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1. 下列运算正确的是 （$\boldsymbol{}$）
A.$\sqrt{3}+\sqrt{3}=3$
B.$4\sqrt{5}-\sqrt{5}=4$
C.$\sqrt{3}×\sqrt{2}=\sqrt{6}$
D.$\sqrt{32}÷\sqrt{8}=4$
A.$\sqrt{3}+\sqrt{3}=3$
B.$4\sqrt{5}-\sqrt{5}=4$
C.$\sqrt{3}×\sqrt{2}=\sqrt{6}$
D.$\sqrt{32}÷\sqrt{8}=4$
答案
1.C
解析
【分析】
本题考查二次根式的四则运算，解题思路是分别根据二次根式的加减、乘除运算法则，逐一计算每个选项的结果，再和选项给出的结果对比判断正误即可。二次根式加减运算的核心是合并同类二次根式，仅把系数相加减，被开方数保持不变；乘除运算则是被开方数分别相乘除，根指数不变，最后化简得到结果。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\sqrt{3}+\sqrt{3}=(1+1)\sqrt{3}=2\sqrt{3}≠3$，故A错误；
B选项：$4\sqrt{5}-\sqrt{5}=(4-1)\sqrt{5}=3\sqrt{5}≠4$，故B错误；
C选项：根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，可得$\sqrt{3}×\sqrt{2}=\sqrt{3×2}=\sqrt{6}$，故C正确；
D选项：根据二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$，可得$\sqrt{32}÷\sqrt{8}=\sqrt{32÷8}=\sqrt{4}=2≠4$，故D错误。
综上，运算正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的加减运算；二次根式的乘除运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对二次根式四则运算法则的掌握程度，解题时只需熟记法则逐个排查选项即可，易错点是进行加减运算时错误省略被开方数，或是乘除运算后未正确化简结果。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的四则运算，解题思路是分别根据二次根式的加减、乘除运算法则，逐一计算每个选项的结果，再和选项给出的结果对比判断正误即可。二次根式加减运算的核心是合并同类二次根式，仅把系数相加减，被开方数保持不变；乘除运算则是被开方数分别相乘除，根指数不变，最后化简得到结果。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\sqrt{3}+\sqrt{3}=(1+1)\sqrt{3}=2\sqrt{3}≠3$，故A错误；
B选项：$4\sqrt{5}-\sqrt{5}=(4-1)\sqrt{5}=3\sqrt{5}≠4$，故B错误；
C选项：根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，可得$\sqrt{3}×\sqrt{2}=\sqrt{3×2}=\sqrt{6}$，故C正确；
D选项：根据二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$，可得$\sqrt{32}÷\sqrt{8}=\sqrt{32÷8}=\sqrt{4}=2≠4$，故D错误。
综上，运算正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的加减运算；二次根式的乘除运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对二次根式四则运算法则的掌握程度，解题时只需熟记法则逐个排查选项即可，易错点是进行加减运算时错误省略被开方数，或是乘除运算后未正确化简结果。
【难度系数】
0.8
2. 计算$\sqrt{14} × \sqrt{7} - \sqrt{2}$的结果是 （
A.7
B.$6\sqrt{2}$
C.$7\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{7}$
B
）A.7
B.$6\sqrt{2}$
C.$7\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{7}$
答案
2.B
解析
【分析】
本题属于二次根式的混合运算题，解题遵循先乘除后加减的运算顺序：第一步先根据二次根式的乘法法则计算乘法部分，第二步将得到的结果化为最简二次根式，第三步合并同类二次根式即可得到最终结果。
【解析】
按照运算顺序先计算乘法，再计算减法：
1. 计算二次根式乘法：根据二次根式乘法法则$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab} \ (a≥0,b≥0)$，可得$\sqrt{14} × \sqrt{7} = \sqrt{14 × 7} = \sqrt{98}$；
2. 化简二次根式：$\sqrt{98} = \sqrt{49 × 2} = \sqrt{49} × \sqrt{2} = 7\sqrt{2}$；
3. 合并同类二次根式：$7\sqrt{2} - \sqrt{2} = (7-1)\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$。
因此选B选项。
【答案】
B
【知识点】
二次根式乘法法则，二次根式化简，同类二次根式合并
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，重点考查二次根式的运算法则，解题时需注意遵循运算顺序，只有同类二次根式才能进行加减合并。
【难度系数】
0.8
本题属于二次根式的混合运算题，解题遵循先乘除后加减的运算顺序：第一步先根据二次根式的乘法法则计算乘法部分，第二步将得到的结果化为最简二次根式，第三步合并同类二次根式即可得到最终结果。
【解析】
按照运算顺序先计算乘法，再计算减法：
1. 计算二次根式乘法：根据二次根式乘法法则$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab} \ (a≥0,b≥0)$，可得$\sqrt{14} × \sqrt{7} = \sqrt{14 × 7} = \sqrt{98}$；
2. 化简二次根式：$\sqrt{98} = \sqrt{49 × 2} = \sqrt{49} × \sqrt{2} = 7\sqrt{2}$；
3. 合并同类二次根式：$7\sqrt{2} - \sqrt{2} = (7-1)\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$。
因此选B选项。
【答案】
B
【知识点】
二次根式乘法法则，二次根式化简，同类二次根式合并
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，重点考查二次根式的运算法则，解题时需注意遵循运算顺序，只有同类二次根式才能进行加减合并。
【难度系数】
0.8
3. (1)计算$\sqrt{12}+\sqrt{6}×\sqrt{\frac{1}{2}}$时，先算
原式=
(2)计算$(\sqrt{18}-\sqrt{8})×\sqrt{2}$时，先算
乘
法，再算加
法，过程如下：原式=
$2\sqrt{3}$
+$\sqrt{3}$
=$3\sqrt{3}$
；(2)计算$(\sqrt{18}-\sqrt{8})×\sqrt{2}$时，先算
括号
里面的，再算乘
法；也可利用分配
律，先算乘
法，再算减
法，结果是2
。答案
3. (1)乘 加 $2\sqrt{3}$ $\sqrt{3}$ $3\sqrt{3}$
(2)括号 乘 分配 乘 减 2
(2)括号 乘 分配 乘 减 2
解析
【分析】
二次根式混合运算顺序和有理数混合运算顺序一致，先算乘除，后算加减，有括号优先算括号内的内容，同时有理数的运算律也适用于二次根式运算。对于(1)，式子包含乘法和加法，遵循先乘后加的顺序，分别化简二次根式、计算乘法后合并同类二次根式即可；对于(2)，有括号的运算既可以先化简括号内的二次根式再算乘法，也可以利用乘法分配律简化计算，两种方法都能得到最终结果。
【解析】
(1) 按照运算顺序先算乘法，再算加法：
化简$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，
计算乘法$\sqrt{6}×\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{6×\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$，
相加得$2\sqrt{3}+\sqrt{3}=3\sqrt{3}$。
(2) 解法1：先算括号内的内容，再算乘法：
括号内化简$\sqrt{18}-\sqrt{8}=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}$，
再算乘法$\sqrt{2}×\sqrt{2}=2$。
解法2：利用乘法分配律，先算乘法再算减法：
原式$=\sqrt{18}×\sqrt{2}-\sqrt{8}×\sqrt{2}=\sqrt{36}-\sqrt{16}=6-4=2$。
【答案】
(1)乘；加；$2\sqrt{3}$；$\sqrt{3}$；$3\sqrt{3}$
(2)括号；乘；分配；乘；减；2
【知识点】
二次根式运算顺序、二次根式化简、乘法分配律应用
【点评】
本题属于二次根式混合运算的基础题，重点考查运算顺序和运算律的灵活使用，熟练掌握二次根式的化简方法是解题的关键，这类运算能力是解决更复杂代数运算的基础。
【难度系数】
0.8
二次根式混合运算顺序和有理数混合运算顺序一致，先算乘除，后算加减，有括号优先算括号内的内容，同时有理数的运算律也适用于二次根式运算。对于(1)，式子包含乘法和加法，遵循先乘后加的顺序，分别化简二次根式、计算乘法后合并同类二次根式即可；对于(2)，有括号的运算既可以先化简括号内的二次根式再算乘法，也可以利用乘法分配律简化计算，两种方法都能得到最终结果。
【解析】
(1) 按照运算顺序先算乘法，再算加法：
化简$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，
计算乘法$\sqrt{6}×\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{6×\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$，
相加得$2\sqrt{3}+\sqrt{3}=3\sqrt{3}$。
(2) 解法1：先算括号内的内容，再算乘法：
括号内化简$\sqrt{18}-\sqrt{8}=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}$，
再算乘法$\sqrt{2}×\sqrt{2}=2$。
解法2：利用乘法分配律，先算乘法再算减法：
原式$=\sqrt{18}×\sqrt{2}-\sqrt{8}×\sqrt{2}=\sqrt{36}-\sqrt{16}=6-4=2$。
【答案】
(1)乘；加；$2\sqrt{3}$；$\sqrt{3}$；$3\sqrt{3}$
(2)括号；乘；分配；乘；减；2
【知识点】
二次根式运算顺序、二次根式化简、乘法分配律应用
【点评】
本题属于二次根式混合运算的基础题，重点考查运算顺序和运算律的灵活使用，熟练掌握二次根式的化简方法是解题的关键，这类运算能力是解决更复杂代数运算的基础。
【难度系数】
0.8
4. 计算:
(1) $\sqrt{6} × \sqrt{3} - \sqrt{8}$；
(2) $(\sqrt{2} + 3)(\sqrt{2} + 2)$；
(3) $\sqrt{18} - \sqrt{\frac{1}{2}} ÷ \sqrt{\frac{4}{3}} × \frac{6}{\sqrt{3}}$。
(1) $\sqrt{6} × \sqrt{3} - \sqrt{8}$；
(2) $(\sqrt{2} + 3)(\sqrt{2} + 2)$；
(3) $\sqrt{18} - \sqrt{\frac{1}{2}} ÷ \sqrt{\frac{4}{3}} × \frac{6}{\sqrt{3}}$。
答案
4. (1)解:原式$=3 \sqrt{2}-2 \sqrt{2}=\sqrt{2}.$
(2)解:原式$=2+3 \sqrt{2}+2 \sqrt{2}+6=8+5 \sqrt{2}.$
(3)解:原式$=3 \sqrt{2}-\sqrt{\frac{1}{2}}×\sqrt{\frac{3}{4}}×\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}.$
(2)解:原式$=2+3 \sqrt{2}+2 \sqrt{2}+6=8+5 \sqrt{2}.$
(3)解:原式$=3 \sqrt{2}-\sqrt{\frac{1}{2}}×\sqrt{\frac{3}{4}}×\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}.$
解析
【分析】
本题考查二次根式的混合运算，解题遵循“先乘除、后加减，有括号先算括号内”的运算顺序，结合对应规则逐步求解即可：
(1) 先计算二次根式乘法，再将所有二次根式化为最简二次根式，最后合并同类二次根式；
(2) 按照整式多项式乘多项式的展开法则，逐项相乘展开后，合并同类项和同类二次根式；
(3) 先化简$\sqrt{18}$，再将除法转化为乘法，从左到右依次计算乘除部分，最后合并同类二次根式得到结果。
【解析】
(1) 先算乘法，再化简合并：
原式$=\sqrt{6×3}-\sqrt{8}=\sqrt{18}-2\sqrt{2}=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}$
(2) 按多项式乘法法则展开后合并：
原式$=\sqrt{2}×\sqrt{2}+\sqrt{2}×2+3×\sqrt{2}+3×2=2+2\sqrt{2}+3\sqrt{2}+6=8+5\sqrt{2}$
(3) 先算乘除，再化简合并：
原式$=3\sqrt{2}-\sqrt{\frac{1}{2}}×\sqrt{\frac{3}{4}}×\frac{6}{\sqrt{3}}$
计算乘除部分：$\sqrt{\frac{1}{2}×\frac{3}{4}}×\frac{6}{\sqrt{3}}=6×\sqrt{\frac{3}{8×3}}=6×\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$
因此原式$=3\sqrt{2}-\frac{3\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$
【答案】
(1) $\sqrt{2}$；(2) $8+5\sqrt{2}$；(3) $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
二次根式乘除运算，二次根式化简，多项式乘法运算
【点评】
本题是二次根式混合运算的基础题，运算规则与整式混合运算一致，解题时要注意运算顺序，熟练掌握二次根式化简、乘除的方法，避免因运算顺序错误或化简失误丢分。
【难度系数】
0.7
本题考查二次根式的混合运算，解题遵循“先乘除、后加减，有括号先算括号内”的运算顺序，结合对应规则逐步求解即可：
(1) 先计算二次根式乘法，再将所有二次根式化为最简二次根式，最后合并同类二次根式；
(2) 按照整式多项式乘多项式的展开法则，逐项相乘展开后，合并同类项和同类二次根式；
(3) 先化简$\sqrt{18}$，再将除法转化为乘法，从左到右依次计算乘除部分，最后合并同类二次根式得到结果。
【解析】
(1) 先算乘法，再化简合并：
原式$=\sqrt{6×3}-\sqrt{8}=\sqrt{18}-2\sqrt{2}=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}$
(2) 按多项式乘法法则展开后合并：
原式$=\sqrt{2}×\sqrt{2}+\sqrt{2}×2+3×\sqrt{2}+3×2=2+2\sqrt{2}+3\sqrt{2}+6=8+5\sqrt{2}$
(3) 先算乘除，再化简合并：
原式$=3\sqrt{2}-\sqrt{\frac{1}{2}}×\sqrt{\frac{3}{4}}×\frac{6}{\sqrt{3}}$
计算乘除部分：$\sqrt{\frac{1}{2}×\frac{3}{4}}×\frac{6}{\sqrt{3}}=6×\sqrt{\frac{3}{8×3}}=6×\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$
因此原式$=3\sqrt{2}-\frac{3\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$
【答案】
(1) $\sqrt{2}$；(2) $8+5\sqrt{2}$；(3) $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
二次根式乘除运算，二次根式化简，多项式乘法运算
【点评】
本题是二次根式混合运算的基础题，运算规则与整式混合运算一致，解题时要注意运算顺序，熟练掌握二次根式化简、乘除的方法，避免因运算顺序错误或化简失误丢分。
【难度系数】
0.7
5.(河北省中考)计算：$(\sqrt{10}+\sqrt{6})(\sqrt{10}-\sqrt{6}) = \_\_\_\_\_\_$（
A.2
B.4
C.6
D.8
B
）A.2
B.4
C.6
D.8
答案
5.B
解析
【分析】
观察算式的结构，是两个数的和与这两个数的差相乘的形式，符合平方差公式的特征，因此可以先利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$对算式进行变形，再结合二次根式的性质$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$计算即可得出结果。
【解析】
根据平方差公式计算：
$\begin{aligned}(\sqrt{10}+\sqrt{6})(\sqrt{10}-\sqrt{6})&=(\sqrt{10})^2 - (\sqrt{6})^2\\&=10 - 6\\&=4\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
平方差公式；二次根式的性质；二次根式混合运算
【点评】
本题是基础运算题，利用乘法公式可以大幅简化二次根式混合运算的计算步骤，避免直接展开计算出现错误，解题的关键是熟练掌握常见的乘法公式以及二次根式的基本性质。
【难度系数】
0.9
观察算式的结构，是两个数的和与这两个数的差相乘的形式，符合平方差公式的特征，因此可以先利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$对算式进行变形，再结合二次根式的性质$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$计算即可得出结果。
【解析】
根据平方差公式计算：
$\begin{aligned}(\sqrt{10}+\sqrt{6})(\sqrt{10}-\sqrt{6})&=(\sqrt{10})^2 - (\sqrt{6})^2\\&=10 - 6\\&=4\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
平方差公式；二次根式的性质；二次根式混合运算
【点评】
本题是基础运算题，利用乘法公式可以大幅简化二次根式混合运算的计算步骤，避免直接展开计算出现错误，解题的关键是熟练掌握常见的乘法公式以及二次根式的基本性质。
【难度系数】
0.9
6.计算：$(2\sqrt{3}-\sqrt{2})^2=$
$14-4\sqrt{6}$
.答案
6.$14-4\sqrt{6}$
解析
【分析】
本题考查二次根式的混合运算，可利用完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$进行简便计算。解题时先确定公式中的$a=2\sqrt{3}$、$b=\sqrt{2}$，再分别计算$a^2$、$2ab$、$b^2$三项，最后合并同类项得到结果，计算时需遵守二次根式乘方、乘法的运算规则。
【解析】
根据完全平方差公式展开计算：
$\begin{aligned}(2\sqrt{3}-\sqrt{2})^2&=(2\sqrt{3})^2 - 2×2\sqrt{3}×\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2\\&=4×3 - 4\sqrt{3×2} + 2\\&=12 - 4\sqrt{6} + 2\\&=14 - 4\sqrt{6}\end{aligned}$
【答案】
$14-4\sqrt{6}$
【知识点】
完全平方公式、二次根式乘方、二次根式乘法
【点评】
本题是二次根式混合运算的基础题型，核心是掌握乘法公式在二次根式运算中的应用，计算时要注意运算符号、系数运算和根号内化简的准确性，避免漏乘或者运算规则误用。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的混合运算，可利用完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$进行简便计算。解题时先确定公式中的$a=2\sqrt{3}$、$b=\sqrt{2}$，再分别计算$a^2$、$2ab$、$b^2$三项，最后合并同类项得到结果，计算时需遵守二次根式乘方、乘法的运算规则。
【解析】
根据完全平方差公式展开计算：
$\begin{aligned}(2\sqrt{3}-\sqrt{2})^2&=(2\sqrt{3})^2 - 2×2\sqrt{3}×\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2\\&=4×3 - 4\sqrt{3×2} + 2\\&=12 - 4\sqrt{6} + 2\\&=14 - 4\sqrt{6}\end{aligned}$
【答案】
$14-4\sqrt{6}$
【知识点】
完全平方公式、二次根式乘方、二次根式乘法
【点评】
本题是二次根式混合运算的基础题型，核心是掌握乘法公式在二次根式运算中的应用，计算时要注意运算符号、系数运算和根号内化简的准确性，避免漏乘或者运算规则误用。
【难度系数】
0.8
7.(教材第15页复习题A组第1题变式)计算：
(1)$(\sqrt{2}-2)(\sqrt{2}+2)$；
(2)$(\sqrt{2}-\sqrt{\frac{1}{2}})^2$；
(3)$6\sqrt{\frac{1}{3}} - (\sqrt{3}+1)^2$。
(1)$(\sqrt{2}-2)(\sqrt{2}+2)$；
(2)$(\sqrt{2}-\sqrt{\frac{1}{2}})^2$；
(3)$6\sqrt{\frac{1}{3}} - (\sqrt{3}+1)^2$。
答案
7. (1)解:原式$=2-4=-2.$
(2)解:原式$=2-2+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.$
(3)解:原式$=2\sqrt{3}-3-2\sqrt{3}-1=-4.$
(2)解:原式$=2-2+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.$
(3)解:原式$=2\sqrt{3}-3-2\sqrt{3}-1=-4.$
解析
【分析】
这三道题均属于二次根式的混合运算，解题时优先观察式子结构匹配乘法公式简化计算：
(1)式子符合平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$的结构，直接套用公式计算即可，无需逐项相乘；
(2)式子符合完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$的结构，套用公式展开后再化简合并；
(3)先将非最简二次根式化为最简二次根式，再用完全平方和公式展开括号，最后合并同类二次根式，注意去括号时的符号变化。
【解析】
(1) 根据平方差公式计算：
原式$=(\sqrt{2})^2 - 2^2 = 2 - 4 = -2$
(2) 根据完全平方差公式展开计算：
原式$=(\sqrt{2})^2 - 2×\sqrt{2}×\sqrt{\frac{1}{2}} + (\sqrt{\frac{1}{2}})^2 = 2 - 2×\sqrt{2×\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} = 2 - 2 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
(3) 先化简二次根式，再展开完全平方，最后合并：
第一步，化简$6\sqrt{\frac{1}{3}} = 6×\frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$；
第二步，展开$(\sqrt{3}+1)^2 = (\sqrt{3})^2 + 2×\sqrt{3}×1 + 1^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1$；
第三步，代入原式合并：
原式$=2\sqrt{3} - (3 + 2\sqrt{3} + 1) = 2\sqrt{3} - 3 - 2\sqrt{3} - 1 = -4$
【答案】
(1) $-2$；(2) $\frac{1}{2}$；(3) $-4$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 完全平方公式
3. 二次根式混合运算
【点评】
本题是二次根式运算的常规基础题，核心考查乘法公式在二次根式运算中的灵活运用，熟练掌握乘法公式可避免逐项相乘的繁琐运算，降低出错概率，计算时需注意二次根式化简的准确性以及去括号的符号规则。
【难度系数】
0.8
这三道题均属于二次根式的混合运算，解题时优先观察式子结构匹配乘法公式简化计算：
(1)式子符合平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$的结构，直接套用公式计算即可，无需逐项相乘；
(2)式子符合完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$的结构，套用公式展开后再化简合并；
(3)先将非最简二次根式化为最简二次根式，再用完全平方和公式展开括号，最后合并同类二次根式，注意去括号时的符号变化。
【解析】
(1) 根据平方差公式计算：
原式$=(\sqrt{2})^2 - 2^2 = 2 - 4 = -2$
(2) 根据完全平方差公式展开计算：
原式$=(\sqrt{2})^2 - 2×\sqrt{2}×\sqrt{\frac{1}{2}} + (\sqrt{\frac{1}{2}})^2 = 2 - 2×\sqrt{2×\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} = 2 - 2 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
(3) 先化简二次根式，再展开完全平方，最后合并：
第一步，化简$6\sqrt{\frac{1}{3}} = 6×\frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$；
第二步，展开$(\sqrt{3}+1)^2 = (\sqrt{3})^2 + 2×\sqrt{3}×1 + 1^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1$；
第三步，代入原式合并：
原式$=2\sqrt{3} - (3 + 2\sqrt{3} + 1) = 2\sqrt{3} - 3 - 2\sqrt{3} - 1 = -4$
【答案】
(1) $-2$；(2) $\frac{1}{2}$；(3) $-4$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 完全平方公式
3. 二次根式混合运算
【点评】
本题是二次根式运算的常规基础题，核心考查乘法公式在二次根式运算中的灵活运用，熟练掌握乘法公式可避免逐项相乘的繁琐运算，降低出错概率，计算时需注意二次根式化简的准确性以及去括号的符号规则。
【难度系数】
0.8
8. 嘉淇计算$\sqrt{15} ÷ ( \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{5}} )$时，想起分配律，于是她按分配律完成了下列计算：
解：原式$= \sqrt{15} ÷ \frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{15} ÷ \frac{1}{\sqrt{5}}$
$= \sqrt{15} × \sqrt{3} + \sqrt{15} × \sqrt{5}$
$= 3\sqrt{5} + 5\sqrt{3}$。
她的解法正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程。
解：原式$= \sqrt{15} ÷ \frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{15} ÷ \frac{1}{\sqrt{5}}$
$= \sqrt{15} × \sqrt{3} + \sqrt{15} × \sqrt{5}$
$= 3\sqrt{5} + 5\sqrt{3}$。
她的解法正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程。
答案
8. 解:不正确. 正确的解答过程为:原式$=\sqrt{15}÷(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{15}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{15}})=\sqrt{15}÷\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{15}}=\frac{15}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{15\sqrt{5}-15\sqrt{3}}{2}.$
解析
【分析】
嘉淇的解法错误，错因是误用分配律：分配律仅适用于乘法对加法的运算，除法没有分配律，不能直接将被除数分别除以括号内的每一项。解题遵循有理数运算顺序即可：有括号先算括号内的，先对括号内的二次根式通分化简，再将除法转化为乘法运算，最后对结果分母有理化就能得到正确答案。
【解析】
解：她的解法不正确，正确解答过程如下：
1. 计算括号内的加法，对两项通分，公分母为$\sqrt{15}$：
$\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{15}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{15}}$
2. 计算括号外的除法，转化为乘法运算：
原式$=\sqrt{15}÷\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{15}}=\sqrt{15}×\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{15}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$
3. 对结果分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{5}-\sqrt{3}$：
$\frac{15}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{15(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}=\frac{15\sqrt{5}-15\sqrt{3}}{5-3}=\frac{15\sqrt{5}-15\sqrt{3}}{2}$
【答案】
解法不正确，正确的解答过程为:原式$=\sqrt{15}÷(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{15}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{15}})=\sqrt{15}÷\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{15}}=\frac{15}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{15\sqrt{5}-15\sqrt{3}}{2}$。
【知识点】
二次根式混合运算，分母有理化，通分运算
【点评】
本题易因错用分配律导致解题错误，需牢记运算律仅适用于乘法运算，二次根式混合运算要遵循先算括号内、再算括号外的运算顺序，最终结果需化为最简形式。
【难度系数】
0.6
嘉淇的解法错误，错因是误用分配律：分配律仅适用于乘法对加法的运算，除法没有分配律，不能直接将被除数分别除以括号内的每一项。解题遵循有理数运算顺序即可：有括号先算括号内的，先对括号内的二次根式通分化简，再将除法转化为乘法运算，最后对结果分母有理化就能得到正确答案。
【解析】
解：她的解法不正确，正确解答过程如下：
1. 计算括号内的加法，对两项通分，公分母为$\sqrt{15}$：
$\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{15}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{15}}$
2. 计算括号外的除法，转化为乘法运算：
原式$=\sqrt{15}÷\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{15}}=\sqrt{15}×\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{15}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$
3. 对结果分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{5}-\sqrt{3}$：
$\frac{15}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{15(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}=\frac{15\sqrt{5}-15\sqrt{3}}{5-3}=\frac{15\sqrt{5}-15\sqrt{3}}{2}$
【答案】
解法不正确，正确的解答过程为:原式$=\sqrt{15}÷(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{15}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{15}})=\sqrt{15}÷\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{15}}=\frac{15}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{15\sqrt{5}-15\sqrt{3}}{2}$。
【知识点】
二次根式混合运算，分母有理化，通分运算
【点评】
本题易因错用分配律导致解题错误，需牢记运算律仅适用于乘法运算，二次根式混合运算要遵循先算括号内、再算括号外的运算顺序，最终结果需化为最简形式。
【难度系数】
0.6
