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13.若$△ ABC$的周长是24 cm，$a,b,c$为$△ ABC$的三边长，$c+a=2b$，$c-a=4$ cm，求$a,b,c$.
答案
13. a=6,b=8,c=10
解析
【分析】
解题时首先梳理已知条件：我们需要求三个未知边长a、b、c，题干共给出3个等量关系：①三角形周长为24cm，即三边长之和为24；②$c+a=2b$；③$c-a=4cm$。首先可以将第二个等量关系代入周长公式，消去a和c先求出b的值，再将b的值代入第二个式子，和第三个式子联立成关于a、c的二元一次方程组，通过加减消元即可依次求出c和a的值，最后验证结果符合所有条件即可。
【解析】
解：根据三角形周长的定义可得：
$a + b + c = 24\ \mathrm{cm}$ ①
已知$c + a = 2b$ ②，$c - a = 4\ \mathrm{cm}$ ③
将②代入①得：$2b + b = 24$
合并同类项得：$3b = 24$
解得：$b = 8\ \mathrm{cm}$
把$b=8$代入②得：$c + a = 2×8 = 16\ \mathrm{cm}$ ④
联立③和④组成方程组：$\begin{cases}c + a = 16 \\ c - a = 4\end{cases}$
用③+④得：$2c = 20$，解得$c = 10\ \mathrm{cm}$
把$c=10$代入③得：$10 - a = 4$，解得$a = 6\ \mathrm{cm}$
验证：$6+8+10=24$，$6+10=2×8$，$10-6=4$，均符合已知条件。
【答案】
$a=6\ \mathrm{cm},b=8\ \mathrm{cm},c=10\ \mathrm{cm}$
【知识点】
1. 三角形周长定义
2. 二元一次方程组求解
3. 等式的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心是通过题干给出的多个等量关系，用代入消元、加减消元法求解未知量，计算完成后可反向核对结果是否匹配所有已知条件，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
解题时首先梳理已知条件：我们需要求三个未知边长a、b、c，题干共给出3个等量关系：①三角形周长为24cm，即三边长之和为24；②$c+a=2b$；③$c-a=4cm$。首先可以将第二个等量关系代入周长公式，消去a和c先求出b的值，再将b的值代入第二个式子，和第三个式子联立成关于a、c的二元一次方程组，通过加减消元即可依次求出c和a的值，最后验证结果符合所有条件即可。
【解析】
解：根据三角形周长的定义可得：
$a + b + c = 24\ \mathrm{cm}$ ①
已知$c + a = 2b$ ②，$c - a = 4\ \mathrm{cm}$ ③
将②代入①得：$2b + b = 24$
合并同类项得：$3b = 24$
解得：$b = 8\ \mathrm{cm}$
把$b=8$代入②得：$c + a = 2×8 = 16\ \mathrm{cm}$ ④
联立③和④组成方程组：$\begin{cases}c + a = 16 \\ c - a = 4\end{cases}$
用③+④得：$2c = 20$，解得$c = 10\ \mathrm{cm}$
把$c=10$代入③得：$10 - a = 4$，解得$a = 6\ \mathrm{cm}$
验证：$6+8+10=24$，$6+10=2×8$，$10-6=4$，均符合已知条件。
【答案】
$a=6\ \mathrm{cm},b=8\ \mathrm{cm},c=10\ \mathrm{cm}$
【知识点】
1. 三角形周长定义
2. 二元一次方程组求解
3. 等式的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心是通过题干给出的多个等量关系，用代入消元、加减消元法求解未知量，计算完成后可反向核对结果是否匹配所有已知条件，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
14.如图,按下列要求分别过A,B,C,D,E五个点中的三个点画三角形.
(1)在
中画出以AB为一边的三角形,可以画出
(2)在中画出以点C为顶点的三角形,可以画出
(1)在
中画出以AB为一边的三角形,可以画出3
个,它们分别为△ABC,△ABD,△ABE
;(2)在中画出以点C为顶点的三角形,可以画出
6
个.答案
14. (1)3,△ABC,△ABD,△ABE (2)6,作图略
解析
【分析】
（1）要解决以AB为一边的三角形个数问题，首先明确三角形需要三个不共线的顶点，已经确定A、B两个顶点，只需从剩余的C、D、E三个点中选择第三个顶点即可，这三个点均与AB不共线，直接枚举就能得出结果。
（2）要解决以C为顶点的三角形个数问题，确定顶点C后，需从剩余的A、B、D、E四个点中任选两个不共线的点与C搭配，按顺序枚举即可，注意不要重复、不要遗漏。
【解析】
(1) 以AB为边时，第三个顶点可选择C、D、E，共3种选择，对应得到的三角形分别为△ABC、△ABD、△ABE，总计3个。
(2) 以C为顶点时，另外两个顶点的组合有：AB、AD、AE、BD、BE、DE，共6种组合，每种组合都能和C构成符合要求的三角形，因此总计6个。
【答案】
(1)3，△ABC、△ABD、△ABE；(2)6
【知识点】
三角形的概念、有序枚举计数
【点评】
本题属于三角形的基础应用题，核心考查对三角形构成条件的理解，解题时只要按照要求有序枚举，就能避免重复或遗漏，轻松得到结果。
【难度系数】
0.8
（1）要解决以AB为一边的三角形个数问题，首先明确三角形需要三个不共线的顶点，已经确定A、B两个顶点，只需从剩余的C、D、E三个点中选择第三个顶点即可，这三个点均与AB不共线，直接枚举就能得出结果。
（2）要解决以C为顶点的三角形个数问题，确定顶点C后，需从剩余的A、B、D、E四个点中任选两个不共线的点与C搭配，按顺序枚举即可，注意不要重复、不要遗漏。
【解析】
(1) 以AB为边时，第三个顶点可选择C、D、E，共3种选择，对应得到的三角形分别为△ABC、△ABD、△ABE，总计3个。
(2) 以C为顶点时，另外两个顶点的组合有：AB、AD、AE、BD、BE、DE，共6种组合，每种组合都能和C构成符合要求的三角形，因此总计6个。
【答案】
(1)3，△ABC、△ABD、△ABE；(2)6
【知识点】
三角形的概念、有序枚举计数
【点评】
本题属于三角形的基础应用题，核心考查对三角形构成条件的理解，解题时只要按照要求有序枚举，就能避免重复或遗漏，轻松得到结果。
【难度系数】
0.8
15. 如图,在$△ ABC$中,$A_1,A_2,A_3,\dots,A_n$为边AC上不同的n个点,首先连接$BA_1$,图中出现了3个不同的三角形,再连接$BA_2$,图中便有6个不同的三角形……
(1)完成下表:
| 连接AC上点的个数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 出现三角形的个数 | 3 | 6 |
| | | | … |
(2)若一直连接到$A_n$,则图中共有多少个三角形?
(1)完成下表:
| 连接AC上点的个数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 出现三角形的个数 | 3 | 6 |
| | | | … |(2)若一直连接到$A_n$,则图中共有多少个三角形?
答案
15. (1)10,15,21,28 (2)$\frac{1}{2}(n+1)(n+2)$
解析
【分析】
要计算图中三角形的个数，首先观察到所有三角形都以B为公共顶点，另外两个顶点都在AC边上，因此三角形的个数与AC边上的线段总条数完全相等。我们可以将三角形计数问题转化为AC边上的线段计数问题：当AC边上有m个点时，线段总条数为从1加到(m-1)的和，按这个规律就可以计算不同连接点数对应的三角形个数，再推导到n个点的通用公式。
【解析】
(1) 我们先验证已知规律，再推导未知数值：
当连接AC上1个点时，AC边共有点数为$2+1=3$个，线段总数为$2+1=3$，对应三角形个数3，符合题意；
当连接AC上2个点时，AC边共有点数为$2+2=4$个，线段总数为$3+2+1=6$，对应三角形个数6，符合题意；
① 连接3个点时，AC边共有点数为$2+3=5$个，线段总数为$4+3+2+1=10$，即三角形个数为10；
② 连接4个点时，AC边共有点数为$2+4=6$个，线段总数为$5+4+3+2+1=15$，即三角形个数为15；
③ 连接5个点时，AC边共有点数为$2+5=7$个，线段总数为$6+5+4+3+2+1=21$，即三角形个数为21；
④ 连接6个点时，AC边共有点数为$2+6=8$个，线段总数为$7+6+5+4+3+2+1=28$，即三角形个数为28。
(2) 若连接到$A_n$，即AC上共连接了n个点，此时AC边总点数为$n+2$个，线段总条数为从1加到$(n+1)$的和，用等差数列求和公式计算：
$S=1+2+3+\dots+(n+1)=\frac{(1+n+1)×(n+1)}{2}=\frac{1}{2}(n+1)(n+2)$
即三角形总个数为$\frac{1}{2}(n+1)(n+2)$。
【答案】
(1) 依次填：10，15，21，28
(2) $\frac{1}{2}(n+1)(n+2)$
【知识点】
三角形的定义，图形计数规律，等差数列求和
【点评】
本题通过将三角形计数转化为线段计数简化了问题难度，核心是找到计数的共同规律，避免重复计数和漏算，考查了观察归纳能力和转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
要计算图中三角形的个数，首先观察到所有三角形都以B为公共顶点，另外两个顶点都在AC边上，因此三角形的个数与AC边上的线段总条数完全相等。我们可以将三角形计数问题转化为AC边上的线段计数问题：当AC边上有m个点时，线段总条数为从1加到(m-1)的和，按这个规律就可以计算不同连接点数对应的三角形个数，再推导到n个点的通用公式。
【解析】
(1) 我们先验证已知规律，再推导未知数值：
当连接AC上1个点时，AC边共有点数为$2+1=3$个，线段总数为$2+1=3$，对应三角形个数3，符合题意；
当连接AC上2个点时，AC边共有点数为$2+2=4$个，线段总数为$3+2+1=6$，对应三角形个数6，符合题意；
① 连接3个点时，AC边共有点数为$2+3=5$个，线段总数为$4+3+2+1=10$，即三角形个数为10；
② 连接4个点时，AC边共有点数为$2+4=6$个，线段总数为$5+4+3+2+1=15$，即三角形个数为15；
③ 连接5个点时，AC边共有点数为$2+5=7$个，线段总数为$6+5+4+3+2+1=21$，即三角形个数为21；
④ 连接6个点时，AC边共有点数为$2+6=8$个，线段总数为$7+6+5+4+3+2+1=28$，即三角形个数为28。
(2) 若连接到$A_n$，即AC上共连接了n个点，此时AC边总点数为$n+2$个，线段总条数为从1加到$(n+1)$的和，用等差数列求和公式计算：
$S=1+2+3+\dots+(n+1)=\frac{(1+n+1)×(n+1)}{2}=\frac{1}{2}(n+1)(n+2)$
即三角形总个数为$\frac{1}{2}(n+1)(n+2)$。
【答案】
(1) 依次填：10，15，21，28
(2) $\frac{1}{2}(n+1)(n+2)$
【知识点】
三角形的定义，图形计数规律，等差数列求和
【点评】
本题通过将三角形计数转化为线段计数简化了问题难度，核心是找到计数的共同规律，避免重复计数和漏算，考查了观察归纳能力和转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
