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【典例1】如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=CD，∠1=∠2，求证：∠BAD+∠C=180°。
答案
过点D分别作DM⊥BC,DN⊥AB交直线BC，BA于点M,N，
∵∠1=∠2，
∴DM=DN，
在Rt△DAN和Rt△DCM中，
$\begin{cases} DA=DC, \\ DN=DM, \end{cases}$
∴Rt△DAN≌Rt△DCM(HL)
∴∠DAN=∠C，
∴∠BAD+∠C=180°。
变式.如图,在四边形OACB中,$CM⊥OA$于M,$∠1=∠2,∠3+∠4=180^{\circ }$,求证:
(1)$CA=CB;$
(2)$OA+OB=2OM.$
(1)$CA=CB;$
(2)$OA+OB=2OM.$
答案
(1)过点C作CE⊥OB交OB的延长线于点E，
∵∠1=∠2,
∴CE=CM，
在△CEB和△CMA中，
$\begin{cases} ∠CEB=∠CMA, \\ ∠CBE=∠A, \\ CE=CM, \end{cases}$
∴△CEB≌△CMA(AAS)，
∴CA=CB；
(2)由(1)知BE=AM，
又
∵∠OCE=∠OCM，
∴OE=OM，
OA-OM=OM-OB，
∴OA+OB=2OM。
【典例2】如图，四边形ACBP中，$∠ ACB=∠ APB=90°$，$AC=BC$，求证：$CP$平分$∠ APB$. 
答案
过C点作CM⊥AP,CN⊥BP,分别交直线PA，PB于M,N，
在△CAM和△CBN中，
$\begin{cases} ∠ACM=∠BCN, \\ ∠CMA=∠CNB, \\ AC=BC, \end{cases}$
∴△CAM≌△CBN(AAS)，
∴CM=CN，
∴CP平分∠APB。
【典例3】(2026·江汉)如图，四边形ABCD中，AB=AD，点B关于AC的对称点E恰好落在CD边上.若∠BAD=100°，则∠ACB的度数是
40°
. 答案
过点A作AM⊥CD,AN⊥BC,交CD于点M,交CB的延长线于点N，
∴AM=AN，
在Rt△AMD和Rt△ANB中，
$\begin{cases} AD=AB, \\ AM=AN, \end{cases}$
∴Rt△AMD≌Rt△ANB(HL)，
∴∠D=∠ABN，
∴∠DAB+∠BCD=180°，
∴∠ACB=40°
