1.已知,点P在∠BAC内,PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别为E,F,PE=PF,∠B=∠C,求证:AB=AC.

1.证明:
∵PE=PF,PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠PAB=∠PAC，
在△BAP 和△CAP 中，
$\begin{cases}∠BAP=∠CAP,\\∠B=∠C,\\PA=PA,\end{cases}$
∴△BAP≌△CAP(AAS)，
∴AB=AC.

2.(教材P53T8变式)如图,四边形ABDC中,∠D=∠ABD=90°,点O为BD的中点,且OA平分∠BAC.
(1)求证:OC平分∠ACD；
(2)求证:AB+CD=AC.

2.证明:(1)过点 O 作 OE⊥AC 于点 E，

∵AO 平分∠BAC，
∴OE=OB，
又
∵OB=OD，
∴OE=OD，
∴OC 平分∠ACD；
(2)
∵∠AOB=∠AOE=90°−∠OAB，
∴AE=AB，
又
∵∠EOC=∠COD，
∴EC=CD，
∴AB+CD=AE+CE=AC.

3.如图，点G在AB的延长线上，∠GBC，∠BAC的平分线相交于点F，连接CF.若∠AFB=40°,则∠BCF的度数为.

3.50°
解:过点 F 作 FD⊥BC,FM⊥AB,FE⊥AC,分别交三边所在直线于点 D,M,E.

∵FB 平分∠GBC,FA 平分∠BAC，
∴FD=FM,FM=FE，
∴FD=FE，
∴FC 平分∠BCE，
设∠FBG=α,∠FAB=β，
∴α−β=40°，
∴2α−2β=80°，
∴∠ACB=80°，
∴∠BCF=(180°−80°)×$\frac{1}{2}$=50°.

4.模型:(1)如图 ,∠A=∠B,PA=PB,求证:PC平分∠ACB的外角;
拓展:(2)如图 ,CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=α,AD,BE交于点H,连CH.求证:CH平分∠AHE;
应用:(3)如图 ,在△ABC中,∠B=40°,将△ABC绕点C顺时针旋转20°至△A'B'C,A'B'交AB于点M,则∠CMB=.

4.(3)80°
证明:(1)过点 P 作 PE⊥AC,PF⊥BC,交直线 AC,BC 于点 E,F，

在△PAE 和△PBF 中，
$\begin{cases}∠A=∠B,\\∠PEA=∠PFB,\\PA=PB\end{cases}$
∴△PAE≌△PBF(AAS)，
∴PE=PF,
∴PC 平分∠ACB 的外角；
(2)过点 C 作 CM⊥AD,CN⊥BE,垂足分别为 M,N，

∵∠ACB=∠DCE，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD 和△BCE 中，
$\begin{cases}AC=BC,\\∠ACD=∠BCE,\\CD=CE,\end{cases}$
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴BE=AD，
∴$S_{△ACD}=S_{△BCE}=\frac{1}{2}BE·CN=\frac{1}{2}AD·CM$，
∴CM=CN,
∴CH 平分∠AHE.
(3)80°