三、解答题
11. 如图，在$□ ABCD$中，$AC ⊥ AD$，延长DA至点E，使得$AE=DA$，连接BE。
(1)求证：四边形AEBC是矩形；
(2)过点E作AB的垂线分别交AB，AC于点F，G，连接CE交AB于点O，连接OG，若$AB=6$，$∠ CAB=30°$，求$△ OGC$的面积。

11. (1)证明: $\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore AD// BC,AD=BC$。
$\therefore AE// BC$。
$\because AE=DA$，
$\therefore AE=BC$。
$\therefore$ 四边形 $AEBC$ 是平行四边形。
$\because AC⊥ AD$，
$\therefore ∠ CAE=90°$。
$\therefore$ 四边形 $AEBC$ 是矩形。
(2)解: $\because EG⊥ AB,AC⊥ AD$，
$\therefore ∠ AFG=90°,∠ CAE=90°$。
$\because ∠ CAB=30°$，
$\therefore ∠ AGF=60°,∠ EAF=60°$。
$\because$ 四边形 $AEBC$ 是矩形，
$\therefore OA=OC=OB=OE$。
$\therefore ∠ OCA=30°,△ AOE$ 是等边三角形。
$\therefore AE=EO$。
$\therefore AF=OF$。
$\therefore AG=OG$。
$\therefore ∠ GOF=∠ GAF=30°$。
$\therefore ∠ CGO=60°$。$\therefore ∠ COG=90°$。
$\because OC=OA=\frac{1}{2}AB=3$，
$\therefore OG=\sqrt{3}$。
$\therefore△ OGC$ 的面积为 $\frac{1}{2}×3×\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。

12.如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，D是斜边AB上一点，过点D作BC的垂线，垂足为E，延长DE至点G，使得$GE=DE$，过点D作AC的垂线，垂足为F，延长DF交GC的延长线于点H，连接EF。
(1)求证：四边形CEDF是矩形。
(2)当点D在什么位置时，HG最短？请说明理由。

12. (1)证明: $\because DG⊥ BC,DH⊥ AC$，
$\therefore ∠ DEC=∠ DFC=90°$。
又$\because ∠ ACB=90°$，
$\therefore$ 四边形 $CEDF$ 是矩形。
(2)解: 当 $CD⊥ AB$ 于点 $D$ 时, $HG$ 最短。
理由:如图,连接 $CD$。

$\because$ 四边形 $CEDF$ 是矩形，
$\therefore ∠ EDF=90°,CF// DG,DH// BC$。
$\therefore ∠ ACD=∠ CDG,∠ HCF=∠ G$。
$\because DE=GE,DG⊥ BC$，
$\therefore CD=CG$。
$\therefore ∠ CDG=∠ G$。
$\therefore ∠ HCF=∠ FCD$。
$\because DH⊥ AC$，
$\therefore ∠ CFH=∠ CFD=90°$。
$\therefore CH=CD=CG$。
$\therefore HG=2CD$。
$\therefore$ 当 $CD$ 最短时,即 $CD⊥ AB$ 于点 $D$ 时,$HG$ 最短。