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1. 下列式子:①$\frac{x-1}{2}=1$;②$\frac{x}{x-2}=\frac{x+2}{3x-1}$;③$\frac{2}{3x}+\frac{1}{2x}$;④$\frac{x^2}{x}=8$;⑤$\frac{x}{π -1}=1$;⑥$\frac{x}{a}-2=x(a≠0)$.其中,是关于$x$的分式方程有 (
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1.B
解析
【分析】
要判断哪些是关于x的分式方程，首先明确分式方程的两个判定标准：1. 是含有未知数的等式（即属于方程）；2. 原式的分母中含有未知数x。注意π是固定不变的常数，a是题目给定的常数（a≠0），且判断时看原式的形式，不要化简后再判断。接下来我们逐个分析6个式子：
1. 先排除不是方程的式子：③是代数式，没有等号，不属于方程，直接排除。
2. 再判断剩余方程的分母是否含x：
①分母是2（常数），不含x，是整式方程；
②分母是x-2和3x-1，都含x，符合分式方程要求；
④原式分母是x，含x，虽然化简后是整式形式，但按原式判定属于分式方程；
⑤分母是π-1（常数），不含x，是整式方程；
⑥分母是a（常数），不含x，是整式方程。
最终统计符合要求的分式方程数量即可。
【解析】
根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程，逐一判断：
①$\frac{x-1}{2}=1$：分母为常数2，不含未知数x，是整式方程，不符合；
②$\frac{x}{x-2}=\frac{x+2}{3x-1}$：是等式，且分母含x，是分式方程，符合；
③$\frac{2}{3x}+\frac{1}{2x}$：是代数式，不是等式，不属于方程，不符合；
④$\frac{x^2}{x}=8$：是等式，原式分母含x，是分式方程，符合；
⑤$\frac{x}{π -1}=1$：π是常数，分母为常数，不含x，是整式方程，不符合；
⑥$\frac{x}{a}-2=x(a≠0)$：a是常数，分母为常数，不含x，是整式方程，不符合。
综上，符合要求的分式方程是②和④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的定义；方程的判定；常数的识别
【点评】
本题考查分式方程的基础判定，解题时要抓住两个核心要点：一是必须是含未知数的等式（即方程），二是原式的分母中必须含有题目指定的未知数，同时要注意区分圆周率π、给定参数等常数，避免误判。
【难度系数】
0.7
要判断哪些是关于x的分式方程，首先明确分式方程的两个判定标准：1. 是含有未知数的等式（即属于方程）；2. 原式的分母中含有未知数x。注意π是固定不变的常数，a是题目给定的常数（a≠0），且判断时看原式的形式，不要化简后再判断。接下来我们逐个分析6个式子：
1. 先排除不是方程的式子：③是代数式，没有等号，不属于方程，直接排除。
2. 再判断剩余方程的分母是否含x：
①分母是2（常数），不含x，是整式方程；
②分母是x-2和3x-1，都含x，符合分式方程要求；
④原式分母是x，含x，虽然化简后是整式形式，但按原式判定属于分式方程；
⑤分母是π-1（常数），不含x，是整式方程；
⑥分母是a（常数），不含x，是整式方程。
最终统计符合要求的分式方程数量即可。
【解析】
根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程，逐一判断：
①$\frac{x-1}{2}=1$：分母为常数2，不含未知数x，是整式方程，不符合；
②$\frac{x}{x-2}=\frac{x+2}{3x-1}$：是等式，且分母含x，是分式方程，符合；
③$\frac{2}{3x}+\frac{1}{2x}$：是代数式，不是等式，不属于方程，不符合；
④$\frac{x^2}{x}=8$：是等式，原式分母含x，是分式方程，符合；
⑤$\frac{x}{π -1}=1$：π是常数，分母为常数，不含x，是整式方程，不符合；
⑥$\frac{x}{a}-2=x(a≠0)$：a是常数，分母为常数，不含x，是整式方程，不符合。
综上，符合要求的分式方程是②和④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的定义；方程的判定；常数的识别
【点评】
本题考查分式方程的基础判定，解题时要抓住两个核心要点：一是必须是含未知数的等式（即方程），二是原式的分母中必须含有题目指定的未知数，同时要注意区分圆周率π、给定参数等常数，避免误判。
【难度系数】
0.7
2.分式方程$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x^2+x}=1$去分母应乘的最简公分母是 （
A.$x+1$
B.$x^2$
C.$x(x+1)$
D.$x(x+1)^2$
C
）A.$x+1$
B.$x^2$
C.$x(x+1)$
D.$x(x+1)^2$
答案
2.C
解析
【分析】
要确定分式方程去分母时应乘的最简公分母，需先将方程中所有分式的分母因式分解，再取各分母所有不同因式的最高次幂的乘积，即为最简公分母。首先观察两个分式的分母，分别是$x+1$和$x^2+x$，先对次数更高的分母因式分解，再找出所有出现的不同因式，取最高次幂相乘即可得到结果。
【解析】
首先整理两个分式的分母并因式分解：
1. 第一个分式的分母为$x+1$，属于最简因式，无需额外分解；
2. 第二个分式的分母为$x^2+x$，提取公因式$x$后可得$x^2+x=x(x+1)$。
根据最简公分母的确定规则：取各分母所有不同因式的最高次幂的乘积，本题中出现的因式为$x$（次数为1）、$x+1$（次数为1），因此最简公分母为$x×(x+1)=x(x+1)$，即去分母应乘的最简公分母是$x(x+1)$。
【答案】
C
【知识点】
因式分解；最简公分母的确定
【点评】
本题属于基础题，核心考查最简公分母的确定方法，解题关键是先将所有分母因式分解后再按规则选取，避免多乘或漏乘因式。
【难度系数】
0.9
要确定分式方程去分母时应乘的最简公分母，需先将方程中所有分式的分母因式分解，再取各分母所有不同因式的最高次幂的乘积，即为最简公分母。首先观察两个分式的分母，分别是$x+1$和$x^2+x$，先对次数更高的分母因式分解，再找出所有出现的不同因式，取最高次幂相乘即可得到结果。
【解析】
首先整理两个分式的分母并因式分解：
1. 第一个分式的分母为$x+1$，属于最简因式，无需额外分解；
2. 第二个分式的分母为$x^2+x$，提取公因式$x$后可得$x^2+x=x(x+1)$。
根据最简公分母的确定规则：取各分母所有不同因式的最高次幂的乘积，本题中出现的因式为$x$（次数为1）、$x+1$（次数为1），因此最简公分母为$x×(x+1)=x(x+1)$，即去分母应乘的最简公分母是$x(x+1)$。
【答案】
C
【知识点】
因式分解；最简公分母的确定
【点评】
本题属于基础题，核心考查最简公分母的确定方法，解题关键是先将所有分母因式分解后再按规则选取，避免多乘或漏乘因式。
【难度系数】
0.9
3.解分式方程$\frac{2}{x-1}+\frac{x-2}{1-x}=3$时，去分母后变形为（
A.$2-(x+2)=3(x-1)$
B.$2-(x+2)=3(1-x)$
C.$2-x+2=3(x-1)$
D.$2+(x+2)=3(x-1)$
C
）A.$2-(x+2)=3(x-1)$
B.$2-(x+2)=3(1-x)$
C.$2-x+2=3(x-1)$
D.$2+(x+2)=3(x-1)$
答案
3.C
解析
【分析】
解这道题首先要明确分式方程去分母的步骤：第一步找最简公分母，观察两个分母分别是$x-1$和$1-x$，二者互为相反数，因此最简公分母为$x-1$；第二步方程两边同时乘以最简公分母，注意每一项都要乘（包括常数项），同时要注意分母为$1-x$的项乘以$x-1$时的符号变化；第三步对去分母后的式子去括号，再匹配选项即可。
【解析】
1. 整理分母：$1-x=-(x-1)$，原方程两个分母互为相反数，最简公分母为$x-1$。
2. 方程两边同时乘以$x-1$去分母（隐含条件$x≠1$），每一项都要乘公分母：
左边第一项：$\frac{2}{x-1}×(x-1)=2$
左边第二项：$\frac{x-2}{1-x}×(x-1)=\frac{x-2}{-(x-1)}×(x-1)=-(x-2)$
右边常数项：$3×(x-1)$
3. 去括号化简：括号前是负号，括号内各项要变号，因此$2-(x-2)=2-x+2$，最终去分母后变形为$2-x+2=3(x-1)$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式方程去分母；去括号法则；符号变换规则
【点评】
本题是分式方程去分母的基础题型，易错点在于处理互为相反数的分母时容易搞错符号，以及去括号时忘记变号，解题时牢记去分母要乘遍所有项、去括号注意符号规则即可规避错误。
【难度系数】
0.7
解这道题首先要明确分式方程去分母的步骤：第一步找最简公分母，观察两个分母分别是$x-1$和$1-x$，二者互为相反数，因此最简公分母为$x-1$；第二步方程两边同时乘以最简公分母，注意每一项都要乘（包括常数项），同时要注意分母为$1-x$的项乘以$x-1$时的符号变化；第三步对去分母后的式子去括号，再匹配选项即可。
【解析】
1. 整理分母：$1-x=-(x-1)$，原方程两个分母互为相反数，最简公分母为$x-1$。
2. 方程两边同时乘以$x-1$去分母（隐含条件$x≠1$），每一项都要乘公分母：
左边第一项：$\frac{2}{x-1}×(x-1)=2$
左边第二项：$\frac{x-2}{1-x}×(x-1)=\frac{x-2}{-(x-1)}×(x-1)=-(x-2)$
右边常数项：$3×(x-1)$
3. 去括号化简：括号前是负号，括号内各项要变号，因此$2-(x-2)=2-x+2$，最终去分母后变形为$2-x+2=3(x-1)$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式方程去分母；去括号法则；符号变换规则
【点评】
本题是分式方程去分母的基础题型，易错点在于处理互为相反数的分母时容易搞错符号，以及去括号时忘记变号，解题时牢记去分母要乘遍所有项、去括号注意符号规则即可规避错误。
【难度系数】
0.7
4.若分式$\frac{x}{x-1}$与$\frac{m}{1-x}$的值相等，则$m$的值不可能是（
A.$-3$
B.$0$
C.$-1$
D.$-2$
C
）A.$-3$
B.$0$
C.$-1$
D.$-2$
答案
4.C
解析
【分析】
解题时首先根据题意列出两个分式相等的等式，首先要明确分式有意义的前提是分母不为0，即$x≠1$；再利用分式的基本性质去分母，将分式方程转化为整式方程求出$x$与$m$的关系，最后结合$x≠1$的限制条件，推出$m$的取值限制，即可得到$m$不可能取的值。
【解析】
根据题意得：$\frac{x}{x-1}=\frac{m}{1-x}$
首先，分式有意义的条件为分母不为0，即$x-1≠0$，解得$x≠1$。
对等式变形，右边分母$1-x=-(x-1)$，等式两边同时乘以$(x-1)$（$x≠1$，此时乘的式子不为0，等式成立），得：
$x = -m$
结合$x≠1$的限制，可得$-m≠1$，即$m≠-1$。
因此$m$的值不可能是-1。
【答案】
C
【知识点】
分式有意义的条件、解分式方程、分式的基本性质
【点评】
本题的易错点是容易忽略分式分母不能为0的限制，直接求解整式方程后未验证取值是否符合分式有意义的要求，解题时要先确定分式的定义域，再进行运算求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据题意列出两个分式相等的等式，首先要明确分式有意义的前提是分母不为0，即$x≠1$；再利用分式的基本性质去分母，将分式方程转化为整式方程求出$x$与$m$的关系，最后结合$x≠1$的限制条件，推出$m$的取值限制，即可得到$m$不可能取的值。
【解析】
根据题意得：$\frac{x}{x-1}=\frac{m}{1-x}$
首先，分式有意义的条件为分母不为0，即$x-1≠0$，解得$x≠1$。
对等式变形，右边分母$1-x=-(x-1)$，等式两边同时乘以$(x-1)$（$x≠1$，此时乘的式子不为0，等式成立），得：
$x = -m$
结合$x≠1$的限制，可得$-m≠1$，即$m≠-1$。
因此$m$的值不可能是-1。
【答案】
C
【知识点】
分式有意义的条件、解分式方程、分式的基本性质
【点评】
本题的易错点是容易忽略分式分母不能为0的限制，直接求解整式方程后未验证取值是否符合分式有意义的要求，解题时要先确定分式的定义域，再进行运算求解。
【难度系数】
0.7
5. 关于$x$的方程$\dfrac{x-2}{x} -1 = \dfrac{3}{x-2}$的解为
$x=\frac{4}{5}$
。答案
5.$x=\frac{4}{5}$
解析
【分析】
本题是分式方程求解问题，解题思路遵循分式方程的常规求解步骤：①确定分母不为0的取值范围，排除增根出现的前提；②找到各分母的最简公分母，方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程；③解得到的整式方程；④将求得的解代入最简公分母检验，若最简公分母不为0，则为原方程的解，若为0则是增根，需要舍去。
【解析】
要使原分式方程有意义，则分母不为0，即$x≠0$且$x≠2$。
方程两边同时乘最简公分母$x(x-2)$，消去分母得：
$(x-2)^2 - x(x-2) = 3x$
展开并整理左边：
$x^2 -4x +4 -x^2 +2x = 3x$
合并同类项得：
$-2x +4 = 3x$
移项、合并同类项得：
$5x=4$
系数化为1得：
$x=\frac{4}{5}$
检验：将$x=\frac{4}{5}$代入$x(x-2)$，得$\frac{4}{5}×(\frac{4}{5}-2)=\frac{4}{5}×(-\frac{6}{5})=-\frac{24}{25}≠0$，因此$x=\frac{4}{5}$是原分式方程的解。
【答案】
$x=\frac{4}{5}$
【知识点】
1.分式方程的解法
2.分式方程的验根
3.整式方程求解
【点评】
本题属于分式方程求解的基础题型，重点考查分式方程转化为整式方程的化归思想，解题时要注意去分母时不要漏乘不含分母的项，解完后必须验根，避免因增根导致结果错误。
【难度系数】
0.7
本题是分式方程求解问题，解题思路遵循分式方程的常规求解步骤：①确定分母不为0的取值范围，排除增根出现的前提；②找到各分母的最简公分母，方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程；③解得到的整式方程；④将求得的解代入最简公分母检验，若最简公分母不为0，则为原方程的解，若为0则是增根，需要舍去。
【解析】
要使原分式方程有意义，则分母不为0，即$x≠0$且$x≠2$。
方程两边同时乘最简公分母$x(x-2)$，消去分母得：
$(x-2)^2 - x(x-2) = 3x$
展开并整理左边：
$x^2 -4x +4 -x^2 +2x = 3x$
合并同类项得：
$-2x +4 = 3x$
移项、合并同类项得：
$5x=4$
系数化为1得：
$x=\frac{4}{5}$
检验：将$x=\frac{4}{5}$代入$x(x-2)$，得$\frac{4}{5}×(\frac{4}{5}-2)=\frac{4}{5}×(-\frac{6}{5})=-\frac{24}{25}≠0$，因此$x=\frac{4}{5}$是原分式方程的解。
【答案】
$x=\frac{4}{5}$
【知识点】
1.分式方程的解法
2.分式方程的验根
3.整式方程求解
【点评】
本题属于分式方程求解的基础题型，重点考查分式方程转化为整式方程的化归思想，解题时要注意去分母时不要漏乘不含分母的项，解完后必须验根，避免因增根导致结果错误。
【难度系数】
0.7
6.按照如图所示的程序计算，若输出y的值是2，则输入x的值是
1
。答案
6.1
解析
【分析】
本题是根据程序框图求输入值的问题，已知输出y=2，需分两种情况讨论求解：①当输入的x满足x＞0时，代入对应解析式$y=\frac{1}{x}+1$列方程求解，解出后验证是否符合x＞0的条件；②当输入的x满足x≤0时，代入对应解析式y=2x-1列方程求解，解出后验证是否符合x≤0的条件，舍去不符合条件的解，最终得到正确的输入值。
【解析】
已知输出y=2，分两种情况计算：
1. 当x＞0时，代入解析式$y=\frac{1}{x}+1$，得：
$\frac{1}{x}+1=2$
移项计算得$\frac{1}{x}=1$，解得$x=1$。
检验：$x=1＞0$，符合该情况的取值要求，是有效解。
2. 当x≤0时，代入解析式$y=2x-1$，得：
$2x-1=2$
移项计算得$2x=3$，解得$x=\frac{3}{2}=1.5$。
检验：$x=1.5＞0$，不符合x≤0的取值要求，故舍去该解。
综上，输入x的值为1。
【答案】
1
【知识点】
分段函数求值；解分式方程；解的合理性检验
【点评】
本题核心是依据程序的分段规则分类讨论解方程，解题时要注意求出的解必须满足对应分段的取值范围，避免忽略检验步骤得到错误解。
【难度系数】
0.7
本题是根据程序框图求输入值的问题，已知输出y=2，需分两种情况讨论求解：①当输入的x满足x＞0时，代入对应解析式$y=\frac{1}{x}+1$列方程求解，解出后验证是否符合x＞0的条件；②当输入的x满足x≤0时，代入对应解析式y=2x-1列方程求解，解出后验证是否符合x≤0的条件，舍去不符合条件的解，最终得到正确的输入值。
【解析】
已知输出y=2，分两种情况计算：
1. 当x＞0时，代入解析式$y=\frac{1}{x}+1$，得：
$\frac{1}{x}+1=2$
移项计算得$\frac{1}{x}=1$，解得$x=1$。
检验：$x=1＞0$，符合该情况的取值要求，是有效解。
2. 当x≤0时，代入解析式$y=2x-1$，得：
$2x-1=2$
移项计算得$2x=3$，解得$x=\frac{3}{2}=1.5$。
检验：$x=1.5＞0$，不符合x≤0的取值要求，故舍去该解。
综上，输入x的值为1。
【答案】
1
【知识点】
分段函数求值；解分式方程；解的合理性检验
【点评】
本题核心是依据程序的分段规则分类讨论解方程，解题时要注意求出的解必须满足对应分段的取值范围，避免忽略检验步骤得到错误解。
【难度系数】
0.7
