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1.(2024,天津,7)计算$\frac{3x}{x-1}-\frac{3}{x-1}$的结果等于(
A.3
B.x
C.$\frac{x}{x-1}$
D.$\frac{3}{x^2-1}$
A
).A.3
B.x
C.$\frac{x}{x-1}$
D.$\frac{3}{x^2-1}$
答案
1.A
解析
【分析】
本题考查同分母分式的减法运算，解题思路如下：首先观察两个分式的分母，发现均为$x-1$，属于同分母分式相减，按照同分母分式减法法则，分母保持不变，只将分子相减；再对得到的分子进行化简，提取公因式后约分，最终得到最简结果，对应选项即可。
【解析】
根据同分母分式减法法则：同分母分式相减，分母不变，分子相减。
$\begin{aligned}\frac{3x}{x-1}-\frac{3}{x-1}&=\frac{3x - 3}{x-1}\\&=\frac{3(x-1)}{x-1}\\&=3 \quad (\mathrm{其中} \ x≠1)\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
同分母分式加减法、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，重点考查同分母分式的运算法则，计算时需注意分子相减后要先化简，再判断是否可约分，确保结果为最简形式。
【难度系数】
0.9
本题考查同分母分式的减法运算，解题思路如下：首先观察两个分式的分母，发现均为$x-1$，属于同分母分式相减，按照同分母分式减法法则，分母保持不变，只将分子相减；再对得到的分子进行化简，提取公因式后约分，最终得到最简结果，对应选项即可。
【解析】
根据同分母分式减法法则：同分母分式相减，分母不变，分子相减。
$\begin{aligned}\frac{3x}{x-1}-\frac{3}{x-1}&=\frac{3x - 3}{x-1}\\&=\frac{3(x-1)}{x-1}\\&=3 \quad (\mathrm{其中} \ x≠1)\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
同分母分式加减法、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，重点考查同分母分式的运算法则，计算时需注意分子相减后要先化简，再判断是否可约分，确保结果为最简形式。
【难度系数】
0.9
2.计算$(1+\frac{1}{a})÷(1-\frac{1}{a})$的结果是(
A.$\frac{a+1}{a-1}$
B.$\frac{a-1}{a+1}$
C.$\frac{a^2 -1}{a^2}$
D.$\frac{a^2}{a^2 -1}$
A
).A.$\frac{a+1}{a-1}$
B.$\frac{a-1}{a+1}$
C.$\frac{a^2 -1}{a^2}$
D.$\frac{a^2}{a^2 -1}$
答案
2.A
解析
【分析】
这是分式的混合运算题，解题思路如下：第一步先计算两个括号内的分式加减运算，将整数1转化为分母为a的同分母分式，再进行加减；第二步将分式除法转化为乘法运算（乘以除数的倒数）；第三步约去分子分母的公因式，化简得到最终结果，再对应选项选择即可。
【解析】
先计算括号内的加减：
$1+\frac{1}{a}=\frac{a}{a}+\frac{1}{a}=\frac{a+1}{a}$，
$1-\frac{1}{a}=\frac{a}{a}-\frac{1}{a}=\frac{a-1}{a}$，
再将除法转化为乘法计算：
原式$=\frac{a+1}{a}÷\frac{a-1}{a}=\frac{a+1}{a}×\frac{a}{a-1}$，
约去分子分母的公因式$a$，可得结果为$\frac{a+1}{a-1}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式加减运算、分式除法法则、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考察分式混合运算的运算顺序及运算法则，计算时注意先处理括号内的运算，除法转换为乘法后再约分，细心计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
这是分式的混合运算题，解题思路如下：第一步先计算两个括号内的分式加减运算，将整数1转化为分母为a的同分母分式，再进行加减；第二步将分式除法转化为乘法运算（乘以除数的倒数）；第三步约去分子分母的公因式，化简得到最终结果，再对应选项选择即可。
【解析】
先计算括号内的加减：
$1+\frac{1}{a}=\frac{a}{a}+\frac{1}{a}=\frac{a+1}{a}$，
$1-\frac{1}{a}=\frac{a}{a}-\frac{1}{a}=\frac{a-1}{a}$，
再将除法转化为乘法计算：
原式$=\frac{a+1}{a}÷\frac{a-1}{a}=\frac{a+1}{a}×\frac{a}{a-1}$，
约去分子分母的公因式$a$，可得结果为$\frac{a+1}{a-1}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式加减运算、分式除法法则、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考察分式混合运算的运算顺序及运算法则，计算时注意先处理括号内的运算，除法转换为乘法后再约分，细心计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
3.下列计算正确的是(
A.$1-\frac{a-2}{a}=-\frac{2}{a}$
B.$\frac{1}{2a}-\frac{1}{a}=\frac{1}{a}$
C.$\frac{a}{a-1}-1=1$
D.$\frac{a-1}{a}-\frac{a-2}{2a}=\frac{1}{2}$
D
).A.$1-\frac{a-2}{a}=-\frac{2}{a}$
B.$\frac{1}{2a}-\frac{1}{a}=\frac{1}{a}$
C.$\frac{a}{a-1}-1=1$
D.$\frac{a-1}{a}-\frac{a-2}{2a}=\frac{1}{2}$
答案
3.D
解析
【分析】
本题为分式加减运算的正误判断题，解题思路为逐一计算每个选项的运算结果，再与选项给出的结果对比判断对错。运算时遵循分式加减法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，先通分变为同分母分式，再按同分母分式加减法计算，整数可转化为和分式同分母的形式参与运算，计算过程中要注意去括号的符号变化。
【解析】
我们对每个选项依次计算：
A选项：
$1-\frac{a-2}{a}=\frac{a}{a}-\frac{a-2}{a}=\frac{a-(a-2)}{a}=\frac{a-a+2}{a}=\frac{2}{a}≠-\frac{2}{a}$，故A错误；
B选项：
$\frac{1}{2a}-\frac{1}{a}=\frac{1}{2a}-\frac{2}{2a}=\frac{1-2}{2a}=-\frac{1}{2a}≠\frac{1}{a}$，故B错误；
C选项：
$\frac{a}{a-1}-1=\frac{a}{a-1}-\frac{a-1}{a-1}=\frac{a-(a-1)}{a-1}=\frac{a-a+1}{a-1}=\frac{1}{a-1}≠1$，故C错误；
D选项：
$\frac{a-1}{a}-\frac{a-2}{2a}=\frac{2(a-1)}{2a}-\frac{a-2}{2a}=\frac{2a-2-(a-2)}{2a}=\frac{2a-2-a+2}{2a}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$，计算结果和选项一致，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
分式的加减法、通分、分式化简
【点评】
本题是分式运算的基础题，核心考查分式加减的运算法则，解题时要注意通分规范，去括号时要注意符号的变化，熟练掌握基础运算规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题为分式加减运算的正误判断题，解题思路为逐一计算每个选项的运算结果，再与选项给出的结果对比判断对错。运算时遵循分式加减法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，先通分变为同分母分式，再按同分母分式加减法计算，整数可转化为和分式同分母的形式参与运算，计算过程中要注意去括号的符号变化。
【解析】
我们对每个选项依次计算：
A选项：
$1-\frac{a-2}{a}=\frac{a}{a}-\frac{a-2}{a}=\frac{a-(a-2)}{a}=\frac{a-a+2}{a}=\frac{2}{a}≠-\frac{2}{a}$，故A错误；
B选项：
$\frac{1}{2a}-\frac{1}{a}=\frac{1}{2a}-\frac{2}{2a}=\frac{1-2}{2a}=-\frac{1}{2a}≠\frac{1}{a}$，故B错误；
C选项：
$\frac{a}{a-1}-1=\frac{a}{a-1}-\frac{a-1}{a-1}=\frac{a-(a-1)}{a-1}=\frac{a-a+1}{a-1}=\frac{1}{a-1}≠1$，故C错误；
D选项：
$\frac{a-1}{a}-\frac{a-2}{2a}=\frac{2(a-1)}{2a}-\frac{a-2}{2a}=\frac{2a-2-(a-2)}{2a}=\frac{2a-2-a+2}{2a}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$，计算结果和选项一致，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
分式的加减法、通分、分式化简
【点评】
本题是分式运算的基础题，核心考查分式加减的运算法则，解题时要注意通分规范，去括号时要注意符号的变化，熟练掌握基础运算规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4.计算$(1-\frac{1}{1-a})(\frac{1}{a^2}-1)$的结果是(
(A)$\frac{a+1}{a}$
(C)$\frac{a-1}{a}$
B
).(A)$\frac{a+1}{a}$
(C)$\frac{a-1}{a}$
答案
4.B
解析
【分析】
这是分式的混合运算题，解题思路分为三步：第一步先分别计算两个括号内的分式减法，通分化简得到最简分式；第二步对化简后分式的分子进行因式分解，方便后续约分；第三步将两个化简后的分式相乘，约去公因式后整理结果，对应选项即可。计算时要特别注意符号的变化，避免符号错误。
【解析】
解：先分别化简两个括号内的式子：
1. 化简第一个括号：
$1-\frac{1}{1-a}=\frac{1-a}{1-a}-\frac{1}{1-a}=\frac{(1-a)-1}{1-a}=\frac{-a}{1-a}=\frac{a}{a-1}$
2. 化简第二个括号：
$\frac{1}{a^2}-1=\frac{1}{a^2}-\frac{a^2}{a^2}=\frac{1-a^2}{a^2}=\frac{(1-a)(1+a)}{a^2}$
3. 两个化简后的式子相乘：
原式$=\frac{a}{a-1} × \frac{(1-a)(1+a)}{a^2}$
将$1-a$变形为$-(a-1)$，代入得：
$=\frac{a}{a-1} × \frac{-(a-1)(a+1)}{a^2}$
约去公因式$a$和$a-1$，得：
$=-\frac{a+1}{a}$
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
分式的加减运算、分式的乘除运算、因式分解
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考查分式混合运算的运算顺序和化简规则，解题时要注意通分、因式分解、约分的正确运用，尤其要注意减法和因式分解时的符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
这是分式的混合运算题，解题思路分为三步：第一步先分别计算两个括号内的分式减法，通分化简得到最简分式；第二步对化简后分式的分子进行因式分解，方便后续约分；第三步将两个化简后的分式相乘，约去公因式后整理结果，对应选项即可。计算时要特别注意符号的变化，避免符号错误。
【解析】
解：先分别化简两个括号内的式子：
1. 化简第一个括号：
$1-\frac{1}{1-a}=\frac{1-a}{1-a}-\frac{1}{1-a}=\frac{(1-a)-1}{1-a}=\frac{-a}{1-a}=\frac{a}{a-1}$
2. 化简第二个括号：
$\frac{1}{a^2}-1=\frac{1}{a^2}-\frac{a^2}{a^2}=\frac{1-a^2}{a^2}=\frac{(1-a)(1+a)}{a^2}$
3. 两个化简后的式子相乘：
原式$=\frac{a}{a-1} × \frac{(1-a)(1+a)}{a^2}$
将$1-a$变形为$-(a-1)$，代入得：
$=\frac{a}{a-1} × \frac{-(a-1)(a+1)}{a^2}$
约去公因式$a$和$a-1$，得：
$=-\frac{a+1}{a}$
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
分式的加减运算、分式的乘除运算、因式分解
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考查分式混合运算的运算顺序和化简规则，解题时要注意通分、因式分解、约分的正确运用，尤其要注意减法和因式分解时的符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
5.(2023,天津,7)计算$\frac{1}{x-1}-\frac{2}{x^2-1}$的结果等于(
A.$-1$
B.$x-1$
C.$\frac{1}{x+1}$
D.$\frac{1}{x^2-1}$
C
).A.$-1$
B.$x-1$
C.$\frac{1}{x+1}$
D.$\frac{1}{x^2-1}$
答案
5.C
解析
【分析】
这是异分母分式的减法运算，解题思路清晰可分为三步：第一步先对各分母因式分解，确定最简公分母；第二步将异分母分式通分化为同分母分式，按照同分母分式减法法则计算；第三步对计算结果约分，化为最简分式。首先观察到分母$x^2-1$符合平方差公式特征，可分解为$(x-1)(x+1)$，因此最简公分母就是$(x-1)(x+1)$，将第一个分式通分后按规则计算即可。
【解析】
解：先对分母因式分解，由平方差公式得$x^2 - 1 = (x+1)(x-1)$，因此两个分式的最简公分母为$(x+1)(x-1)$。
对$\frac{1}{x-1}$通分，分子分母同乘$x+1$，得：
$\frac{1}{x-1} = \frac{x+1}{(x-1)(x+1)} = \frac{x+1}{x^2 - 1}$
按照同分母分式减法法则，分母不变，分子相减：
$\frac{1}{x-1} - \frac{2}{x^2 - 1} = \frac{x+1}{x^2 - 1} - \frac{2}{x^2 - 1} = \frac{x+1 - 2}{x^2 - 1} = \frac{x - 1}{(x+1)(x-1)}$
约去分子分母的公因式$x-1$（分式有意义时$x≠±1$），得：
原式$=\frac{1}{x+1}$
【答案】
C
【知识点】
异分母分式加减法，平方差公式，分式约分
【点评】
本题考查分式的减法运算，解题的核心是先通过因式分解确定最简公分母，通分计算后要将结果约分为最简分式，是分式运算的基础题型。
【难度系数】
0.8
这是异分母分式的减法运算，解题思路清晰可分为三步：第一步先对各分母因式分解，确定最简公分母；第二步将异分母分式通分化为同分母分式，按照同分母分式减法法则计算；第三步对计算结果约分，化为最简分式。首先观察到分母$x^2-1$符合平方差公式特征，可分解为$(x-1)(x+1)$，因此最简公分母就是$(x-1)(x+1)$，将第一个分式通分后按规则计算即可。
【解析】
解：先对分母因式分解，由平方差公式得$x^2 - 1 = (x+1)(x-1)$，因此两个分式的最简公分母为$(x+1)(x-1)$。
对$\frac{1}{x-1}$通分，分子分母同乘$x+1$，得：
$\frac{1}{x-1} = \frac{x+1}{(x-1)(x+1)} = \frac{x+1}{x^2 - 1}$
按照同分母分式减法法则，分母不变，分子相减：
$\frac{1}{x-1} - \frac{2}{x^2 - 1} = \frac{x+1}{x^2 - 1} - \frac{2}{x^2 - 1} = \frac{x+1 - 2}{x^2 - 1} = \frac{x - 1}{(x+1)(x-1)}$
约去分子分母的公因式$x-1$（分式有意义时$x≠±1$），得：
原式$=\frac{1}{x+1}$
【答案】
C
【知识点】
异分母分式加减法，平方差公式，分式约分
【点评】
本题考查分式的减法运算，解题的核心是先通过因式分解确定最简公分母，通分计算后要将结果约分为最简分式，是分式运算的基础题型。
【难度系数】
0.8
6.计算：$\frac{3}{(x-1)^2} - \frac{3x}{(x-1)^2} =$
$\frac{3}{1-x}$
。答案
6.$\frac{3}{1-x}$
解析
【分析】
本题是同分母分式的减法运算，解题思路如下：第一步，根据同分母分式减法法则，分母不变，将两个分式的分子相减；第二步，对得到的分子进行因式分解，找到分子与分母的公因式；第三步，约分化简，注意处理符号，最终得到最简分式即可。
【解析】
解：原式$=\frac{3 - 3x}{(x-1)^2}$
$=\frac{3(1 - x)}{(x-1)^2}$
$\because 1-x=-(x-1)$
$\therefore$ 原式$=\frac{-3(x-1)}{(x-1)^2}$
约去公因式$x-1$（$x≠1$），得：
原式$=\frac{-3}{x-1}=\frac{3}{1-x}$
【答案】
$\frac{3}{1-x}$
【知识点】
同分母分式的减法、分式的约分
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查分式减法的运算规则，解题时需注意约分过程中符号的变化，避免因符号处理失误丢分。
【难度系数】
0.9
本题是同分母分式的减法运算，解题思路如下：第一步，根据同分母分式减法法则，分母不变，将两个分式的分子相减；第二步，对得到的分子进行因式分解，找到分子与分母的公因式；第三步，约分化简，注意处理符号，最终得到最简分式即可。
【解析】
解：原式$=\frac{3 - 3x}{(x-1)^2}$
$=\frac{3(1 - x)}{(x-1)^2}$
$\because 1-x=-(x-1)$
$\therefore$ 原式$=\frac{-3(x-1)}{(x-1)^2}$
约去公因式$x-1$（$x≠1$），得：
原式$=\frac{-3}{x-1}=\frac{3}{1-x}$
【答案】
$\frac{3}{1-x}$
【知识点】
同分母分式的减法、分式的约分
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查分式减法的运算规则，解题时需注意约分过程中符号的变化，避免因符号处理失误丢分。
【难度系数】
0.9
7.已知$\frac{x+5}{(x+1)(x-3)}=\frac{A}{x+1}-\frac{B}{x-3}$，则$A=$
$-1$
，$B=$$-2$
.答案
7. $- 1$； $- 2$
【提示】由 $\frac{A}{x+1} - \frac{B}{x-3} =\frac{A(x-3)-B(x+1)}{(x+1)(x-3)}$，
可得 $x+5=A(x-3)-B(x+1)$
$=(A-B)x-3A-B$，
$\therefore \begin{cases} A-B=1, \\ -3A-B=5, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} A=-1, \\ B=-2. \end{cases}$
【提示】由 $\frac{A}{x+1} - \frac{B}{x-3} =\frac{A(x-3)-B(x+1)}{(x+1)(x-3)}$，
可得 $x+5=A(x-3)-B(x+1)$
$=(A-B)x-3A-B$，
$\therefore \begin{cases} A-B=1, \\ -3A-B=5, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} A=-1, \\ B=-2. \end{cases}$
解析
【分析】
本题是分式恒等变形问题，解题思路如下：首先，等式右侧是两个异分母分式的减法，我们先对右侧通分，使右侧的分母和左侧分母相同；由于两个分式相等且分母相同，因此分子必然相等；再将右侧的分子整理为关于x的一次多项式，根据等式两边多项式的同类项系数对应相等，列出关于A、B的二元一次方程组，解方程组即可求出A、B的值。
【解析】
第一步：对等式右侧通分：
$\frac{A}{x+1}-\frac{B}{x-3}=\frac{A(x-3)-B(x+1)}{(x+1)(x-3)}$
第二步：由于左右两侧分式相等且分母相同，因此分子相等，可得：
$x+5=A(x-3)-B(x+1)$
第三步：展开并整理右侧的多项式：
$x+5=Ax-3A-Bx-B=(A-B)x+(-3A-B)$
第四步：根据多项式恒等的性质，等式两边同类项的系数对应相等，得到二元一次方程组：
$\begin{cases} A-B=1 \\ -3A-B=5 \end{cases}$
第五步：解方程组：
由第一个方程得$A=1+B$，代入第二个方程：
$-3(1+B)-B=5$
$-3-3B-B=5$
$-4B=8$
解得$B=-2$，代入$A=1+B$得$A=1-2=-1$。
【答案】
$-1$；$-2$
【知识点】
分式的通分，多项式恒等性质，二元一次方程组的解法
【点评】
本题是分式运算的常见题型，核心是利用“同分母的相等分式分子相等”的性质，结合多项式对应系数相等建立方程求解，掌握该方法可以快速解决分式拆分类的问题。
【难度系数】
0.6
本题是分式恒等变形问题，解题思路如下：首先，等式右侧是两个异分母分式的减法，我们先对右侧通分，使右侧的分母和左侧分母相同；由于两个分式相等且分母相同，因此分子必然相等；再将右侧的分子整理为关于x的一次多项式，根据等式两边多项式的同类项系数对应相等，列出关于A、B的二元一次方程组，解方程组即可求出A、B的值。
【解析】
第一步：对等式右侧通分：
$\frac{A}{x+1}-\frac{B}{x-3}=\frac{A(x-3)-B(x+1)}{(x+1)(x-3)}$
第二步：由于左右两侧分式相等且分母相同，因此分子相等，可得：
$x+5=A(x-3)-B(x+1)$
第三步：展开并整理右侧的多项式：
$x+5=Ax-3A-Bx-B=(A-B)x+(-3A-B)$
第四步：根据多项式恒等的性质，等式两边同类项的系数对应相等，得到二元一次方程组：
$\begin{cases} A-B=1 \\ -3A-B=5 \end{cases}$
第五步：解方程组：
由第一个方程得$A=1+B$，代入第二个方程：
$-3(1+B)-B=5$
$-3-3B-B=5$
$-4B=8$
解得$B=-2$，代入$A=1+B$得$A=1-2=-1$。
【答案】
$-1$；$-2$
【知识点】
分式的通分，多项式恒等性质，二元一次方程组的解法
【点评】
本题是分式运算的常见题型，核心是利用“同分母的相等分式分子相等”的性质，结合多项式对应系数相等建立方程求解，掌握该方法可以快速解决分式拆分类的问题。
【难度系数】
0.6
8.计算$\frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - 4} - \frac{x}{x - 2}$的结果是
$\frac{2}{x-2}$
。答案
8.$\frac{2}{x-2}$
解析
【分析】
本题是异分母分式的减法运算，解题思路如下：第一步先对第一个分式的分子、分母进行因式分解，观察到分子是完全平方式，分母是平方差公式，分解后可先对第一个分式约分，将其化为与第二个分式同分母的分式；第二步按照同分母分式减法法则，分母不变，分子相减；第三步对分子化简后得到最终最简结果。
【解析】
解：先对各部分因式分解，再计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(x+2)^2}{(x+2)(x-2)} - \frac{x}{x-2} \\&=\frac{x+2}{x-2} - \frac{x}{x-2} \quad \mathrm{（约去公因式$x+2$，$x≠\pm2$）}\\&=\frac{x+2 - x}{x-2} \quad \mathrm{（同分母分式相减，分母不变，分子相减）}\\&=\frac{2}{x-2}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{2}{x-2}$
【知识点】
1.分式减法法则
2.因式分解
3.分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心是将异分母分式转化为同分母分式再计算，解题时要先观察分式结构，优先对分子分母因式分解，能约分的先约分可简化计算过程，最终运算结果需化为最简分式。
【难度系数】
0.8
本题是异分母分式的减法运算，解题思路如下：第一步先对第一个分式的分子、分母进行因式分解，观察到分子是完全平方式，分母是平方差公式，分解后可先对第一个分式约分，将其化为与第二个分式同分母的分式；第二步按照同分母分式减法法则，分母不变，分子相减；第三步对分子化简后得到最终最简结果。
【解析】
解：先对各部分因式分解，再计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(x+2)^2}{(x+2)(x-2)} - \frac{x}{x-2} \\&=\frac{x+2}{x-2} - \frac{x}{x-2} \quad \mathrm{（约去公因式$x+2$，$x≠\pm2$）}\\&=\frac{x+2 - x}{x-2} \quad \mathrm{（同分母分式相减，分母不变，分子相减）}\\&=\frac{2}{x-2}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{2}{x-2}$
【知识点】
1.分式减法法则
2.因式分解
3.分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心是将异分母分式转化为同分母分式再计算，解题时要先观察分式结构，优先对分子分母因式分解，能约分的先约分可简化计算过程，最终运算结果需化为最简分式。
【难度系数】
0.8
9.若$x=-1,y=2$,则$\frac{2x}{x^2 -64y^2} - \frac{1}{x-8y}$的值是
$\frac{1}{15}$
.答案
9.$\frac{1}{15}$
解析
【分析】
本题是分式化简求值类题目，直接代入数值计算复杂度高，所以优先选择先化简再求值的思路。首先观察到第一个分式的分母是平方差形式，可先利用因式分解拆分分母，找到两个分式的最简公分母，再通过通分把异分母分式减法转化为同分母分式减法，计算后约分得到最简分式，最后代入数值计算即可，能有效减少计算错误。
【解析】
解：第一步先对第一个分式的分母因式分解，由平方差公式可得：
$x^2 - 64y^2=(x-8y)(x+8y)$
代入原式得：
$\mathrm{原式}=\frac{2x}{(x-8y)(x+8y)} - \frac{1}{x-8y}$
取最简公分母为$(x-8y)(x+8y)$，对第二个分式通分：
$=\frac{2x}{(x-8y)(x+8y)} - \frac{x+8y}{(x-8y)(x+8y)}$
同分母分式相减，分母不变，分子相减：
$=\frac{2x - (x+8y)}{(x-8y)(x+8y)}$
化简分子：$2x -x -8y=x-8y$，代入得：
$=\frac{x-8y}{(x-8y)(x+8y)}$
代入$x=-1,y=2$验证，$x-8y=-1-16=-17≠0$，可约去公因式$x-8y$，得最简分式：
$=\frac{1}{x+8y}$
将$x=-1,y=2$代入最简分式计算：
$\frac{1}{-1 + 8×2}=\frac{1}{15}$
【答案】
$\frac{1}{15}$
【知识点】
分式的加减运算、平方差公式因式分解、分式化简求值
【点评】
本题属于分式运算的常规题型，核心考察先化简再求值的运算思路，能有效降低计算量，解题时需注意准确识别最简公分母，约分前要确认公因式不为0，避免出现运算失误。
【难度系数】
0.75
本题是分式化简求值类题目，直接代入数值计算复杂度高，所以优先选择先化简再求值的思路。首先观察到第一个分式的分母是平方差形式，可先利用因式分解拆分分母，找到两个分式的最简公分母，再通过通分把异分母分式减法转化为同分母分式减法，计算后约分得到最简分式，最后代入数值计算即可，能有效减少计算错误。
【解析】
解：第一步先对第一个分式的分母因式分解，由平方差公式可得：
$x^2 - 64y^2=(x-8y)(x+8y)$
代入原式得：
$\mathrm{原式}=\frac{2x}{(x-8y)(x+8y)} - \frac{1}{x-8y}$
取最简公分母为$(x-8y)(x+8y)$，对第二个分式通分：
$=\frac{2x}{(x-8y)(x+8y)} - \frac{x+8y}{(x-8y)(x+8y)}$
同分母分式相减，分母不变，分子相减：
$=\frac{2x - (x+8y)}{(x-8y)(x+8y)}$
化简分子：$2x -x -8y=x-8y$，代入得：
$=\frac{x-8y}{(x-8y)(x+8y)}$
代入$x=-1,y=2$验证，$x-8y=-1-16=-17≠0$，可约去公因式$x-8y$，得最简分式：
$=\frac{1}{x+8y}$
将$x=-1,y=2$代入最简分式计算：
$\frac{1}{-1 + 8×2}=\frac{1}{15}$
【答案】
$\frac{1}{15}$
【知识点】
分式的加减运算、平方差公式因式分解、分式化简求值
【点评】
本题属于分式运算的常规题型，核心考察先化简再求值的运算思路，能有效降低计算量，解题时需注意准确识别最简公分母，约分前要确认公因式不为0，避免出现运算失误。
【难度系数】
0.75
