7.(1)如图3-1-108,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$BC=12$,$∠ BAC=120°$,$AB$的垂直平分线交$BC$边于点$E$,$AC$的垂直平分线交$BC$边于点$G$,垂足分别为点$D$,$F$.求$∠ EAG$的度数和$△ AEG$的周长.
(2)如图3-1-109,在$△ ABC$中,$BC=12$,$∠ BAC=100°$,$AB$的垂直平分线交$BC$边于点$E$,$AC$的垂直平分线交$BC$边于点$G$.求$∠ EAG$的度数和$△ AEG$的周长.
(3)如图3-1-110,$△ ABC$中,$BC=12$,$∠ BAC=70°$,$AB$的垂直平分线交$BC$边于点$E$,垂足为点$D$,$AC$的垂直平分线交$BC$边于点$G$,垂足为点$F$.能否求出$∠ EAG$的度数和$△ AEG$的周长?
(4)如图3-1-111,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=120°$.$D$,$F$分别是$AB$,$AC$的中点,$E$,$G$在$BC$上,$△ AEG$是等边三角形.求证:$DE ⊥ AB$,$FG ⊥ AC$.

提示:(1) 由 $DE$ 垂直平分 $AB$,$FG$ 垂直平分 $AC$ 得 $AE = BE$,$AG = CG$。
$\therefore ∠ BAE = ∠ B$,$∠ CAG = ∠ C$。
$\therefore ∠ EAG = ∠ BAC - ∠ B - ∠ C = 60°$。
$△ AEG$ 的周长为 $AE + AG + EG = BC = 12$。
(2) $∠ BAC$ 为钝角,与(1)中解答方法相同,于是可得 $∠ EAG = 20°$,$△ AEG$ 的周长为 12。
(3) 由 $DE$ 垂直平分 $AB$,$FG$ 垂直平分 $AC$ 得 $AE = BE$,$AG = CG$,从而 $∠ BAE = ∠ B$,$∠ CAG = ∠ C$。
$\therefore ∠ EAG = ∠ B + ∠ C - ∠ BAC = 40°$。
$△ AEG$ 的周长不确定。
(4) 由 $AB = AC$,以及 $∠ BAC = 120°$ 可得 $∠ B = ∠ C = 30°$。
在等边 $△ AEG$ 中,$∠ AEG = ∠ AGE = 60°$。
由于 $∠ AEG = ∠ B + ∠ BAE$,所以 $∠ BAE = 30°$,则 $AE = BE$。
又由 $D$ 是 $AB$ 边的中点可得 $DE ⊥ AB$。
同理可得 $FG ⊥ AC$。