13. (2025·青羊)如图,$\triangle ABC和\triangle DEF$都是等腰直角三角形,$∠BAC = ∠EDF = 90^{\circ}$,D为BC中点,连接AE,CE,$∠AEC = 120^{\circ}$,则$\frac{DE}{AE}$的最小值为____.

$\frac{\sqrt{2}}{4}$

14. (2024·南充)如图,在矩形ABCD中,E为AD边上一点,$∠ABE = 30^{\circ}$,将$\triangle ABE$沿BE折叠得$\triangle FBE$,连接CF,DF.若CF平分$∠BCD$,$AB = 2$,求DF的长.

[解]如图,过点F作FG⊥BC于点G,FH⊥CD于点H.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵CF平分∠BCD,∴HF=FG;∵四边形ABCD为矩形，∴CD=AB=2,∠ABC=∠BCD=90°.由翻折可知,BF=AB=2、∠FBE=∠ABE=30°,∴∠FBG=30°,∴FG=$\frac{1}{2}$BF=1,∴HF=1,CH=FG=1,∴DH=CD−CH=1,∴DF=$\sqrt{DH^{2} + HF^{2}} = \sqrt{2}$.

15. (2025·东部新区)如图1,在矩形纸片ABCD中,$AB = 3$,$AD = 5$,折叠纸片使点B落在AD上的点E处,折痕为PQ,过点E作$EF// AB$交PQ于点F.
(1) 求证：四边形BFEP为菱形；
(2) 如图2,若$AP:BP = 1:2$,求CQ的长.

(1)[证明]由折叠,可得BP=EP,FB=FE,∠BPF=∠EPF;∵EF//AB,∴∠BPF=∠PFE,∴∠EPF=∠PFE,∴PE=EF.∴PB=PE=BF=EF,∴四边形BFEP是菱形.
(2)[解]如图，过点Q作QH⊥AD于点H,∴AH=BQ,HQ=AB=3.
　　　　　　　
∵$\frac{AP}{BP} = \frac{1}{2}$,AB=3,∴AP=1,PE=BP=2.在Rt△APE中,由勾股定理,可得AE=$\sqrt{3}$;设BQ=x,则EH=$\sqrt{3}$−x.由折叠,可得EQ=BQ=x,在Rt△EHQ中,由勾股定理,得$x^{2} = 3^{2} + (\sqrt{3} - x)^{2}$,解得$x = 2\sqrt{3}$,∴BQ=$2\sqrt{3}$.∵BC=AD=5,∴CQ=BC−BQ=5−$2\sqrt{3}$.