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1.(2025·金华市永康市期末)根据下列素材,探索解决任务。
【素材内容】
素材一:某个景区成人票价和学生票价之和为90元,购买三张成人票和两张学生票一共需230元。
素材二:端午假期景区进行让利活动,已知成人票和学生票的折扣相同,发现用320元购买成人票比购买学生票少2张。
素材三:端午假期小明同学用368元买了若干张成人票和学生票。
【任务要求】
(1)任务一:计算单价。每张成人票价和学生票价各多少元?
(2)任务二:计算折扣。端午假期景区门票打几折销售?
(3)任务三:确定门票数量。小明同学分别购买了多少张成人票和学生票?
【素材内容】
素材一:某个景区成人票价和学生票价之和为90元,购买三张成人票和两张学生票一共需230元。
素材二:端午假期景区进行让利活动,已知成人票和学生票的折扣相同,发现用320元购买成人票比购买学生票少2张。
素材三:端午假期小明同学用368元买了若干张成人票和学生票。
【任务要求】
(1)任务一:计算单价。每张成人票价和学生票价各多少元?
(2)任务二:计算折扣。端午假期景区门票打几折销售?
(3)任务三:确定门票数量。小明同学分别购买了多少张成人票和学生票?
答案
(1)解:设成人票价为x元/张,学生票价为y元/张。由题意,得
$\begin{cases} x+y=90, \\ 3x+2y=230, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=50, \\ y=40。 \end{cases}$答:成人票价为50元/张,学生票价为40元/张。
(2)解:设景区门票打m折。由题意,得$\frac{320}{50×\frac{m}{10}}=\frac{320}{40×\frac{m}{10}}-2$,
解得m=8。经检验,m=8是原方程的解,且符合题意。答:端午假期景区门票打八折销售。
(3)解:设小明购买了a张成人票,b张学生票。由题意,得40a+32b=368,即5a+4b=46,则$a=\frac{46-4b}{5}$。因为a,b均为正整数,所以$\begin{cases} a=6, \\ b=4, \end{cases}$或$\begin{cases} a=2, \\ b=9。 \end{cases}$答:小明可能购买了6张成人票,4张学生票或2张成人票,9张学生票。
$\begin{cases} x+y=90, \\ 3x+2y=230, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=50, \\ y=40。 \end{cases}$答:成人票价为50元/张,学生票价为40元/张。
(2)解:设景区门票打m折。由题意,得$\frac{320}{50×\frac{m}{10}}=\frac{320}{40×\frac{m}{10}}-2$,
解得m=8。经检验,m=8是原方程的解,且符合题意。答:端午假期景区门票打八折销售。
(3)解:设小明购买了a张成人票,b张学生票。由题意,得40a+32b=368,即5a+4b=46,则$a=\frac{46-4b}{5}$。因为a,b均为正整数,所以$\begin{cases} a=6, \\ b=4, \end{cases}$或$\begin{cases} a=2, \\ b=9。 \end{cases}$答:小明可能购买了6张成人票,4张学生票或2张成人票,9张学生票。
解析
【分析】
本题分三个递进任务解决：任务一根据素材一的两个等量关系，设成人、学生票价为未知数，列二元一次方程组求解；任务二根据素材二的数量差关系，设折扣为未知数，列分式方程求解，需注意分式方程的检验；任务三根据任务二的折扣算出实际单价，结合素材三的总费用列二元一次方程，再根据正整数条件求整数解。
【解析】
任务一：设成人票价为$x$元/张，学生票价为$y$元/张。由素材一的等量关系列方程组：
$\begin{cases} x + y = 90 \\ 3x + 2y = 230 \end{cases}$
用消元法解方程组：第一个方程乘2得$2x + 2y = 180$，减去第二个方程得$x = 50$，将$x=50$代入$x + y =90$，得$y=40$。
任务二：设景区门票打$m$折，实际单价为原价的$\frac{m}{10}$。根据素材二，320元买成人票比学生票少2张，列方程：
$\frac{320}{50×\frac{m}{10}} = \frac{320}{40×\frac{m}{10}} - 2$
化简得$\frac{64}{m} = \frac{80}{m} - 2$，移项得$\frac{16}{m}=2$，解得$m=8$。经检验，$m=8$是原方程的解，且符合实际意义。
任务三：由任务二知实际成人票价为$50×0.8=40$元，学生票价为$40×0.8=32$元。设小明购买$a$张成人票，$b$张学生票，列方程：
$40a + 32b = 368$，化简得$5a + 4b = 46$，变形为$a = \frac{46 - 4b}{5}$。
因为$a,b$均为正整数，所以$46 - 4b$需为5的正整数倍，试值得：当$b=4$时，$a=6$；当$b=9$时，$a=2$，均符合条件。
【答案】
(1) 成人票价为50元/张，学生票价为40元/张；
(2) 端午假期景区门票打八折销售；
(3) 小明可能购买了6张成人票，4张学生票或2张成人票，9张学生票。
【知识点】
二元一次方程组的应用、分式方程的应用、二元一次方程的整数解
【点评】
本题为实际生活中的门票价格问题，分三个递进任务考察方程（组）的应用，需准确提取素材中的等量关系，注意分式方程的检验步骤，以及整数解需符合实际意义（正整数），是方程应用的典型题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题分三个递进任务解决：任务一根据素材一的两个等量关系，设成人、学生票价为未知数，列二元一次方程组求解；任务二根据素材二的数量差关系，设折扣为未知数，列分式方程求解，需注意分式方程的检验；任务三根据任务二的折扣算出实际单价，结合素材三的总费用列二元一次方程，再根据正整数条件求整数解。
【解析】
任务一：设成人票价为$x$元/张，学生票价为$y$元/张。由素材一的等量关系列方程组：
$\begin{cases} x + y = 90 \\ 3x + 2y = 230 \end{cases}$
用消元法解方程组：第一个方程乘2得$2x + 2y = 180$，减去第二个方程得$x = 50$，将$x=50$代入$x + y =90$，得$y=40$。
任务二：设景区门票打$m$折，实际单价为原价的$\frac{m}{10}$。根据素材二，320元买成人票比学生票少2张，列方程：
$\frac{320}{50×\frac{m}{10}} = \frac{320}{40×\frac{m}{10}} - 2$
化简得$\frac{64}{m} = \frac{80}{m} - 2$，移项得$\frac{16}{m}=2$，解得$m=8$。经检验，$m=8$是原方程的解，且符合实际意义。
任务三：由任务二知实际成人票价为$50×0.8=40$元，学生票价为$40×0.8=32$元。设小明购买$a$张成人票，$b$张学生票，列方程：
$40a + 32b = 368$，化简得$5a + 4b = 46$，变形为$a = \frac{46 - 4b}{5}$。
因为$a,b$均为正整数，所以$46 - 4b$需为5的正整数倍，试值得：当$b=4$时，$a=6$；当$b=9$时，$a=2$，均符合条件。
【答案】
(1) 成人票价为50元/张，学生票价为40元/张；
(2) 端午假期景区门票打八折销售；
(3) 小明可能购买了6张成人票，4张学生票或2张成人票，9张学生票。
【知识点】
二元一次方程组的应用、分式方程的应用、二元一次方程的整数解
【点评】
本题为实际生活中的门票价格问题，分三个递进任务考察方程（组）的应用，需准确提取素材中的等量关系，注意分式方程的检验步骤，以及整数解需符合实际意义（正整数），是方程应用的典型题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
