圆锥的侧面积和全面积
(1)圆锥的母线:连接圆锥和底面圆周上的线段叫作圆锥的母线.
(2)沿一条母线将圆锥的侧面剪开并展平,得到的圆锥的侧面展开图是一个扇形.
设圆锥的母线长为$l$,底面圆的半径为$r$,那么这个扇形的半径为,扇形的弧长为底面圆的周长,因此圆锥的侧面积为,圆锥的全面积为.

(1) 顶点 任意一点
(2) $l$ $2π r$ $π rl$ $π r(l+r)$

典例 一个圆锥的高为3 cm，侧面展开图是半圆，求：
(1)圆锥的母线长与底面圆的半径的比；
(2)圆锥的全面积。

解：
(1) 设圆锥的母线长为$ l $，底面圆的半径为$ r $。
圆锥侧面展开图是半圆，该半圆的弧长为$ π l $，该弧长与圆锥底面圆的周长相等，因此：
$ 2π r = π l $
化简得$ l = 2r $，
所以圆锥的母线长与底面圆的半径的比为$ l:r = 2:1 $。
(2) 已知圆锥的高$ h=3\ \mathrm{cm} $，圆锥的母线、底面半径、高构成直角三角形，由勾股定理得：
$ l^2 = r^2 + h^2 $
将$ l=2r $、$ h=3 $代入上式：
$ (2r)^2 = r^2 + 3^2 $
$ 4r^2 = r^2 + 9 $
解得$ r^2=3 $，即$ r=\sqrt{3}\ \mathrm{cm} $，因此$ l=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm} $。
圆锥的侧面积$ S_{\mathrm{侧}} = \frac{1}{2}π l^2 = \frac{1}{2}π × (2\sqrt{3})^2 = 6π\ \mathrm{cm}^2 $，
圆锥的底面积$ S_{\mathrm{底}} = π r^2 = 3π\ \mathrm{cm}^2 $，
圆锥的全面积$ S_{\mathrm{全}} = S_{\mathrm{侧}} + S_{\mathrm{底}} = 6π + 3π = 9π\ \mathrm{cm}^2 $。
答：(1) 圆锥的母线长与底面圆的半径的比为2:1；(2) 圆锥的全面积为$ 9π\ \mathrm{cm}^2 $。

举一反三 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=4\ \mathrm{cm}$，$BC=3\ \mathrm{cm}$，以$AC$边所在的直线为轴将$△ ABC$旋转一周，得到一个常见的几何体，请你求出这个几何体的全面积（$π$取$3.14$）。
典例解析
典例
解 如图，设圆锥的轴截面为$△ ABC$，过点$A$作$AO⊥ BC$于点$O$，易得点$O$是圆锥底面圆的圆心。
设母线长$AB=l\ \mathrm{cm}$，底面圆的半径为$r\ \mathrm{cm}$，高$AO=h\ \mathrm{cm}$。
(1)$\because$圆锥的侧面展开图是半圆，
$\therefore 2π r=π l$。
$\therefore \dfrac{l}{r}=2$。
$\therefore$圆锥的母线长与底面圆的半径之比为$2:1$。
(2)在$\mathrm{Rt}△ ABO$中，
$\because l^2=r^2+h^2$，$l=2r$，$h=3$，
$\therefore (2r)^2=r^2+3^2$，解得$r=\sqrt{3}$或$r=-\sqrt{3}$（不合题意，舍去）。
$\therefore l=2r=2\sqrt{3}$。
$\therefore$圆锥的全面积为$S_{\mathrm{侧}}+S_{\mathrm{底}}=π rl+π r^2=π×\sqrt{3}×2\sqrt{3}+π×(\sqrt{3})^2=9π(\mathrm{cm}^2)$。

解 $\because ∠ C = 90°, AC = 4 \ \mathrm{cm}$，$BC=3 \ \mathrm{cm}$，
$\therefore AB=5 \ \mathrm{cm}$。
以$AC$边所在的直线为轴将$△ ABC$旋转一周，得到的几何体为圆锥,全面积为 $S_{\mathrm{侧}}+S_{\mathrm{底}}=π × 3 × 5+π × 3^2=3.14 × 15+3.14 × 9=75.36(\mathrm{cm}^2)$。