登录
10. 如图,在半径为1的⊙O上顺次取点A,B,C,D,E,连接AB,AE,OB,OC,OD,OE.若∠BAE=65°,∠COD=70°,则$\overset{\frown}{BC}$与$\overset{\frown}{DE}$的长度之和为
$\frac{π}{3}$
(结果保留π).答案
10. $\frac{π}{3}$ 解析
∵∠BAE=65°,∠COD=70°,
∴∠BOE=130°,
∴∠BOC+∠DOE=∠BOE−∠COD=60°,
∴$\overset{\frown}{BC}$与$\overset{\frown}{DE}$的长度之和为$\frac{60·π×1}{180}=\frac{π}{3}$.
∵∠BAE=65°,∠COD=70°,
∴∠BOE=130°,
∴∠BOC+∠DOE=∠BOE−∠COD=60°,
∴$\overset{\frown}{BC}$与$\overset{\frown}{DE}$的长度之和为$\frac{60·π×1}{180}=\frac{π}{3}$.
11.数学课上，老师将如图所示的边长为1的正方形铁丝框变形成以A为圆心，AB为半径的扇形(铁丝的粗细忽略不计)，则所得扇形DAB的面积是
1
。答案
11. 1 解析 由题意,得$\overset{\frown}{BD}$的长为CD+BC=1+1=2,
∴$S_{扇形DAB}=\frac{1}{2}×2×1=1$.故答案为1.
∴$S_{扇形DAB}=\frac{1}{2}×2×1=1$.故答案为1.
12. 如图，在 $△ ABC$ 中，$CA=CB$，以 $AB$ 为直径的 $\odot O$ 分别交 $CA$，$CB$ 于点 $D$，$E$，连接 $OD$，$OE$。
(1)求证：$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BE}$；
(2)若$∠ C = 50°$，半径 $OA = 3$，求 $\overset{\frown}{DE}$ 的长(结果保留 $π$)。
(1)求证：$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BE}$；
(2)若$∠ C = 50°$，半径 $OA = 3$，求 $\overset{\frown}{DE}$ 的长(结果保留 $π$)。
答案
(1)证明
∵CA=CB,
∴∠CAB=∠CBA,
∴$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BD}$,
∴$\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{DE}+\overset{\frown}{BE}$,
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BE}$.(2)解
∵CA=CB,
∴∠CAB=∠CBA=$\frac{1}{2}(180°−∠C)=65°$.
∵OA=OD=OB=OE,
∴∠ADO=∠CAB=65°,∠OEB=∠CBA=65°,
∴∠AOD=∠EOB=180°−2×65°=50°,
∴∠DOE=180°−2×50°=80°,
∴$\overset{\frown}{DE}$的长为$\frac{80·π×3}{180}=\frac{4π}{3}$.
∵CA=CB,
∴∠CAB=∠CBA,
∴$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BD}$,
∴$\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{DE}+\overset{\frown}{BE}$,
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BE}$.(2)解
∵CA=CB,
∴∠CAB=∠CBA=$\frac{1}{2}(180°−∠C)=65°$.
∵OA=OD=OB=OE,
∴∠ADO=∠CAB=65°,∠OEB=∠CBA=65°,
∴∠AOD=∠EOB=180°−2×65°=50°,
∴∠DOE=180°−2×50°=80°,
∴$\overset{\frown}{DE}$的长为$\frac{80·π×3}{180}=\frac{4π}{3}$.
13. 在学习扇形的面积公式时，同学们推导出半径为$ R $、圆心角为$ n° $的扇形的面积公式为$ S_{\mathrm{扇形}} = \frac{nπ R^2}{360} $，再比较弧长公式$ l = \frac{nπ R}{180} $，得出扇形面积的另一种计算方法$ S_{\mathrm{扇形}} = \frac{1}{2} l R $。接着，老师让同学们解决两个问题：
问题1：求弧长为$ 4π $，圆心角为$ 120° $的扇形面积（结果保留$ π $）。
问题2：某小区设计的花坛形状如图中的阴影部分所示，已知$\overset{\frown}{AB}$和$\overset{\frown}{CD}$所在圆的圆心都是点$ O $，$\overset{\frown}{AB}$的长为$ l_1 $，$\overset{\frown}{CD}$的长为$ l_2 $，$ AC = BD = d $，求花坛的面积。
(1)请你解答问题1；
(2)在解完问题2后的全班交流中，有位同学发现扇形面积公式$ S_{\mathrm{扇形}} = \frac{1}{2} l R $在形式上类似于三角形面积公式。受此启发，他再类比梯形面积公式，猜想花坛的面积$ S = \frac{1}{2}(l_1 + l_2) d $。他的猜想正确吗？如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由。
问题1：求弧长为$ 4π $，圆心角为$ 120° $的扇形面积（结果保留$ π $）。
问题2：某小区设计的花坛形状如图中的阴影部分所示，已知$\overset{\frown}{AB}$和$\overset{\frown}{CD}$所在圆的圆心都是点$ O $，$\overset{\frown}{AB}$的长为$ l_1 $，$\overset{\frown}{CD}$的长为$ l_2 $，$ AC = BD = d $，求花坛的面积。
(1)请你解答问题1；
(2)在解完问题2后的全班交流中，有位同学发现扇形面积公式$ S_{\mathrm{扇形}} = \frac{1}{2} l R $在形式上类似于三角形面积公式。受此启发，他再类比梯形面积公式，猜想花坛的面积$ S = \frac{1}{2}(l_1 + l_2) d $。他的猜想正确吗？如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由。
答案
解 (1)由弧长公式$l=\frac{nπR}{180}$,弧长为4π,圆心角为120°,可得R=6,所以$S_{扇形}=\frac{1}{2}lR=12π$.(2)他的猜想正确.推导过程如下:设大扇形的半径为R,小扇形的半径为r,圆心角都为n°,则d=R−r,由$l=\frac{nπR}{180}$,得$R=\frac{180l_1}{nπ}$,$r=\frac{180l_2}{nπ}$,所以$S_{阴影部分}=\frac{1}{2}l_1R−\frac{1}{2}l_2r=\frac{1}{2}l_1·\frac{180l_1}{nπ}−\frac{1}{2}l_2·\frac{180l_2}{nπ}$=$\frac{90}{nπ}(l_1^2−l_2^2)=\frac{90}{nπ}(l_1+l_2)(l_1−l_2)$=$\frac{1}{2}·\frac{180}{nπ}(\frac{nπR}{180}−\frac{nπr}{180})(l_1+l_2)$=$\frac{1}{2}(l_1+l_2)(R−r)=\frac{1}{2}(l_1+l_2)d$.故他的猜想正确.
