24. 已知$a,b$是正整数.
(1)若$\sqrt{\dfrac{7}{a}}$是整数,则满足条件的$a$的值为________;
(2)若$\sqrt{\dfrac{7}{a}}+\sqrt{\dfrac{10}{b}}$是整数,则满足条件的有序数对$(a,b)$为________.

24. (1)7 (2)(7,10)或(28,40) 【点拨】本题考查二次根式的性质和化简,掌握二次根式的性质是解题的关键.
【解析】(1)
∵ √(7/a) 是整数,a 是正整数,
∴ a = 7. 故答案为7.
(2)
∵ √(7/a) + √(10/b) 是整数,a,b 是正整数,
∴ a = 7,b = 10 或 a = 28,b = 40,
∴ 满足条件的有序数对(a,b)为(7,10)或(28,40). 故答案为(7,10)或(28,40).

25. 如图,点A,B分别在直线MN,ST上,点C在MN与ST之间,点E在线段BC上,已知$∠ MAC + ∠ ACB + ∠ SBC = 360°$. 有下列结论:①$MN // ST$;②$∠ ACB = ∠ CAN + ∠ CBT$;③若$∠ ACB = 60°, AD // CB$,且$∠ DAE = 3∠ CBT$,则$∠ CAE = 3∠ CAN$;④若$∠ ACB = \frac{180°}{n+1}$($n$为整数且$n ＞ 1$),$∠ MAE = (n + 1)∠ CBT$,则$∠ CAE : ∠ CAN = n$. 其中正确的有________(填序号).

25. ①②④ 【点拨】本题考查平行线的性质和判定.
【解析】如题图,连接 AB,作 CF // ST(点 F 在点 C 的左侧),
∵ ∠MAC + ∠ACB + ∠SBC = 360°,∠ACB + ∠ABC + ∠BAC = 180°,
∴ ∠MAB + ∠SBA = 180°,
∴ MN//ST,故①正确;
∵ CF//ST,MN//ST,
∴ MN//ST//CF,
∴ ∠CAN = ∠ACF,∠CBT = ∠BCF,
∴ ∠ACB = ∠ACF + ∠BCF = ∠CAN + ∠CBT,故②正确;设∠CBT = α,则∠DAE = 3α,∠BCF = ∠CBT = α,∠CAN = ∠ACF = 60° - α,
∵ AD//BC,
∴ ∠DAC = 180° - ∠ACB = 120°,
∴ ∠CAE = 120° - ∠DAE = 120° - 3α,
∴ ∠CAE ≠ 3∠CAN,故③错误;设∠CBT = β,则∠MAE = (n+1)β,
∵ MN//CF//ST,
∴ ∠CBT = ∠BCF = β,∠ACF = ∠CAN = 180°/(n+1) - β,
∴ ∠CAE = 180° - ∠MAE - ∠CAN = 180° - (n+1)β - 180°/(n+1) + β = (180°n)/(n+1) - nβ,
∴ ∠CAE : ∠CAN = ((180°n)/(n+1) - nβ) : (180°/(n+1) - β) = n,故④正确. 故答案为①②④.

26. (10分)如图1,由8个同样大小的正方体组成一个“2阶魔方”,整个魔方的体积为8.
(1)求这个魔方的棱长;
(2)图1中阴影部分是一个正方形ABCD,它的面积是魔方侧面EFGH面积的一半,求正方形ABCD的边长a;
(3)把正方形ABCD放到数轴上,如图2,使得点A与-1重合,那么点D在数轴上表示的数为.

26. 【点拨】本题考查实数与数轴、平方根与立方根,掌握正方体的体积公式、正方形的面积公式是解题的关键.
【解析】(1)∛8 = 2.
∴ 这个魔方的棱长为 2.
(2)
∵ 侧面 EFGH 面积 = 2 × 2 = 4,
∴ 正方形 ABCD 的面积 = 2,即 a² = 2,
∴ a = √2.
(3)
∵ AD = √2 ,
∴ 点 D 在数轴上表示的数为 -1 - √2.
故答案为 -1 - √2.

27. (12分)如图,直线$AB// CD$,直线$EF$与$AB,CD$分别交于点$G,H,∠ EHC=α(0°＜α＜90°)$.小新将一个含$30°$角的直角三角板$PMN$按如图1放置,使点$N,M$分别在直线$AB,CD$上,$∠ P=90°$,$∠ PMN=60°$.
(1)填空:$∠ PNA + ∠ PMC =$;
(2)若$PM// EF,∠ MNG$的平分线$NO$交直线$CD$于点$O$.
①如图2,当$NO// EF$时,求$α$的度数;
②小新将三角板$PMN$向右平移,请直接写出$∠ MON$的度数(用含$α$的式子表示).

27. 【点拨】本题考查平移的性质,平行线的性质,角平分线的定义,掌握平移的性质,平行线的性质,角平分线的定义以及平角的定义是解题的关键.
【解析】(1)如题图1,过点 P 作 PQ//AB(点 Q 在点 P 的右侧),
∵ AB//CD,
∴ AB//PQ//CD,
∴ ∠PNA = ∠NPQ,∠QPM = ∠PMC.
∵ ∠NPQ + ∠QPM = ∠NPM = 90°,
∴ ∠PNA + ∠PMC = 90°. 故答案为 90°.
(2)①
∵ NO 平分 ∠MNG,
∴ ∠ONM = ∠ONB.
∵ AB//CD,
∴ ∠ONM = ∠ONB = ∠NOM.
∵ PM//EF,NO//EF,
∴ PM//EF//ON,
∴ ∠ONM = ∠NOM = ∠ONB = ∠PMN = ∠EHC = 60°,
即 α 的度数是 60°.
②如图1,当点 N 在点 G 的左侧时,
∵ PM//EF,
∴ ∠PMC = ∠EHC = α,
∴ ∠CMN = ∠PMC + ∠PMN = α + 60°.
∵ AB//CD,
∴ ∠CMN = ∠BNM = α + 60°.
∵ NO 平分 ∠MNG,
∴ ∠BNO = 1/2 ∠BNM = 1/2 (α + 60°) = 1/2 α + 30°.
∵ AB//CD,
∴ ∠BNO = ∠MON = 1/2 α + 30°,
即 ∠MON = 1/2 α + 30°.
如图2,当点 N 在点 G 的右侧时,
∵ PM//EF,
∴ ∠PMC = ∠EHC = α,
∴ ∠CMN = ∠PMC + ∠PMN = α + 60°,
∴ ∠DMN = 180° - ∠CMN = 180° - (α + 60°) = 120° - α.
∵ AB//CD,
∴ ∠ANM = ∠DMN = 120° - α.
∵ NO 平分 ∠MNG,
∴ ∠ANO = 1/2 ∠MNG = 1/2 (120° - α) = 60° - 1/2 α.
∵ AB//CD,
∴ ∠ANO = ∠MON = 60° - 1/2 α,
即 ∠MON = 60° - 1/2 α.
综上所述,∠MON 的度数为 1/2 α + 30° 或 60° - 1/2 α.