1.在$△ ABC$中,点$D$是边$AC$的中点,连结$BD$并延长到$E$,使$DE=DB$,连结$AE$,$CE$。下列说法不正确的是 （）

A.四边形$ABCE$是平行四边形
B.当$∠ ABC=90°$时,四边形$ABCE$是矩形
C.当$AB=BC$时,四边形$ABCE$是菱形
D.当$AB=BC=CA$时,四边形$ABCE$是正方形

1.D

【分析】首先根据已知条件，点D是AC中点得AD=DC，结合DE=DB，利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”先判定四边形ABCE为平行四边形；再结合特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）的判定定理，逐一分析各选项，找出说法不正确的选项。
【解析】
1. 判定四边形ABCE的形状：
∵ D是AC的中点，
∴ AD=DC，
又
∵ DE=DB，即AC、BE互相平分，
∴ 四边形ABCE是平行四边形，故选项A正确；
2. 分析选项B：
平行四边形中，若有一个内角为直角，则为矩形。当∠ABC=90°时，平行四边形ABCE满足有一个角是直角，因此是矩形，选项B正确；
3. 分析选项C：
平行四边形中，若邻边相等，则为菱形。当AB=BC时，平行四边形ABCE的邻边AB=BC，因此是菱形，选项C正确；
4. 分析选项D：
当AB=BC=CA时，△ABC是等边三角形，此时平行四边形ABCE的四边相等，是菱形；但等边三角形内角为60°，平行四边形的内角也为60°，不满足正方形“有一个内角为直角”的条件，因此四边形ABCE不是正方形，选项D错误。
综上，答案为D。
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定、特殊平行四边形的判定
【点评】本题考查平行四边形及特殊平行四边形的判定，需熟练掌握各类四边形的判定定理，区分菱形、矩形、正方形的判定条件，避免混淆特殊平行四边形的判定要求。
【难度系数】0.5

2. 如图,在$□ ABCD$中,对角线$AC$,$BD$交于点$E$,$AC ⊥ BC$于点$C$。若$AC=4$,$AB=5$,则$BD=$ （）

A.$4$
B.$\sqrt{13}$
C.$4\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{13}$

2.D

【分析】
要解决本题，需先利用平行四边形对角线互相平分的性质确定线段中点关系，再结合AC⊥BC的直角条件，通过勾股定理逐步计算所需线段长度，最终求出BD的长度。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点E，
∴E是AC、BD的中点，即$AE=EC=\frac{1}{2}AC$，$BE=\frac{1}{2}BD$。
已知$AC=4$，则$EC=\frac{1}{2}×4=2$。
又
∵$AC⊥BC$，
∴△ACB是直角三角形，在$Rt△ACB$中，$AC=4$，$AB=5$，
根据勾股定理：$BC=\sqrt{AB^2 - AC^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{25-16}=3$。
在$Rt△BCE$中，$BC=3$，$EC=2$，再次利用勾股定理：
$BE=\sqrt{BC^2 + EC^2}=\sqrt{3^2 + 2^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$。
∵$BE=\frac{1}{2}BD$，
∴$BD=2BE=2×\sqrt{13}=2\sqrt{13}$，故答案选D。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查平行四边形对角线互相平分的性质与勾股定理的应用，解题核心是利用平行四边形的性质转化线段，结合直角三角形的勾股定理计算，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6

3. 如图,在矩形ABCD中,点E为CD的中点,连结AE,过点E作$EF⊥AE$交BC于点F,连结AF。若$∠BAF=α$,则$∠FEC$的度数为 （）

A.$α$
B.$45°-\dfrac{α}{2}$
C.$45°+\dfrac{α}{2}$
D.$90°-α$

3.B

【分析】
要解决本题，需利用矩形的性质、垂直的角度关系，结合三角函数推导目标角与已知角的关系。首先，矩形的四个角为直角，对边相等；由EF⊥AE可得角的互余关系，再通过坐标法或三角函数化简，找到∠FEC与∠BAF=α的等量关系。
【解析】
设矩形ABCD的坐标：A(0,0)，B(2,0)，C(2,h)，D(0,h)，则E为CD中点，坐标为(1,h)。
1. 因EF⊥AE，AE的斜率为$\frac{h}{1}=h$，故EF的斜率为$-\frac{1}{h}$。
2. F在BC上（x=2），设F(2,y)，则EF的斜率为$\frac{y-h}{2-1}=y-h=-\frac{1}{h}$，得$y=h-\frac{1}{h}$，即F(2, $h-\frac{1}{h}$)。
3. 在Rt△ABF中，∠BAF=α，故$\tanα=\frac{BF}{AB}=\frac{h-\frac{1}{h}}{2}$，整理得$h-\frac{1}{h}=2\tanα$。
4. 设∠FEC=x，向量EC=(1,0)，向量EF=(1, $-\frac{1}{h}$)，则$\tan x=\frac{1}{h}$，令$t=\tan x=\frac{1}{h}$，代入$h-\frac{1}{h}=2\tanα$得：$\frac{1}{t}-t=2\tanα$，即$t^2+2\tanα · t -1=0$，解得正根$t=\sqrt{\tan^2α+1}-\tanα$。
5. 化简得$\sqrt{\tan^2α+1}-\tanα=\frac{1-\sinα}{\cosα}=\tan(45°-\frac{α}{2})$，故$x=45°-\frac{α}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质、三角函数、垂直的角度关系
【点评】
本题综合考查矩形性质与三角函数的应用，核心是利用垂直条件建立斜率关系，通过三角函数化简推导目标角，需学生具备几何与代数结合的解题能力。
【难度系数】
0.5

4.如图,在菱形ABCD中,AC与BD交于点O,点E在AO上,
$AE=DE$,若$∠ADE=2∠ODE$,则$∠CDE$的度数为 （）

A.$60°$
B.$64°$
C.$70°$
D.$72°$

4.D

【分析】
要解决本题，需结合菱形的性质（对角线互相垂直、平分内角）和等腰三角形的性质，通过设未知数建立角度关系求解。先设∠ODE为x，根据已知条件表示出相关角度，再利用三角形外角性质或内角和列方程，求出x后计算∠CDE的度数。
【解析】
设∠ODE = x，由∠ADE = 2∠ODE，得∠ADE = 2x。
因为AE = DE，所以△ADE是等腰三角形，故∠DAE = ∠ADE = 2x。
菱形ABCD中，对角线AC⊥BD，即∠AOD = 90°，在Rt△DOE中，∠OED = 90° - x。
根据三角形外角性质：∠OED = ∠DAE + ∠ADE，代入得：
90° - x = 2x + 2x，
解得5x = 90°，即x = 18°。
因此，∠ADE = 2×18° = 36°，∠ADB = ∠ADE + ∠ODE = 36° + 18° = 54°。
菱形中，对角线BD平分∠ADC，故∠ADC = 2∠ADB = 108°。
则∠CDE = ∠ADC - ∠ADE = 108° - 36° = 72°。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角性质
【点评】
本题综合考查菱形与等腰三角形的角度关系，核心是利用三角形外角性质建立角度等式，通过设未知数列方程求解，属于中等难度的几何角度计算题。
【难度系数】
0.5

5. 如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形CDE,连结AE,BE,则∠AEB的度数为。

5.30°

【分析】
要计算∠AEB的度数，需结合正方形和等边三角形的性质推导边与角的关系：先利用正方形的性质得到边相等和内角为90°，再利用等边三角形的性质得到边相等和内角为60°，进而推出△ADE和△BCE为等腰三角形，计算出这两个等腰三角形的底角，最后结合等边△CDE的内角∠DEC，即可求出∠AEB。
【解析】
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AD = DC = BC，∠ADC = ∠BCD = 90°。
∵ △CDE是等边三角形，
∴ DC = DE = CE，∠CDE = ∠DCE = ∠DEC = 60°。
∴ AD = DE，BC = CE，即△ADE和△BCE都是等腰三角形。
计算∠ADE：∠ADE = ∠ADC + ∠CDE = 90° + 60° = 150°，
在△ADE中，∠DEA = (180° - ∠ADE)÷2 = (180° - 150°)÷2 = 15°。
同理，∠BCE = ∠BCD + ∠DCE = 90° + 60° = 150°，
在△BCE中，∠CEB = (180° - ∠BCE)÷2 = (180° - 150°)÷2 = 15°。
∴ ∠AEB = ∠DEC - ∠DEA - ∠CEB = 60° - 15° - 15° = 30°。
【答案】
30°
【知识点】
正方形性质、等边三角形性质、等腰三角形角度计算
【点评】
本题结合正方形与等边三角形的性质，通过推导等腰三角形的底角求解角度，关键在于利用两种特殊图形的边、角关系找到等腰三角形，属于基础几何角度计算题型，需熟练掌握特殊四边形和特殊三角形的性质。
【难度系数】
0.6

6.如图,在菱形ABCD中,点E是边AD的中点,点F在边AB上。若$AF=2,∠A=60°,∠BFC=2∠DCE$,则菱形的边长为。

6.5

【分析】
要解决该问题，先设菱形边长为$a$，利用菱形性质得到相关边和角的关系，再通过余弦定理、正弦定理结合$∠ BFC=2∠ DCE$的条件建立等式，最终求解边长。
【解析】
设菱形$ABCD$的边长为$a$，则$AB=BC=CD=DA=a$，由菱形邻角互补得$∠ ADC=180°-∠ A=120°$，因$E$是$AD$中点，故$DE=\frac{a}{2}$。
1. 在$△ DCE$中，由余弦定理：
$CE^2=CD^2+DE^2-2· CD· DE·\cos∠ CDE=a^2+(\frac{a}{2})^2-2· a·\frac{a}{2}·\cos120°=\frac{5a^2}{4}+\frac{a^2}{2}=\frac{7a^2}{4}$，即$CE=\frac{a\sqrt{7}}{2}$。
由正弦定理：$\frac{DE}{\sin∠ DCE}=\frac{CE}{\sin∠ CDE}$，代入得$\frac{\frac{a}{2}}{\sin∠ DCE}=\frac{\frac{a\sqrt{7}}{2}}{\sin120°}$，化简得$\sin∠ DCE=\frac{\sqrt{21}}{14}$，进而求得$\cos∠ DCE=\frac{5\sqrt{7}}{14}$，则$\sin2∠ DCE=2\sin∠ DCE\cos∠ DCE=\frac{5\sqrt{3}}{14}$，$\cos2∠ DCE=\frac{11}{14}$。
2. 在$△ BFC$中，$∠ B=180°-∠ A=120°$，故$∠ BCF=60°-∠ BFC$，又$∠ BFC=2∠ DCE$，则：
$\sin(60°-∠ BFC)=\sin60°\cos2∠ DCE-\cos60°\sin2∠ DCE=\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{11}{14}-\frac{1}{2}×\frac{5\sqrt{3}}{14}=\frac{3\sqrt{3}}{14}$。
由正弦定理：$\frac{FB}{\sin∠ BCF}=\frac{BC}{\sin∠ BFC}$，其中$FB=a-2$，代入得：
$\frac{a-2}{\frac{3\sqrt{3}}{14}}=\frac{a}{\frac{5\sqrt{3}}{14}}$，约去$\frac{\sqrt{3}}{14}$，解得$5(a-2)=3a$，即$a=5$。
【答案】
5
【知识点】
菱形性质、正弦定理、余弦定理
【点评】
本题结合菱形的特殊角，通过三角函数定理建立边与角的关系，考查几何与代数结合的解题能力，需熟练掌握三角函数恒等变换及定理应用。
【难度系数】
0.5

7.如图,在边长为6的正方形ABCD中,点E,F分别是AC,CD上的两点,BE⊥EF,CF=2,则AE的长为。

7.$2\sqrt{2}$

【分析】
要解决该问题，可通过建立平面直角坐标系，利用向量垂直的性质转化为代数计算：先确定正方形各顶点坐标，设出点E的坐标，根据BE⊥EF的条件列方程求解点E的坐标，最终计算AE的长度。
【解析】
解：设正方形ABCD的坐标为：A(0,6)，B(0,0)，C(6,0)，D(6,6)，则对角线AC的直线方程为y=-x+6。
因为点E在AC上，设E的坐标为(a, -a+6)；点F在CD上，CF=2，故F的坐标为(6,2)。
由BE⊥EF，可知向量BE与向量EF的点积为0：
向量BE=(a, -a+6)，向量EF=(6-a, a-4)，则：
a(6-a) + (-a+6)(a-4)=0
展开整理得：6a -a² -a² +10a -24=0 → a²-8a+12=0
解得a=2或a=6，a=6对应点C，不符合题意，舍去，故a=2。
则E点坐标为(2,4)，AE的长度为：
AE=√[(2-0)² + (4-6)²]=√(4+4)=2√2。
【答案】
2√2
【知识点】
正方形性质、坐标法、向量垂直
【点评】
本题运用数形结合思想，将几何问题转化为代数计算，通过坐标系简化了垂直条件的应用，是典型的几何代数化解题思路，适合中等难度的几何计算类题目。
【难度系数】
0.5