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18. 方法探索添(拆)项法
【阅读理解】
对于二次三项式$x^2+2ax+a^2$，能直接用公式法进行因式分解，得到$x^2+2ax+a^2=(x+a)^2$，但对于二次三项式$x^2+2ax-8a^2$，就不能直接用公式法了.我们可以采用这样的方法:在二次三项式$x^2+2ax-8a^2$中先加上一项$a^2$，使其成为完全平方式，再减去$a^2$这项，使整个式子的值不变，如下:$x^2+2ax-8a^2=x^2+2ax-8a^2+a^2-a^2=x^2+2ax+a^2-8a^2-a^2=(x^2+2ax+a^2)-(8a^2+a^2)=(x+a)^2-9a^2=(x+a+3a)(x+a-3a)=(x+4a)(x-2a)$.
像这样把二次三项式分解因式的方法叫作添(拆)项法.
【问题解决】
(1)请用上述方法将二次三项式$x^2+4ax-5a^2$分解因式.
【拓展应用】
(2)二次三项式$x^2-6x+5$有最小值或最大值吗?如果有，请你求出来，并说明理由.
【阅读理解】
对于二次三项式$x^2+2ax+a^2$，能直接用公式法进行因式分解，得到$x^2+2ax+a^2=(x+a)^2$，但对于二次三项式$x^2+2ax-8a^2$，就不能直接用公式法了.我们可以采用这样的方法:在二次三项式$x^2+2ax-8a^2$中先加上一项$a^2$，使其成为完全平方式，再减去$a^2$这项，使整个式子的值不变，如下:$x^2+2ax-8a^2=x^2+2ax-8a^2+a^2-a^2=x^2+2ax+a^2-8a^2-a^2=(x^2+2ax+a^2)-(8a^2+a^2)=(x+a)^2-9a^2=(x+a+3a)(x+a-3a)=(x+4a)(x-2a)$.
像这样把二次三项式分解因式的方法叫作添(拆)项法.
【问题解决】
(1)请用上述方法将二次三项式$x^2+4ax-5a^2$分解因式.
【拓展应用】
(2)二次三项式$x^2-6x+5$有最小值或最大值吗?如果有，请你求出来，并说明理由.
答案
18. 【解】(1)$x^2+4ax-5a^2=x^2+4ax+4a^2-5a^2-4a^2$
$=(x+2a)^2-9a^2=(x+2a+3a)(x+2a-3a)$
$=(x+5a)(x-a)$.
(2)有最小值,最小值为$-4$.
理由:$x^2-6x+5=x^2-6x+9+5-9=(x-3)^2-4$.
$\because (x-3)^2\ge0,\therefore (x-3)^2-4\ge-4$,
$\therefore$ 当$x=3$时,$(x-3)^2-4$有最小值,
即$x^2-6x+5$有最小值,最小值为$-4$.
$=(x+2a)^2-9a^2=(x+2a+3a)(x+2a-3a)$
$=(x+5a)(x-a)$.
(2)有最小值,最小值为$-4$.
理由:$x^2-6x+5=x^2-6x+9+5-9=(x-3)^2-4$.
$\because (x-3)^2\ge0,\therefore (x-3)^2-4\ge-4$,
$\therefore$ 当$x=3$时,$(x-3)^2-4$有最小值,
即$x^2-6x+5$有最小值,最小值为$-4$.
