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6. 计算：
(1) $5\frac{2}{3} - [2\frac{1}{2} - (-3\frac{1}{3}) ÷ 4] × (-0.2)$；
(2) $[31 - (\frac{5}{9} - \frac{3}{4} + \frac{1}{18}) × (-36)] ÷ (-8)$；
(3) $[2\frac{1}{27} - (\frac{7}{9} - \frac{11}{12} + \frac{1}{6}) × 12] ÷ \frac{1}{3}$；
(4) $\left|-5\frac{1}{2}\right| × (\frac{1}{3} - \frac{1}{2}) × \frac{3}{11} ÷ (1 - \frac{1}{4})$。
(1) $5\frac{2}{3} - [2\frac{1}{2} - (-3\frac{1}{3}) ÷ 4] × (-0.2)$；
(2) $[31 - (\frac{5}{9} - \frac{3}{4} + \frac{1}{18}) × (-36)] ÷ (-8)$；
(3) $[2\frac{1}{27} - (\frac{7}{9} - \frac{11}{12} + \frac{1}{6}) × 12] ÷ \frac{1}{3}$；
(4) $\left|-5\frac{1}{2}\right| × (\frac{1}{3} - \frac{1}{2}) × \frac{3}{11} ÷ (1 - \frac{1}{4})$。
答案
(1) $6\frac{1}{3}$ (2) $-\frac{13}{4}$ (3) $5\frac{1}{9}$ (4) $-\frac{1}{3}$
解析
【分析】
有理数混合运算按以下思路解题：1. 明确运算顺序：先算乘除（同级运算从左到右），后算加减；有括号时先算括号内（按小括号→中括号的顺序计算），有绝对值先算绝对值。2. 计算前先把带分数、小数统一化为分数，除法转化为乘法，方便约分。3. 遇到几个分数的和（差）乘整数的形式，优先用乘法分配律计算，避免通分的繁琐，同时注意每一步的符号变化，防止符号出错。
【解析】
(1) 计算$5\frac{2}{3} - [2\frac{1}{2} - (-3\frac{1}{3}) ÷ 4] × (-0.2)$
解：先统一形式：$5\frac{2}{3}=\frac{17}{3}$，$2\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$，$3\frac{1}{3}=\frac{10}{3}$，$-0.2=-\frac{1}{5}$
① 算中括号内的除法：$(-3\frac{1}{3})÷4=-\frac{10}{3}×\frac{1}{4}=-\frac{5}{6}$
② 算中括号内的减法：$2\frac{1}{2} - (-\frac{5}{6})=\frac{5}{2}+\frac{5}{6}=\frac{15+5}{6}=\frac{10}{3}$
③ 算乘法：$\frac{10}{3}×(-\frac{1}{5})=-\frac{2}{3}$
④ 算最终减法：$\frac{17}{3} - (-\frac{2}{3})=\frac{17+2}{3}=\frac{19}{3}=6\frac{1}{3}$
(2) 计算$[31 - (\frac{5}{9} - \frac{3}{4} + \frac{1}{18}) × (-36)] ÷ (-8)$
解：① 用乘法分配律算括号内乘法：
$(\frac{5}{9} - \frac{3}{4} + \frac{1}{18}) × (-36)=\frac{5}{9}×(-36)-\frac{3}{4}×(-36)+\frac{1}{18}×(-36)=-20+27-2=5$
② 算中括号内的减法：$31-5=26$
③ 算除法：$26÷(-8)=-\frac{26}{8}=-\frac{13}{4}$
(3) 计算$[2\frac{1}{27} - (\frac{7}{9} - \frac{11}{12} + \frac{1}{6}) × 12] ÷ \frac{1}{3}$
解：先统一形式：$2\frac{1}{27}=\frac{55}{27}$，除以$\frac{1}{3}$等于乘3
① 用乘法分配律算括号内乘法：
$(\frac{7}{9} - \frac{11}{12} + \frac{1}{6}) ×12=\frac{7}{9}×12-\frac{11}{12}×12+\frac{1}{6}×12=\frac{28}{3}-11+2=\frac{1}{3}$
② 算中括号内的减法：$\frac{55}{27}-\frac{1}{3}=\frac{55-9}{27}=\frac{46}{27}$
③ 算乘法：$\frac{46}{27}×3=\frac{46}{9}=5\frac{1}{9}$
(4) 计算$\left|-5\frac{1}{2}\right| × (\frac{1}{3} - \frac{1}{2}) × \frac{3}{11} ÷ (1 - \frac{1}{4})$
解：① 算绝对值和括号内的运算：
$\left|-5\frac{1}{2}\right|=\frac{11}{2}$，$\frac{1}{3}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{6}$，$1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$
② 除法转乘法，统一为连乘运算：
原式=$\frac{11}{2}×(-\frac{1}{6})×\frac{3}{11}×\frac{4}{3}$
③ 约分计算：
$\frac{11}{2}×(-\frac{1}{6})×\frac{3}{11}×\frac{4}{3}=-\frac{11×1×3×4}{2×6×11×3}=-\frac{1}{3}$
【答案】
(1) $6\frac{1}{3}$；(2) $-\frac{13}{4}$；(3) $5\frac{1}{9}$；(4) $-\frac{1}{3}$
【知识点】
有理数混合运算，乘法分配律，绝对值运算
【点评】
本题是有理数运算的基础训练题，重点考察运算顺序的掌握和运算律的灵活运用，计算时需格外注意符号变化，合理使用运算律能大幅提升计算效率和正确率。
【难度系数】
0.7
有理数混合运算按以下思路解题：1. 明确运算顺序：先算乘除（同级运算从左到右），后算加减；有括号时先算括号内（按小括号→中括号的顺序计算），有绝对值先算绝对值。2. 计算前先把带分数、小数统一化为分数，除法转化为乘法，方便约分。3. 遇到几个分数的和（差）乘整数的形式，优先用乘法分配律计算，避免通分的繁琐，同时注意每一步的符号变化，防止符号出错。
【解析】
(1) 计算$5\frac{2}{3} - [2\frac{1}{2} - (-3\frac{1}{3}) ÷ 4] × (-0.2)$
解：先统一形式：$5\frac{2}{3}=\frac{17}{3}$，$2\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$，$3\frac{1}{3}=\frac{10}{3}$，$-0.2=-\frac{1}{5}$
① 算中括号内的除法：$(-3\frac{1}{3})÷4=-\frac{10}{3}×\frac{1}{4}=-\frac{5}{6}$
② 算中括号内的减法：$2\frac{1}{2} - (-\frac{5}{6})=\frac{5}{2}+\frac{5}{6}=\frac{15+5}{6}=\frac{10}{3}$
③ 算乘法：$\frac{10}{3}×(-\frac{1}{5})=-\frac{2}{3}$
④ 算最终减法：$\frac{17}{3} - (-\frac{2}{3})=\frac{17+2}{3}=\frac{19}{3}=6\frac{1}{3}$
(2) 计算$[31 - (\frac{5}{9} - \frac{3}{4} + \frac{1}{18}) × (-36)] ÷ (-8)$
解：① 用乘法分配律算括号内乘法：
$(\frac{5}{9} - \frac{3}{4} + \frac{1}{18}) × (-36)=\frac{5}{9}×(-36)-\frac{3}{4}×(-36)+\frac{1}{18}×(-36)=-20+27-2=5$
② 算中括号内的减法：$31-5=26$
③ 算除法：$26÷(-8)=-\frac{26}{8}=-\frac{13}{4}$
(3) 计算$[2\frac{1}{27} - (\frac{7}{9} - \frac{11}{12} + \frac{1}{6}) × 12] ÷ \frac{1}{3}$
解：先统一形式：$2\frac{1}{27}=\frac{55}{27}$，除以$\frac{1}{3}$等于乘3
① 用乘法分配律算括号内乘法：
$(\frac{7}{9} - \frac{11}{12} + \frac{1}{6}) ×12=\frac{7}{9}×12-\frac{11}{12}×12+\frac{1}{6}×12=\frac{28}{3}-11+2=\frac{1}{3}$
② 算中括号内的减法：$\frac{55}{27}-\frac{1}{3}=\frac{55-9}{27}=\frac{46}{27}$
③ 算乘法：$\frac{46}{27}×3=\frac{46}{9}=5\frac{1}{9}$
(4) 计算$\left|-5\frac{1}{2}\right| × (\frac{1}{3} - \frac{1}{2}) × \frac{3}{11} ÷ (1 - \frac{1}{4})$
解：① 算绝对值和括号内的运算：
$\left|-5\frac{1}{2}\right|=\frac{11}{2}$，$\frac{1}{3}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{6}$，$1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$
② 除法转乘法，统一为连乘运算：
原式=$\frac{11}{2}×(-\frac{1}{6})×\frac{3}{11}×\frac{4}{3}$
③ 约分计算：
$\frac{11}{2}×(-\frac{1}{6})×\frac{3}{11}×\frac{4}{3}=-\frac{11×1×3×4}{2×6×11×3}=-\frac{1}{3}$
【答案】
(1) $6\frac{1}{3}$；(2) $-\frac{13}{4}$；(3) $5\frac{1}{9}$；(4) $-\frac{1}{3}$
【知识点】
有理数混合运算，乘法分配律，绝对值运算
【点评】
本题是有理数运算的基础训练题，重点考察运算顺序的掌握和运算律的灵活运用，计算时需格外注意符号变化，合理使用运算律能大幅提升计算效率和正确率。
【难度系数】
0.7
7. 定义一种新运算：$a\otimes b=(a-b)÷(a+b)$。
（1）求$3\otimes5$的值；
（2）求$(1\otimes3)\otimes(-2)$的值。
（1）求$3\otimes5$的值；
（2）求$(1\otimes3)\otimes(-2)$的值。
答案
(1) $-\frac{1}{4}$ (2) $-\frac{3}{5}$
解析
【分析】
首先明确新运算$\otimes$的规则：两个数进行$\otimes$运算，结果等于两数的差除以两数的和。（1）计算$3\otimes5$时，直接把$a=3$、$b=5$代入新运算公式，按照有理数的加减、除法法则计算即可；（2）计算含括号的新运算时，遵循四则运算顺序，先算小括号内的$1\otimes3$，将得到的结果作为新的$a$，$-2$作为新的$b$，再次代入新运算公式计算最终结果，计算过程中注意符号处理。
【解析】
（1）根据新运算规则$a\otimes b=(a-b)÷(a+b)$，将$a=3$，$b=5$代入得：
$3\otimes5=(3-5)÷(3+5)$
$=(-2)÷8$
$=-\frac{1}{4}$
（2）先计算括号内的$1\otimes3$，将$a=1$，$b=3$代入得：
$1\otimes3=(1-3)÷(1+3)$
$=(-2)÷4$
$=-\frac{1}{2}$
再计算$(-\frac{1}{2})\otimes(-2)$，将$a=-\frac{1}{2}$，$b=-2$代入得：
$(-\frac{1}{2})\otimes(-2)=[(-\frac{1}{2})-(-2)]÷[(-\frac{1}{2})+(-2)]$
$=\frac{3}{2}÷(-\frac{5}{2})$
$=\frac{3}{2}×(-\frac{2}{5})$
$=-\frac{3}{5}$
【答案】
（1）$-\frac{1}{4}$；（2）$-\frac{3}{5}$
【知识点】
1.新定义运算 2.有理数的除法 3.有理数四则混合运算
【点评】
本题解题核心是准确理解新定义的运算规则，代入数值时要严格对应$a$、$b$的位置，注意运算顺序，有括号先算括号内的，计算有理数运算时要特别注意符号的变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
首先明确新运算$\otimes$的规则：两个数进行$\otimes$运算，结果等于两数的差除以两数的和。（1）计算$3\otimes5$时，直接把$a=3$、$b=5$代入新运算公式，按照有理数的加减、除法法则计算即可；（2）计算含括号的新运算时，遵循四则运算顺序，先算小括号内的$1\otimes3$，将得到的结果作为新的$a$，$-2$作为新的$b$，再次代入新运算公式计算最终结果，计算过程中注意符号处理。
【解析】
（1）根据新运算规则$a\otimes b=(a-b)÷(a+b)$，将$a=3$，$b=5$代入得：
$3\otimes5=(3-5)÷(3+5)$
$=(-2)÷8$
$=-\frac{1}{4}$
（2）先计算括号内的$1\otimes3$，将$a=1$，$b=3$代入得：
$1\otimes3=(1-3)÷(1+3)$
$=(-2)÷4$
$=-\frac{1}{2}$
再计算$(-\frac{1}{2})\otimes(-2)$，将$a=-\frac{1}{2}$，$b=-2$代入得：
$(-\frac{1}{2})\otimes(-2)=[(-\frac{1}{2})-(-2)]÷[(-\frac{1}{2})+(-2)]$
$=\frac{3}{2}÷(-\frac{5}{2})$
$=\frac{3}{2}×(-\frac{2}{5})$
$=-\frac{3}{5}$
【答案】
（1）$-\frac{1}{4}$；（2）$-\frac{3}{5}$
【知识点】
1.新定义运算 2.有理数的除法 3.有理数四则混合运算
【点评】
本题解题核心是准确理解新定义的运算规则，代入数值时要严格对应$a$、$b$的位置，注意运算顺序，有括号先算括号内的，计算有理数运算时要特别注意符号的变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
8. 计算:(1) $( \frac{1}{2} - \frac{2}{3} ) × (-12) - | -2 + 5 | ÷ ( 1 - \frac{1}{4} )$；
(2) $( 1\frac{3}{4} - \frac{7}{8} - \frac{7}{12} ) × ( -\frac{8}{7} ) + ( -\frac{7}{8} ) ÷ ( 1\frac{3}{4} - \frac{7}{8} - \frac{7}{12} )$。
(2) $( 1\frac{3}{4} - \frac{7}{8} - \frac{7}{12} ) × ( -\frac{8}{7} ) + ( -\frac{7}{8} ) ÷ ( 1\frac{3}{4} - \frac{7}{8} - \frac{7}{12} )$。
答案
(1) $-2$ (2) $-\frac{10}{3}$
解析
【分析】
这是有理数混合运算题，解题遵循“先算括号内，再算乘除，最后算加减”的运算顺序，有绝对值先计算绝对值部分；对于形如$(a\pm b)× c$的式子，可运用乘法分配律简化计算，避免通分的繁琐。第(1)问先分别计算乘法、绝对值和除法，最后做减法；第(2)问先算出括号内的结果，再分别计算乘法和除法，最后求和即可。
【解析】
(1) 计算过程：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{2}×(-12) - \frac{2}{3}×(-12) - |-2+5| ÷ (1-\frac{1}{4})\\&=-6 + 8 - |3| ÷ \frac{3}{4}\\&=2 - 3×\frac{4}{3}\\&=2 - 4\\&=-2\end{aligned}$
(2) 计算过程：
先化简括号内的算式：
$1\frac{3}{4} - \frac{7}{8} - \frac{7}{12} = \frac{7}{4} - \frac{7}{8} - \frac{7}{12} = \frac{42}{24} - \frac{21}{24} - \frac{14}{24} = \frac{7}{24}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{7}{24}×(-\frac{8}{7}) + (-\frac{7}{8}) ÷ \frac{7}{24}\\&=-\frac{1}{3} + (-\frac{7}{8})×\frac{24}{7}\\&=-\frac{1}{3} - 3\\&=-\frac{10}{3}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2}$；(2) $\boldsymbol{-\frac{10}{3}}$
【知识点】
有理数混合运算，乘法分配律，绝对值运算
【点评】
本题重点考查有理数混合运算的规则和简便运算技巧，运算过程中要特别注意符号的判断，合理运用分配律能大幅降低计算量，减少出错概率。
【难度系数】
0.65
这是有理数混合运算题，解题遵循“先算括号内，再算乘除，最后算加减”的运算顺序，有绝对值先计算绝对值部分；对于形如$(a\pm b)× c$的式子，可运用乘法分配律简化计算，避免通分的繁琐。第(1)问先分别计算乘法、绝对值和除法，最后做减法；第(2)问先算出括号内的结果，再分别计算乘法和除法，最后求和即可。
【解析】
(1) 计算过程：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{2}×(-12) - \frac{2}{3}×(-12) - |-2+5| ÷ (1-\frac{1}{4})\\&=-6 + 8 - |3| ÷ \frac{3}{4}\\&=2 - 3×\frac{4}{3}\\&=2 - 4\\&=-2\end{aligned}$
(2) 计算过程：
先化简括号内的算式：
$1\frac{3}{4} - \frac{7}{8} - \frac{7}{12} = \frac{7}{4} - \frac{7}{8} - \frac{7}{12} = \frac{42}{24} - \frac{21}{24} - \frac{14}{24} = \frac{7}{24}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{7}{24}×(-\frac{8}{7}) + (-\frac{7}{8}) ÷ \frac{7}{24}\\&=-\frac{1}{3} + (-\frac{7}{8})×\frac{24}{7}\\&=-\frac{1}{3} - 3\\&=-\frac{10}{3}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2}$；(2) $\boldsymbol{-\frac{10}{3}}$
【知识点】
有理数混合运算，乘法分配律，绝对值运算
【点评】
本题重点考查有理数混合运算的规则和简便运算技巧，运算过程中要特别注意符号的判断，合理运用分配律能大幅降低计算量，减少出错概率。
【难度系数】
0.65
