典例 如图(示意图)，某隧道的截面由抛物线和长方形构成.已知隧道宽$AA_1=10\ \mathrm{m}$，隧道壁高$AB=5\ \mathrm{m}$，隧道最高点$C$位于$AA_1$的中央且距地面$6\ \mathrm{m}$.为了防止碰撞，保障行车安全，隧道内路面两侧各预留1 m的立道牙，该隧道为单向双车道.
(1)以线段$AA_1$所在直线为$x$轴，$AA_1$的垂直平分线为$y$轴建立平面直角坐标系，请在图中画出该坐标系，并求抛物线对应的函数解析式.
(2)交通部门要求行驶车辆的顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5 m，求通过该隧道的车辆应限制高度为多少米.(结果保留小数点后一位)

解：
(1) 以AA1中点为原点，x轴沿AA1向右，y轴沿过C点的竖直线向上建立平面直角坐标系。
由题意可知，抛物线顶点C的坐标为$(0,6)$，点B的坐标为$(-5,5)$。
设抛物线的函数解析式为$y=ax^2+6$，
将$B(-5,5)$代入解析式得：
$5=25a+6$
解得$a=-\dfrac{1}{25}$，
因此抛物线对应的函数解析式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{25}x^2+6\quad (-5≤ x≤ 5)}$。
(2) 由题意，路面两侧各预留1m立道牙，车辆通行区域最外侧对应的横坐标满足$|x|=5-1=4$。
将$x=4$代入抛物线解析式：
$y=-\dfrac{1}{25}×4^2+6=5.36$
要求车辆顶部与隧道顶部竖直高度差至少为0.5m，因此车辆限制高度为：
$5.36-0.5=4.86\approx4.9\ \mathrm{m}$
答：通过该隧道的车辆应限制高度约为4.9米。

举一反三 甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线可近似看成抛物线的一部分.如图，甲在点O正上方的A处发出一球，羽毛球飞行的高度$y$(单位:m)与飞行的水平距离$x$(单位:m)之间满足函数关系式$y=a(x-4)^2+h$.已知点O与球网的水平距离为5 m，球网的高度为1.55 m.当$a=-\frac{1}{5},h=\frac{21}{5}$时，
(1)通过计算判断此球能否过网；
(2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为$\frac{12}{5}$ m的B处时，乙扣球成功，请求出羽毛球在B处时与点O的水平距离.

典例解析
典例
解 (1)由题可知，建立如图所示的平面直角坐标系.

设所求抛物线对应的函数解析式为$y=ax^2+c$.
根据题意可得点B的坐标为$(-5,5)$，点C的坐标为$(0,6)$.
由抛物线经过B，C两点，
得$\begin{cases}5=(-5)^2a + c, \\6=c,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{25}, \\c=6.\end{cases}$
∴该抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{25}x^2 +6(-5≤ x≤5)$.
(2)如图，分别过隧道内路面两侧立道牙的边缘E，F作$x$轴的垂线$EH$，$GF$，垂足分别为$E$，$F$，交抛物线于点$H$，$G$.

由题可知，$OE=OF=5-1=4(\mathrm{m})$，
∴点$G$，$H$的横坐标分别为$4$，$-4$.
∴当$x=4$时，$y=-\frac{1}{25}×4^2 +6=\frac{134}{25}$.
∴点$G$，$H$的坐标分别为$(4,\frac{134}{25})$，$(-4,\frac{134}{25})$.
由条件可知$\frac{134}{25}-0.5=4.86＞4.8$.
因此，通过隧道的车辆应限制高度为$4.8$ m.

(1)此球能过网.理由如下：
当$a=-\frac{1}{5},h=\frac{21}{5}$时，得$y=-\frac{1}{5}(x-4)^2+\frac{21}{5}$。
已知点O与球网的水平距离为5 m,球网的高度为1.55 m,把$x=5$代入$y=-\frac{1}{5}(x-4)^2+\frac{21}{5}$,得$y=4$。
$\because4＞1.55,\therefore$此球能过网。
(2)设$B(b,\frac{12}{5})$,代入$y=-\frac{1}{5}(x-4)^2+\frac{21}{5}$,得$\frac{12}{5}=-\frac{1}{5}(b-4)^2+\frac{21}{5}$，
解得$b_1=7,b_2=1$(不合题意,舍去)。
$\therefore$羽毛球在B处时与点O的水平距离为7 m。