
步骤1：明确正方体的棱长特征：正方体所有棱长长度相等。
步骤2：确定拼较大正方体时每条棱最少需要的小正方体数量：要拼出比原来更大的正方体，每条棱上至少要放2个小正方体。
步骤3：计算所需小正方体总个数：大正方体的长、宽、高方向都需要摆2个小正方体，总个数=2×2×2=8（个）。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1.正方体的特征 2.立体图形的拼接
【点评】
本题是立体图形拼接的基础常考题，易错点是误选B选项的4个，需注意4个相同的小正方体只能拼成更大的长方体，无法拼成正方体，记住拼最小的大正方体时每条棱至少放2个小正方体，总个数为8个即可快速答题。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆正方体的基本特征：正方体的12条棱长度都相等。要使用棱长相等的小正方体拼成一个更大的正方体，那么大正方体每条棱上摆放的小正方体数量必须相等，且至少需要2个（如果只摆1个就还是原来的小正方体，不符合“较大”的要求）。拼成大正方体需要的小正方体总个数等于长、宽、高三个方向摆放的小正方体数量相乘。另外要注意题目里给出的小正方体棱长2厘米是干扰条件，不影响所需小正方体的个数，不用代入计算。
【解析】
步骤1：明确正方体的棱长特征：正方体所有棱长长度相等。
步骤2：确定拼较大正方体时每条棱最少需要的小正方体数量：要拼出比原来更大的正方体，每条棱上至少要放2个小正方体。
步骤3：计算所需小正方体总个数：大正方体的长、宽、高方向都需要摆2个小正方体，总个数=2×2×2=8（个）。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1.正方体的特征 2.立体图形的拼接
【点评】
本题是立体图形拼接的基础常考题，易错点是误选B选项的4个，需注意4个相同的小正方体只能拼成更大的长方体，无法拼成正方体，记住拼最小的大正方体时每条棱至少放2个小正方体，总个数为8个即可快速答题。
【难度系数】
0.7
(2)有四堆煤,每堆都是2吨。(
①用去$\frac{1}{3}$吨 ②用去$\frac{1}{3}$ ③剩下$\frac{1}{3}$吨 ④剩下$\frac{1}{3}$
A.①
B.②
C.③
D.④
C
)用去的煤最多。①用去$\frac{1}{3}$吨 ②用去$\frac{1}{3}$ ③剩下$\frac{1}{3}$吨 ④剩下$\frac{1}{3}$
A.①
B.②
C.③
D.④
答案
(2)C
解析
【分析】
要找出用去煤最多的选项，我们需要先分别计算出4种情况下每堆煤用去的质量，再比较大小。解题时要注意区分带单位的分数和不带单位的分数：带单位的分数表示具体的质量，不带单位的分数表示占总质量的分率，计算时结合“总质量2吨”的条件，求用去的量即可。
【解析】
已知每堆煤总质量为2吨，分别计算各选项用去的煤的质量：
1. 选项①：直接给出用去$\frac{1}{3}$吨，即$\frac{1}{3}$吨；
2. 选项②：用去总质量的$\frac{1}{3}$，用去的质量为$2×\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$吨；
3. 选项③：剩下$\frac{1}{3}$吨，用去的质量为$总质量-剩下的质量=2-\frac{1}{3}=\frac{5}{3}$吨；
4. 选项④：剩下总质量的$\frac{1}{3}$，则用去了总质量的$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$，用去的质量为$2×\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$吨。
比较四个用去的质量：$\frac{1}{3}＜\frac{2}{3}＜\frac{4}{3}＜\frac{5}{3}$，因此选项③用去的煤最多。
【答案】
C
【知识点】
分数的意义、分数乘法计算、分数大小比较
【点评】
本题易错点是混淆带单位和不带单位的分数的含义，解题时先明确分率和具体量的区别，再结合已知条件分别计算出用去的质量，比较后即可得到正确答案。
【难度系数】
0.6
要找出用去煤最多的选项，我们需要先分别计算出4种情况下每堆煤用去的质量，再比较大小。解题时要注意区分带单位的分数和不带单位的分数：带单位的分数表示具体的质量，不带单位的分数表示占总质量的分率，计算时结合“总质量2吨”的条件，求用去的量即可。
【解析】
已知每堆煤总质量为2吨，分别计算各选项用去的煤的质量：
1. 选项①：直接给出用去$\frac{1}{3}$吨，即$\frac{1}{3}$吨；
2. 选项②：用去总质量的$\frac{1}{3}$，用去的质量为$2×\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$吨；
3. 选项③：剩下$\frac{1}{3}$吨，用去的质量为$总质量-剩下的质量=2-\frac{1}{3}=\frac{5}{3}$吨；
4. 选项④：剩下总质量的$\frac{1}{3}$，则用去了总质量的$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$，用去的质量为$2×\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$吨。
比较四个用去的质量：$\frac{1}{3}＜\frac{2}{3}＜\frac{4}{3}＜\frac{5}{3}$，因此选项③用去的煤最多。
【答案】
C
【知识点】
分数的意义、分数乘法计算、分数大小比较
【点评】
本题易错点是混淆带单位和不带单位的分数的含义，解题时先明确分率和具体量的区别，再结合已知条件分别计算出用去的质量，比较后即可得到正确答案。
【难度系数】
0.6
(3)(
A
B
D
A
)是右面长方体的展开图。A
B
D
答案
(3)A
解析
【分析】
解题时先从已知长方体的特征入手：首先观察右侧长方体，能发现它的上下两个面是大小相同的正方形，四个侧面是大小相同的长方形，所以它的展开图一定包含2个正方形和4个长方形。我们可以用排除法逐步筛选：第一步先排除不符合面的数量的选项，第二步再判断剩余选项里两个正方形的位置是否正确，也就是折叠后能不能刚好成为长方体相对的上下底面，不会重叠也不会错位，就能找到正确答案。
【解析】
1. 先确定长方体的面的特征：右侧长方体有2个相对的正方形面（上下底面），4个完全相同的长方形侧面，因此展开图需要有2个正方形、4个长方形，由此排除没有正方形的选项C。
2. 判断剩余选项：
选项B：两个正方形都在同一长方形的上下侧，折叠时两个正方形会向同一侧折叠，出现重叠，无法成为相对的上下底面，错误。
选项D：两个正方形分别在左数第二个长方形的上方、最右侧长方形的下方，折叠后两个正方形无法对应长方体上下相对的底面，位置错位，错误。
选项A：展开图折叠后，2个正方形刚好成为长方体的上下底面，4个长方形组成侧面，完全符合长方体的特征，正确。
【答案】
A
【知识点】
长方体展开图，图形折叠
【点评】
本题考查长方体展开图的识别，解题时可先根据立体图形的面的数量和类型排除明显错误的选项，再通过想象折叠过程验证剩余选项，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知长方体的特征入手：首先观察右侧长方体，能发现它的上下两个面是大小相同的正方形，四个侧面是大小相同的长方形，所以它的展开图一定包含2个正方形和4个长方形。我们可以用排除法逐步筛选：第一步先排除不符合面的数量的选项，第二步再判断剩余选项里两个正方形的位置是否正确，也就是折叠后能不能刚好成为长方体相对的上下底面，不会重叠也不会错位，就能找到正确答案。
【解析】
1. 先确定长方体的面的特征：右侧长方体有2个相对的正方形面（上下底面），4个完全相同的长方形侧面，因此展开图需要有2个正方形、4个长方形，由此排除没有正方形的选项C。
2. 判断剩余选项：
选项B：两个正方形都在同一长方形的上下侧，折叠时两个正方形会向同一侧折叠，出现重叠，无法成为相对的上下底面，错误。
选项D：两个正方形分别在左数第二个长方形的上方、最右侧长方形的下方，折叠后两个正方形无法对应长方体上下相对的底面，位置错位，错误。
选项A：展开图折叠后，2个正方形刚好成为长方体的上下底面，4个长方形组成侧面，完全符合长方体的特征，正确。
【答案】
A
【知识点】
长方体展开图，图形折叠
【点评】
本题考查长方体展开图的识别，解题时可先根据立体图形的面的数量和类型排除明显错误的选项，再通过想象折叠过程验证剩余选项，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
(4)右面是用7个棱长1厘米的正方体摆成的立体图形，这个立体图形的表面积是(
A.42
B.35
C.28
D.21
C
)平方厘米。A.42
B.35
C.28
D.21
答案
(4)C
解析
【分析】要计算该组合立体图形的表面积，可采用三视图法：立体图形的表面积等于前、后、左、右、上、下六个方向露出的小正方形面的总面积，且前后、左右、上下方向露出的面数分别相等。先算出单个小正方形的面积，再分别数出前、左、上三个方向的小正方形个数，乘2得到总面数，最后乘单个小正方形面积即可得到结果。
【解析】首先计算棱长1厘米的小正方形的面积：
$1×1=1$（平方厘米）
分别统计各方向的小正方形数量：
1. 从正面观察，能看到4个小正方形，因此前后方向总面数：$4×2=8$（个）
2. 从左面观察，能看到4个小正方形，因此左右方向总面数：$4×2=8$（个）
3. 从上面观察，能看到6个小正方形，因此上下方向总面数：$6×2=12$（个）
总面数：$8+8+12=28$（个）
总表面积：$28×1=28$（平方厘米）
【答案】C
【知识点】组合图形表面积计算；观察物体（三视图）；正方形面积计算
【点评】本题考查组合立体图形的表面积计算，核心是掌握三视图法数露出面的技巧，计数时注意不要漏数或多数被遮挡/露出的面，该方法能大幅降低计数难度。
【难度系数】0.7
【解析】首先计算棱长1厘米的小正方形的面积：
$1×1=1$（平方厘米）
分别统计各方向的小正方形数量：
1. 从正面观察，能看到4个小正方形，因此前后方向总面数：$4×2=8$（个）
2. 从左面观察，能看到4个小正方形，因此左右方向总面数：$4×2=8$（个）
3. 从上面观察，能看到6个小正方形，因此上下方向总面数：$6×2=12$（个）
总面数：$8+8+12=28$（个）
总表面积：$28×1=28$（平方厘米）
【答案】C
【知识点】组合图形表面积计算；观察物体（三视图）；正方形面积计算
【点评】本题考查组合立体图形的表面积计算，核心是掌握三视图法数露出面的技巧，计数时注意不要漏数或多数被遮挡/露出的面，该方法能大幅降低计数难度。
【难度系数】0.7
(5)一个正方体的棱长是3厘米，如果它的高增加4厘米，那么它的体积将增加(
A.48
B.72
C.36
D.12
C
)立方厘米。A.48
B.72
C.36
D.12
答案
(5)C
解析
【分析】
解题时我们可以不用计算变化前后的总体积再作差，首先明确正方体高增加后，增加的体积对应的是一个新的长方体的体积。原正方体棱长均为3厘米，因此新增部分的长、宽都等于原正方体的棱长3厘米，高就是增加的4厘米，只需要用长方体体积公式计算这个新增部分的体积就能得到结果。
【解析】
新增部分是长3厘米、宽3厘米、高4厘米的长方体，根据长方体体积公式：体积=长×宽×高，代入数值计算：
$3×3×4=36$（立方厘米）
也可通过总体集作差验证：
原正方体体积：$3×3×3=27$（立方厘米）
高增加后立体图形体积：$3×3×(3+4)=63$（立方厘米）
增加的体积：$63-27=36$（立方厘米）
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
长方体体积计算，正方体特征
【点评】
本题解题关键是找准体积增加部分对应的立体图形的形状和各边长度，直接计算新增部分体积可以简化运算，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
解题时我们可以不用计算变化前后的总体积再作差，首先明确正方体高增加后，增加的体积对应的是一个新的长方体的体积。原正方体棱长均为3厘米，因此新增部分的长、宽都等于原正方体的棱长3厘米，高就是增加的4厘米，只需要用长方体体积公式计算这个新增部分的体积就能得到结果。
【解析】
新增部分是长3厘米、宽3厘米、高4厘米的长方体，根据长方体体积公式：体积=长×宽×高，代入数值计算：
$3×3×4=36$（立方厘米）
也可通过总体集作差验证：
原正方体体积：$3×3×3=27$（立方厘米）
高增加后立体图形体积：$3×3×(3+4)=63$（立方厘米）
增加的体积：$63-27=36$（立方厘米）
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
长方体体积计算，正方体特征
【点评】
本题解题关键是找准体积增加部分对应的立体图形的形状和各边长度，直接计算新增部分体积可以简化运算，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
4. 计算。
(1)直接写得数。
$\frac{1}{6}+\frac{2}{3}=$
$14×\frac{4}{7}=$
$\frac{3}{4}÷\frac{3}{10}=$
$\frac{5}{12}-\frac{1}{3}=$
$\frac{12}{27}×\frac{9}{24}=$
$\frac{2}{9}÷2=$
$\frac{7}{11}÷14=$
$\frac{6}{10}×\frac{2}{9}=$
$\frac{4}{7}×\frac{2}{5}×5÷\frac{1}{7}=$
(2)计算下面各题,能简算的要简算。
$\frac{9}{13}+\frac{12}{9}+\frac{4}{13}-\frac{8}{9}$
$(\frac{3}{14}+\frac{3}{7})÷\frac{3}{7}$
$\frac{7}{12}×\frac{5}{11}+\frac{5}{12}÷\frac{11}{5}$
$1÷\frac{23}{24}+24×\frac{1}{23}$
(1)直接写得数。
$\frac{1}{6}+\frac{2}{3}=$
$14×\frac{4}{7}=$
$\frac{3}{4}÷\frac{3}{10}=$
$\frac{5}{12}-\frac{1}{3}=$
$\frac{12}{27}×\frac{9}{24}=$
$\frac{2}{9}÷2=$
$\frac{7}{11}÷14=$
$\frac{6}{10}×\frac{2}{9}=$
$\frac{4}{7}×\frac{2}{5}×5÷\frac{1}{7}=$
(2)计算下面各题,能简算的要简算。
$\frac{9}{13}+\frac{12}{9}+\frac{4}{13}-\frac{8}{9}$
$(\frac{3}{14}+\frac{3}{7})÷\frac{3}{7}$
$\frac{7}{12}×\frac{5}{11}+\frac{5}{12}÷\frac{11}{5}$
$1÷\frac{23}{24}+24×\frac{1}{23}$
答案
4.(1)$\frac{5}{6}$ 8 $\frac{5}{2}$ $\frac{1}{12}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{9}$ $\frac{1}{22}$ $\frac{2}{15}$ 8
(2)$1\frac{4}{9}$ $\frac{3}{2}$ $\frac{5}{11}$ $\frac{48}{23}$
(2)$1\frac{4}{9}$ $\frac{3}{2}$ $\frac{5}{11}$ $\frac{48}{23}$
解析
【分析】
本题分为两个计算模块：①直接写得数模块，考查分数加减乘除的基础运算能力。解题思路：分数加减法先统一分母（通分）后计算分子，最终结果约分至最简；分数乘法先交叉约分再计算分子分母的乘积；分数除法先转换为“乘除数的倒数”，再按分数乘法规则计算；同级混合运算可以调整运算顺序简化计算。②简算模块，考查运算定律的灵活运用，解题时先观察数字特征，优先用加法交换律、结合律凑整，或提取相同公因数用乘法分配律简化计算，降低出错率。
【解析】
(1) 各题计算过程：
$\frac{1}{6}+\frac{2}{3}=\frac{1}{6}+\frac{4}{6}=\frac{5}{6}$
$14×\frac{4}{7}=2×4=8$
$\frac{3}{4}÷\frac{3}{10}=\frac{3}{4}×\frac{10}{3}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}$
$\frac{5}{12}-\frac{1}{3}=\frac{5}{12}-\frac{4}{12}=\frac{1}{12}$
$\frac{12}{27}×\frac{9}{24}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$
$\frac{2}{9}÷2=\frac{2}{9}×\frac{1}{2}=\frac{1}{9}$
$\frac{7}{11}÷14=\frac{7}{11}×\frac{1}{14}=\frac{1}{22}$
$\frac{6}{10}×\frac{2}{9}=\frac{2}{5}×\frac{1}{3}=\frac{2}{15}$
$\frac{4}{7}×\frac{2}{5}×5÷\frac{1}{7}=(\frac{4}{7}×7)×(\frac{2}{5}×5)=4×2=8$
(2) 各题简算过程：
① $\frac{9}{13}+\frac{12}{9}+\frac{4}{13}-\frac{8}{9}$
$=(\frac{9}{13}+\frac{4}{13})+(\frac{12}{9}-\frac{8}{9})$
$=1+\frac{4}{9}$
$=1\frac{4}{9}$
② $(\frac{3}{14}+\frac{3}{7})÷\frac{3}{7}$
$=(\frac{3}{14}+\frac{3}{7})×\frac{7}{3}$
$=\frac{3}{14}×\frac{7}{3}+\frac{3}{7}×\frac{7}{3}$
$=\frac{1}{2}+1$
$=\frac{3}{2}$
③ $\frac{7}{12}×\frac{5}{11}+\frac{5}{12}÷\frac{11}{5}$
$=\frac{7}{12}×\frac{5}{11}+\frac{5}{12}×\frac{5}{11}$
$=(\frac{7}{12}+\frac{5}{12})×\frac{5}{11}$
$=1×\frac{5}{11}$
$=\frac{5}{11}$
④ $1÷\frac{23}{24}+24×\frac{1}{23}$
$=1×\frac{24}{23}+\frac{24}{23}$
$=\frac{24}{23}+\frac{24}{23}$
$=\frac{48}{23}$
【答案】
(1)$\frac{5}{6}$；8；$\frac{5}{2}$；$\frac{1}{12}$；$\frac{1}{6}$；$\frac{1}{9}$；$\frac{1}{22}$；$\frac{2}{15}$；8
(2)$1\frac{4}{9}$；$\frac{3}{2}$；$\frac{5}{11}$；$\frac{48}{23}$
【知识点】
分数四则运算；简便运算；分数乘除计算
【点评】
本题是分数计算的常规练习题，侧重基础运算能力和运算定律应用能力的考查，计算时要注意通分、约分的准确性，简算前先观察式子结构，合理运用运算律可以大幅提升计算效率和正确率。
【难度系数】
0.8
本题分为两个计算模块：①直接写得数模块，考查分数加减乘除的基础运算能力。解题思路：分数加减法先统一分母（通分）后计算分子，最终结果约分至最简；分数乘法先交叉约分再计算分子分母的乘积；分数除法先转换为“乘除数的倒数”，再按分数乘法规则计算；同级混合运算可以调整运算顺序简化计算。②简算模块，考查运算定律的灵活运用，解题时先观察数字特征，优先用加法交换律、结合律凑整，或提取相同公因数用乘法分配律简化计算，降低出错率。
【解析】
(1) 各题计算过程：
$\frac{1}{6}+\frac{2}{3}=\frac{1}{6}+\frac{4}{6}=\frac{5}{6}$
$14×\frac{4}{7}=2×4=8$
$\frac{3}{4}÷\frac{3}{10}=\frac{3}{4}×\frac{10}{3}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}$
$\frac{5}{12}-\frac{1}{3}=\frac{5}{12}-\frac{4}{12}=\frac{1}{12}$
$\frac{12}{27}×\frac{9}{24}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$
$\frac{2}{9}÷2=\frac{2}{9}×\frac{1}{2}=\frac{1}{9}$
$\frac{7}{11}÷14=\frac{7}{11}×\frac{1}{14}=\frac{1}{22}$
$\frac{6}{10}×\frac{2}{9}=\frac{2}{5}×\frac{1}{3}=\frac{2}{15}$
$\frac{4}{7}×\frac{2}{5}×5÷\frac{1}{7}=(\frac{4}{7}×7)×(\frac{2}{5}×5)=4×2=8$
(2) 各题简算过程：
① $\frac{9}{13}+\frac{12}{9}+\frac{4}{13}-\frac{8}{9}$
$=(\frac{9}{13}+\frac{4}{13})+(\frac{12}{9}-\frac{8}{9})$
$=1+\frac{4}{9}$
$=1\frac{4}{9}$
② $(\frac{3}{14}+\frac{3}{7})÷\frac{3}{7}$
$=(\frac{3}{14}+\frac{3}{7})×\frac{7}{3}$
$=\frac{3}{14}×\frac{7}{3}+\frac{3}{7}×\frac{7}{3}$
$=\frac{1}{2}+1$
$=\frac{3}{2}$
③ $\frac{7}{12}×\frac{5}{11}+\frac{5}{12}÷\frac{11}{5}$
$=\frac{7}{12}×\frac{5}{11}+\frac{5}{12}×\frac{5}{11}$
$=(\frac{7}{12}+\frac{5}{12})×\frac{5}{11}$
$=1×\frac{5}{11}$
$=\frac{5}{11}$
④ $1÷\frac{23}{24}+24×\frac{1}{23}$
$=1×\frac{24}{23}+\frac{24}{23}$
$=\frac{24}{23}+\frac{24}{23}$
$=\frac{48}{23}$
【答案】
(1)$\frac{5}{6}$；8；$\frac{5}{2}$；$\frac{1}{12}$；$\frac{1}{6}$；$\frac{1}{9}$；$\frac{1}{22}$；$\frac{2}{15}$；8
(2)$1\frac{4}{9}$；$\frac{3}{2}$；$\frac{5}{11}$；$\frac{48}{23}$
【知识点】
分数四则运算；简便运算；分数乘除计算
【点评】
本题是分数计算的常规练习题，侧重基础运算能力和运算定律应用能力的考查，计算时要注意通分、约分的准确性，简算前先观察式子结构，合理运用运算律可以大幅提升计算效率和正确率。
【难度系数】
0.8
