1[2026湖北武汉模拟,中]下列说法中正确的有 ()
①当$k≠0$时，$y=-\dfrac{x}{k}$是正比例函数；②如果$y=(a+3)x+a^2 -9$是正比例函数，那么$a=±3$；③如果$y$与$x+2$成正比例，那么$y$是$x$的正比例函数；④如果$y=\dfrac{1}{3}x^2$，那么$y$与$x^2$成正比例.

A.4个
B.3个
C.2个
D.1个

C 【解析】①当$k≠0$时，$y=-\frac{x}{k}$是正比例函数，故该说法正确；②如果$y=(a+3)x+a^2-9$是正比例函数，那么$a^2-9=0$，且$a+3≠0$，则$a=3$，故该说法错误；③如果y与$x+2$成正比例，那么$y=k(x+2)(k≠0)$，不是正比例函数，故该说法错误；④如果$y=\frac{1}{3}x^2$，那么y与$x^2$成正比例，故该说法正确.
∴说法正确的有2个，故选C.

2[2025江苏连云港质检，中]记$\max\{x,y\}$表示$x,y(x≠ y)$两个数中的最大值，例如：$\max\{1,2\}=2$，则关于$x$的一次函数$y=\max\{2x,x+1\}$可以表示为（）

A.$y=2x$
B.$y=x+1$
C.$y=\begin{cases}2x & (x＜1), \\ x+1 & (x＞1)\end{cases}$
D.$y=\begin{cases}2x & (x＞1), \\ x+1 & (x＜1)\end{cases}$

D 【解析】由题意可得，当$2x＞x+1$，即$x＞1$时，$y=\max\{2x,x+1\}=2x$；当$2x＜x+1$，即$x＜1$时，$y=\max\{2x,x+1\}=x+1$. 综上，$y=\begin{cases}2x(x＞1), \\ x+1(x＜1).\end{cases}$ 故选D.

3[中]新定义:[a,b]为一次函数$y=ax+b(a≠0,a,b$为实数)的“关联数”.若“关联数”为$[3,m-2]$的一次函数是正比例函数,则点$(1-m,1+m)$在第象限.

二 【解析】
∵“关联数”为$[3,m-2]$的一次函数是正比例函数，即$y=3x+m-2$是正比例函数，
∴$m-2=0$，解得$m=2$，则$1-m=-1$，$1+m=3$，故点$(1-m,1+m)$在第二象限. 故答案为二.

4[2025江苏泰州质检,中]设函数$y=(m-2) · x^{2-|m|} + m - 1$。
(1)当$m$为何值时,它是一次函数?
(2)当$m$为何值时,它是正比例函数?

(1)
∵函数$y=(m-2)x^{2-|m|}+m-1$是一次函数，
∴$\begin{cases}m-2≠0, \\ 2-|m|=1,\end{cases}$ 解得$m=±1$.
(2)
∵函数$y=(m-2)x^{2-|m|}+m-1$是正比例函数，
∴$\begin{cases}m-2≠0, \\ 2-|m|=1, \\ m-1=0,\end{cases}$ 解得$m=1$.

5[2025山西太原调研,中]“春种一粒粟,秋收万颗子.”唐代诗人李绅这句诗中的“粟”即谷子(去皮后则称为“小米”).某小米经销商要将规格相同的1000袋小米运往A、B、C三地销售,要求运往C地的袋数是运往A地袋数的3倍,各地的运费如下表所示:

(1)设运往A地的小米为x袋,总运费为y元,试写出y与x的函数关系式;
(2)若总运费不超过14000元,则最多可运往A地多少袋小米?

(1)根据题意，得$y=20x+15×3x+10×(1000-3x-x)=25x+10000$.
(2)
∵$y≤14000$，
∴$25x+10000≤14000$，解得$x≤160$.
答:若总运费不超过14000元，则最多可运往A地160袋小米.

6 核心素养 运算能力 [较难]如图(1),正方形ABCD的边长为4 cm,E为AD边的中点,F为AB边上一点,动点P从点B出发,沿B→C→D→E向终点E以每秒a cm的速度运动,设运动时间为t s,△PBF的面积为S cm².S与t的部分函数图象如图(2)所示,已知点M(1, $\frac{3}{2}$),N(5,6)在S与t的函数图象上.
(1)求线段BF的长及a的值.
(2)写出S与t的函数关系式.
(3)当t为多少时,S为4?

(1)根据题意可知，当点P在CD上时，△PBF的面积$S=6$，则有$\frac{1}{2}×BF×4=6$，解得$BF=3$. 当$t=1$时，$S=\frac{3}{2}$，$BP=a$，则有$\frac{1}{2}×BF×BP=\frac{3}{2}$，即$\frac{1}{2}×3a=\frac{3}{2}$，解得$a=1$. 故线段BF的长为3，a的值为1.
(2)当$0＜t≤4$时，点P在BC边上运动，$S=\frac{1}{2}×BF×BP=\frac{1}{2}×3×t=\frac{3}{2}t$；当$4＜t≤8$时，点P在CD边上运动，此时$S=6$；当$8＜t≤10$时，点P在线段DE上运动，此时$S=\frac{1}{2}×BF×AP=\frac{1}{2}×3×(12-t)=18-\frac{3}{2}t$.
综上，$S=\begin{cases}\frac{3}{2}t(0＜t≤4), \\ 6(4＜t≤8), \\ 18-\frac{3}{2}t(8＜t≤10).\end{cases}$
(3)当$S=4$时，①$\frac{3}{2}t=4$，解得$t=\frac{8}{3}$. ②$18-\frac{3}{2}t=4$，解得$t=\frac{28}{3}$. 故当$t=\frac{8}{3}$或$\frac{28}{3}$时，S为4.