1. 定义:我们知道,四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形,如果这两个三角形相似(不全等),我们就把这条对角线叫作这个四边形的“相似对角线”.
理解:
(1)如图①,△ABC的三个顶点均在正方形网格中的格点上,若四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形,请用无刻度的直尺在网格中画出点D(保留画图痕迹,找出3个即可).
(2)如图②,在四边形ABCD中,∠ABC=80°,∠ADC=140°,对角线BD平分∠ABC.请问BD是四边形ABCD的“相似对角线”吗?请说明理由.
运用:
(3)如图③,已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”,∠EFH=∠HFG=30°.连接EG,若△EFG的面积为$6\sqrt{3}$,求FH的长.

1.(1)如图①,画出$D_1,D_2,D_3,D_4$ 4个点中的3个即可.
(2)BD 是四边形 ABCD 的“相似对角线”.理由如下:
∵ ∠ABC=80°,BD 平分∠ABC,
∴ ∠ABD = ∠DBC = 40°,
∴ ∠A+∠ADB=140°.
∵ ∠ADC=140°,
∴ ∠BDC+∠ADB=140°,
∴ ∠A=∠BDC,
∴ △ABD∽△DBC,
∴ BD 是四边形 ABCD 的“相似对角线”.
(3)
∵ FH 是四边形 EFGH 的“相似对角线”,
∴ △EFH 与△HFG 相似.又
∵ ∠EFH=∠HFG,
∴ △FEH ∽ △FHG,
∴ $\frac{EF}{FH}=\frac{FH}{FG}$,
∴ $FH^2 = FE · FG$. 如图②,过点 E 作 EQ ⊥ FG, 垂足为 Q.
∵ ∠EFH = ∠HFG = 30°,
∴ ∠EFG=60°,
∴ 在 Rt△EQF 中,∠FEQ = 30°,
∴ FQ = $\frac{1}{2}FE$,
∴ $EQ = \sqrt{FE^2-FQ^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}FE$.
∵ $\frac{1}{2}FG · EQ = 6\sqrt{3}$,
∴ $\frac{1}{2}FG · \frac{\sqrt{3}}{2}FE = 6\sqrt{3}$,
∴ FG · FE = 24,
∴ $FH^2 = FG · FE=24$.
∵ FH＞0,
∴ $FH=2\sqrt{6}$.

2. (2026·成都期末)在平面中,对于点M,N,P,若∠MPN=90°,且PM=2PN,则称点P是点M对点N的“垂倍点”.在平面直角坐标系xOy中:
(1)已知点M(-3,2),点N(1,5),则点P₁(-1,6),P₂(1,2)中是点M对点N的“垂倍点”的是.
(2)已知点A(-4,0),B(0,b)(b＞0).
①若在第二象限内存在点C,使得点B是点C对点A的“垂倍点”,求出点C的坐标(用含b的式子表示),并直接写出点C的轨迹表达式.
②当b=8时,点D,E是线段AO,BO上的动点(点D,E不与点A,B,O重合).若点T是点E对点D的“垂倍点”,直接写出点T的纵坐标t的取值范围.

2.(1)点$P_1(-1,6)$ 解析:
∵ M(-3,2),N(1,5),$P_1(-1,6)$,$P_2(1,2)$
∴ $MN = \sqrt{(1+3)^2+(5-2)^2} = 5$,$P_1M = \sqrt{(-1+3)^2+(6-2)^2}=2\sqrt{5}$,$P_1N=\sqrt{(1+1)^2+(5-6)^2}=\sqrt{5}$,
∴ $MN^2 = P_1M^2 + P_1N^2$,
∴ ∠$MP_1N = 90°$,$P_1M = 2P_1N$,
∴ 点$P_1(-1,6)$是点 M 对点 N 的“垂倍点”.
∵ $P_2M = |1+3|=4$,$P_2N=|5-2|=3$,$P_2M≠2P_2N$,
∴ 点$P_2(1,2)$不是点 M 对点 N 的“垂倍点”.故答案为点$P_1(-1,6)$.
(2)①如图①,过点 C 作 CD ⊥ y 轴于点 D,
∴ ∠DCB+∠DBC=90°.
∵ 点 B 是点 C 对点 A 的“垂倍点”,
∴ ∠ABC=90°,BC=2AB,
∴ ∠CBD+∠ABO=90°,
∴ ∠DCB=∠ABO.又
∵ ∠BDC=∠AOB,
∴ △BCD∽△ABO,
∴ $\frac{BD}{AO}=\frac{CD}{OB}=\frac{BC}{AB}=2$,
∴ BD=2AO=8,CD=2OB=2b.
∵ 点 C 在第二象限,
∴ 点 C 坐标为(-2b,8+b).
∵ x=-2b,y=8+b,
∴ $y=-\frac{1}{2}x+8$,即点 C 的轨迹为直线 $y=-\frac{1}{2}x+8$.
②$-\frac{8}{5}＜t＜\frac{16}{5}$. 解析:
∵ 点 T 是点 E 对点 D 的“垂倍点”,
∴ ∠ETD=90°,TE=2TD,当点 T 在 DE 上方时,点 T 的纵坐标较大,当点 D,A 重合时,点 T 在 x 轴的上方,如图②,过点 T 作 HG⊥x 轴于点 G,过点 E 作 EH⊥HT,
∴ ∠H=∠ETD=∠TGD=90°,∠HTE=90°-∠DTG=∠TDG,
∴ △HTE∽△GDT,
∴ $\frac{TG}{HE}=\frac{GD}{HT}=\frac{TD}{TE}=\frac{1}{2}$.设 T(x,y),
∴ HE=-x, TG=y.
∵ $\frac{TG}{HE}=\frac{1}{2}$,
∴ $\frac{y}{-x}=\frac{1}{2}$,
∴ $y=-\frac{1}{2}x$,
∴ 点 T 的轨迹是直线 $y=-\frac{1}{2}x$.
∵ 点 D,E 是线段 AO,BO 上的动点,此时点 D,E 分别在点 A,B 处时,点 T 在第二象限时纵坐标最大.
∵ $\frac{TG}{HE}=\frac{GD}{HT}=\frac{TD}{TE}=\frac{1}{2}$,
∴ $\frac{y}{-x}=\frac{-4-x}{8-y}=\frac{1}{2}$,解得 $\begin{cases}x=-\frac{32}{5},\\y=\frac{16}{5}.\end{cases}$ 如图③,当点 T 在 DE 下方时,当点 D 与点 A 重合,点 E 与点 O 重合,点 T 在第三象限时纵坐标最小,此时点 T 的轨迹是直线 $y=\frac{1}{2}x$,同理可得点 T 的纵坐标为$-\frac{8}{5}$.综上所述,$-\frac{8}{5}＜t＜\frac{16}{5}$.