8. (2022·双流)如图,在矩形ABCD中,$AB = 4$,$BC = 8$,对角线AC,BD相交于点O,过点O作OE垂直AC交AD于点E,则DE的长是()

A. 3
B. 5
C. 2.4
D. 2.5

A

9. (1)(2022·雅安)如图,在四边形ABCD中,$∠BAD = ∠BCD = 90^{\circ}$,M,N分别为对角线BD,AC的中点,连接MN.判定MN与AC的位置关系并证明.

(2)(2023·新都)如图,在矩形ABCD中,P是BC中点,线段AP的延长线与DC的延长线交于点E,连接AC,BE.求证：四边形ABEC是平行四边形.

(1)[解]MN⊥AC.证明:如图,连接AM,CM.∵∠BAD=∠BCD=90°,M为BD的中点,∴AM=$\frac{1}{2}$BD,CM=$\frac{1}{2}$BD,∴AM=CM.∵N为AC的中点，∴MN⊥AC.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)[证明]∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABP=∠ECP=90°,AB//DC,∴∠BAP=∠CEP.∵P是BC中点,∴BP=CP,∴△ABP≌△ECP(AAS),∴AP=EP,又∵BP=CP,∴四边形ABEC是平行四边形.

10. (2025·编写)如图,在矩形ABCD中,E,F分别是边AB,CD上的点,$AE = CF$,连接EF,BF,EF与对角线AC交于点O,且$BE = BF$,$∠BEF = 2∠BAC$.
(1) 求证：$OE = OF$；
(2) 若$BC = 2\sqrt{3}$,求AB的长.

(1)[证明]在矩形ABCD中,AB//CD,∴∠EAO=∠FCO.在△AOE和△COF中,$\begin{cases} \angle EAO = \angle FCO, \\ \angle AOE = \angle COF, \\ AE = CF, \end{cases}$∴△AOE≌△COF(AAS),∴OE=OF.
(2)[解]如图，连接OB.∵BE=BF,OE=OF,∴BO⊥EF,∴在Rt△BEO中,∠BEF+∠ABO=90°,由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知OA=OB=OC,∴∠BAC=∠ABO.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
又∵∠BEF=2∠BAC,即2∠BAC+∠BAC=90°,解得∠BAC=30°.∵BC=2$\sqrt{3}$,∴AC=2BC=4$\sqrt{3}$,∴AB=$\sqrt{AC^{2} - BC^{2}} = \sqrt{(4\sqrt{3})^{2} - (2\sqrt{3})^{2}} = 6$.

11. (2024·德阳)如图,四边形ABCD是矩形,$\triangle ADG$是正三角形,F是GD的中点,P是矩形ABCD内一点,且$\triangle PBC$是以BC为底的等腰三角形,则$\triangle PCD的面积与\triangle FCD$的面积的比值是____.

2

12. (2023·高新)如图,在矩形ABCD中,E,F分别是边AB,CD上的点,$AE = CF$,连接EF,BF,EF与对角线AC交于点O,且$BE = BF$,$∠BEF = 2∠BAC$,$FC = \sqrt{3}$,则AB的长为____.

3$\sqrt{3}$