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9. 如图3-1-83,点B,D,E,C在一条直线上,∠1=∠2,∠3=∠4.求证:AB=AC.
答案
证明:
∵ ∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，
由于∠1 = ∠B + ∠3，∠2 = ∠C + ∠4，
∴ ∠B = ∠C。
∴ AB = AC。
∵ ∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，
由于∠1 = ∠B + ∠3，∠2 = ∠C + ∠4，
∴ ∠B = ∠C。
∴ AB = AC。
10. 如图 3 - 1 - 84, 在 $△ ABC$ 中, $AB = AC$,点 $D$ 在 $AB$ 上, $DE ⊥ BC$, 垂足为点 $E$, $ED$ 的延长线与 $CA$ 的延长线相交于点 $F$.求证: $△ ADF$ 是等腰三角形.
答案
10. 证明:
∵ AB = AC，
∴ ∠B = ∠C。
∵ DE ⊥ BC，
∴ ∠B + ∠BDE = 90°，
∠C + ∠F = 90°。
∴ ∠BDE = ∠F。
∴ ∠ADF = ∠BDE = ∠F。
∴ AD = AF，即△ADF是等腰三角形。
11. 如图 3 - 1 - 85, 在 $△ ABC$ 中, $O$ 为 $∠ BAC$ 的平分线上一点, $∠ 1 = ∠ 2$.
(1) 过点 $O$ 作 $OE ⊥ AB, OF ⊥ AC$, 垂足分别为点 $E, F$, 求证: $OE = OF$.
(2) 求证: $△ ABC$ 是等腰三角形.
(1) 过点 $O$ 作 $OE ⊥ AB, OF ⊥ AC$, 垂足分别为点 $E, F$, 求证: $OE = OF$.
(2) 求证: $△ ABC$ 是等腰三角形.
答案
11. 提示:(1) 由AO平分∠BAC，
OE ⊥ AB，OF ⊥ AC，
可证△AOE ≌ △AOF，
∴ OE = OF。
(2)
∵ ∠1 = ∠2，
∴ OB = OC。
∴ Rt△OBE ≌ Rt△OCF(HL)。
∴ ∠OBE = ∠OCF。
∴ ∠ABC = ∠ACB。
∴ AB = AC。
12.(1) 如图3-1-86,在等边$△ ABC$中,BD平分$∠ ABC$,延长BC到E,使$CE=AD$,连结DE.试判断BD与DE的大小关系,并说明理由.
(2)拓展:若点D是AC边上任意一点,且$CE=AD$,上述结论还成立吗？
(2)拓展:若点D是AC边上任意一点,且$CE=AD$,上述结论还成立吗？
答案
12. (1) BD = DE。理由：
∵ CE = AD = CD，
∴ ∠CDE = ∠E，
∵ ∠ACB 是△CDE的外角，
∴ ∠ACB = ∠CDE + ∠E = 2∠E。
∵ △ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，
∴ ∠ACB = ∠ABC = 2∠CBD。
∴ ∠CBD = ∠E。
∴ BD = DE。
(2) 提示:如图，过点D作DF // BC，交AB于F，
证明△BDF ≌ △DCE。
