17.测量一幢楼的高度，七次测得的数据分别是79.8 m，80.6 m，80.4 m，79.1 m，80.3 m，79.3 m，80.5 m.
(1)这些数据的平均值是多少？以平均值为标准，用正数表示超出部分，用负数表示不足部分，写出七次测得数据对应的数.
(2)求出最接近平均值的测量数据.

17.解:(1)$(79.8+80.6+80.4+79.1+80.3+79.3+80.5)÷7=80(\mathrm{m})$,所以平均值是80 m.
以80 m为标准,用正数表示超出部分,用负数表示不足部分,对应的数分别是$-0.2\ \mathrm{m}$,$+0.6\ \mathrm{m}$,$+0.4\ \mathrm{m}$,$-0.9\ \mathrm{m}$,$+0.3\ \mathrm{m}$,$-0.7\ \mathrm{m}$,$+0.5\ \mathrm{m}$.
(2)$|-0.2|=0.2$,$|+0.6|=0.6$,$|+0.4|=0.4$,$|-0.9|=0.9$,$|+0.3|=0.3$,$|-0.7|=0.7$,$|+0.5|=0.5$.
因为$0.2＜0.3＜0.4＜0.5＜0.6＜0.7＜0.9$,所以最接近平均值的测量数据为79.8 m.

【分析】
解决本题分两步思考：①第(1)问先求平均值，根据平均数的计算方法，先把7次测量的数据相加得到总高度，再除以测量次数7即可得到平均值；再以平均值为标准，用每次测得的数据减去平均值，结果为正表示超出平均值，结果为负表示不足平均值，就能得到对应的数。②第(2)问，“最接近平均值”即与平均值的差距最小，差距的大小可以用对应正负数的绝对值表示，绝对值越小说明差距越小，因此只需计算每个对应数的绝对值，比较大小后找到最小绝对值对应的原测量数据即可。
【解析】
(1) 先计算7次测量数据的总和：
$79.8+80.6+80.4+79.1+80.3+79.3+80.5=560(\mathrm{m})$
平均值 = 总和÷测量次数，即 $560÷7=80(\mathrm{m})$
再计算每个测量值与平均值的差：
$79.8-80=-0.2(\mathrm{m})$，$80.6-80=+0.6(\mathrm{m})$，$80.4-80=+0.4(\mathrm{m})$，$79.1-80=-0.9(\mathrm{m})$，$80.3-80=+0.3(\mathrm{m})$，$79.3-80=-0.7(\mathrm{m})$，$80.5-80=+0.5(\mathrm{m})$
(2) 计算每个差值的绝对值，比较与平均值的差距：
$|-0.2|=0.2$，$|+0.6|=0.6$，$|+0.4|=0.4$，$|-0.9|=0.9$，$|+0.3|=0.3$，$|-0.7|=0.7$，$|+0.5|=0.5$
比较大小得：$0.2＜0.3＜0.4＜0.5＜0.6＜0.7＜0.9$，最小差距对应的原测量数据是79.8m。
【答案】
(1) 平均值是$\boldsymbol{80\ \mathrm{m}}$，对应的数分别是$\boldsymbol{-0.2\ \mathrm{m}}$，$\boldsymbol{+0.6\ \mathrm{m}}$，$\boldsymbol{+0.4\ \mathrm{m}}$，$\boldsymbol{-0.9\ \mathrm{m}}$，$\boldsymbol{+0.3\ \mathrm{m}}$，$\boldsymbol{-0.7\ \mathrm{m}}$，$\boldsymbol{+0.5\ \mathrm{m}}$；
(2) 最接近平均值的测量数据为$\boldsymbol{79.8\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
平均数计算；正负数的意义；绝对值的应用
【点评】
本题以实际测量建筑物高度为背景，将基础计算和数学概念的实际应用结合，考察知识点较为基础，贴近生活场景，能够帮助学生巩固基础运算能力，提升用数学知识解决实际问题的意识。
【难度系数】
0.8

18.如图，将一串有理数按下列规律排列，并回答下列问题.

(1)在A处的数是正数还是负数？
(2)负数排在A，B，C，D中的什么位置？
(3)第2025个数是正数还是负数？排在A，B，C，D中的什么位置？

18.解:(1)由题图可知,向下的箭头的上方的数是负数,下方的数是正数,向上的箭头的下方的数是负数,上方的数是正数,所以在A处的数是正数.
(2)由(1)中的规律可知,负数排在B和D的位置.
(3)因为$2\ 025÷4=506······1$,所以第2 025个数是负数,排在B的位置.

【分析】
解题时先观察已知有理数的排列特点，分三步思考：1. 判断A处正负：对比和A位置相同的已给数4、8的正负，即可得出A的正负；2. 判断负数所在位置：梳理所有已知负数的位置，和A、B、C、D四个位置对比，就能得出负数对应的位置；3. 求解第2025个数的情况：观察发现每4个数为一个循环周期，位置和正负都重复出现，用2025除以4得到余数，对照周期里的对应位置即可得出结果。
【解析】
(1) 观察排列规律可知：向下箭头的上方的数是负数，下方的数是正数；向上箭头的下方的数是负数，上方的数是正数，A位于向上箭头的上方，因此A处的数是正数。
(2) 结合(1)中总结的正负和位置的对应规律，对比B、C、D的位置，可得负数排在B和D的位置。
(3) 观察可知每4个数为一个循环周期，计算得$2025÷4=506······1$，余数为1，说明第2025个数和每个周期的第1个数情况相同，因此是负数，排在B的位置。
【答案】
(1) 正数；
(2) B和D的位置；
(3) 负数，排在B的位置。
【知识点】
有理数正负判断，规律探究，周期问题
【点评】
本题属于规律探究类题目，需要通过观察已知数的排列特点，总结出正负与位置的对应关系以及周期循环规律，侧重考查学生的观察能力和归纳推理能力，掌握有余数除法的周期对应方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7

19.如图，$|a|$的几何意义:数轴上表示$a$的点到原点的距离.
(1)$|-a|$与$|a|$是关系；
(2)根据以上知识解决以下问题:已知甲数的绝对值是乙数绝对值的2倍,且在数轴上表示这两数的两点之间的距离为6,求这两个数.

答案 P04

19.解:(1)相等
(2)当甲数和乙数在原点的两侧时,$6÷(1+2)=2$,$2×2=4$,这两个数就是$-2,4$或$-4,2$.
如图。
当甲数和乙数在原点的同侧时,$6÷(2-1)=6$,$2×6=12$,这两个数就是$6,12$或$-6,-12$.
如图。
综上,这两个数是$-2,4$或$-4,2$或$6,12$或$-6,-12$.
【解题技巧】两数之间的距离为6,把乙数的绝对值看作1份,则甲数的绝对值为2份.当两数在原点的两侧时,绝对值之和为6.当两数在原点的同侧时,绝对值之差为6.

【分析】
(1) 根据绝对值的几何意义，$|-a|$表示数轴上$-a$的点到原点的距离，$|a|$表示数轴上$a$的点到原点的距离，互为相反数的两个点到原点的距离相等，因此可推出$|-a|$和$|a|$的关系。
(2) 第二问需要分两类情况讨论：①两个数在原点两侧（异号），此时两点距离等于两个数的绝对值之和；②两个数在原点同侧（同号），此时两点距离等于两个数的绝对值之差。把乙数的绝对值看作1份，甲数的绝对值就是2份，根据两种情况对应的份数和/差与距离6的对应关系，先算出1份的大小，再求两个数的绝对值，最后结合符号得到所有可能的解。
【解析】
(1) 由绝对值的几何意义可知，$|-a|$是数轴上表示$-a$的点到原点的距离，$|a|$是数轴上表示$a$的点到原点的距离，$a$和$-a$互为相反数，到原点的距离相等，因此$|-a|$与$|a|$相等。
(2) 分两种情况讨论：
① 当甲数和乙数在原点的两侧（两数异号）时：
两点之间的距离等于两数绝对值之和，把乙数的绝对值看作1份，甲数的绝对值为2份，总份数为$1+2=3$份，对应距离为6。
因此1份的大小为$6÷(1+2)=2$，即乙数的绝对值是2，甲数的绝对值是$2×2=4$。
结合异号的条件，可得两组解：$-2$和$4$，或$-4$和$2$。
如图。
② 当甲数和乙数在原点的同侧（两数同号）时：
两点之间的距离等于两数绝对值的差，$2-1=1$份对应距离为6。
因此1份的大小为$6÷(2-1)=6$，即乙数的绝对值是6，甲数的绝对值是$6×2=12$。
结合同号的条件，可得两组解：$6$和$12$，或$-6$和$-12$。
如图。
综上即可得到所有符合条件的两个数。
【答案】
(1) 相等
(2) 当甲数和乙数在原点的两侧时，$6÷(1+2)=2$，$2×2=4$，这两个数就是$-2,4$或$-4,2$。
如图。
当甲数和乙数在原点的同侧时，$6÷(2-1)=6$，$2×6=12$，这两个数就是$6,12$或$-6,-12$。
如图。
综上，这两个数是$-2,4$或$-4,2$或$6,12$或$-6,-12$。
【知识点】
绝对值的意义，数轴上两点距离，分类讨论
【点评】
本题围绕绝对值的几何意义出题，核心考查分类讨论的思维，解题时需要全面考虑两数在原点同侧、异侧两种位置情况，避免漏解，有助于强化学生对数轴和绝对值概念的理解。
【难度系数】
0.65