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4. 甲、乙两名同学本学年11次体育测试成绩(整数)的统计如图所示. 
(第4题)
(1)分别求他们的平均分；
(2)请你从中挑选一人参加体育比赛,并说明你挑选的理由.
(第4题)(1)分别求他们的平均分；
(2)请你从中挑选一人参加体育比赛,并说明你挑选的理由.
答案
4. (1) $\bar{x}_甲=\frac{1}{11}×(11×95+3+10-5+1-4-6+4+10-2)=96,\bar{x}_乙=\frac{1}{11}×(11×95+3+4+1-1+0-3-3+3+1+4+2)=96$ (2) 略
解析
【分析】
(1) 计算平均分可采用基准数法简化运算：观察两人11次成绩都集中在95分附近，因此选取95作为基准数，先计算每次成绩与基准数的差值总和，再用“基准数+差值总和÷测试次数”即可求出平均分，避免大数累加降低计算错误率。
(2) 挑选参赛人员时，首先已知两人平均分相同，可从成绩的稳定性（方差，波动越小发挥越稳定）、高分次数、成绩变化趋势等角度分析，任选一人只要理由符合数据呈现的特征即可。
【解析】
(1) 取基准数为95，计算各次成绩与95的差值总和：
甲的差值总和为：$3+5+5-5+1-4-6+4+5+5-2=11$
$\bar{x}_甲=95+\frac{11}{11}=96$（分）
乙的差值总和为：$3+4+1-1+0-3-3+3+1+4+2=11$
$\bar{x}_乙=95+\frac{11}{11}=96$（分）
也可直接累加所有成绩求平均数，计算结果一致。
(2) 示例1：选乙参加比赛。理由：两人平均分相同，计算可得乙的成绩方差更小，波动更小，发挥更稳定，参赛更稳妥。
示例2：选甲参加比赛。理由：两人平均分相同，甲获得满分的次数更多，且后期测试成绩多为高分，冲击高名次的可能性更大。
【答案】
(1) 甲的平均分为96分，乙的平均分为96分；
(2) 选乙，理由：两人平均分相同，乙的成绩波动小，发挥更稳定（或选甲，理由：甲满分次数多，后期成绩优异，冲击高分可能性大，理由合理即可）
【知识点】
平均数计算，折线统计图分析，方差的应用
【点评】
本题结合折线统计图考查数据的分析与实际应用，既考查了平均数的计算方法，也引导学生结合数据的集中趋势、离散程度等特征解决实际决策问题，第二问为开放性问题，理由符合数据特征即可得分。
【难度系数】
0.7
(1) 计算平均分可采用基准数法简化运算：观察两人11次成绩都集中在95分附近，因此选取95作为基准数，先计算每次成绩与基准数的差值总和，再用“基准数+差值总和÷测试次数”即可求出平均分，避免大数累加降低计算错误率。
(2) 挑选参赛人员时，首先已知两人平均分相同，可从成绩的稳定性（方差，波动越小发挥越稳定）、高分次数、成绩变化趋势等角度分析，任选一人只要理由符合数据呈现的特征即可。
【解析】
(1) 取基准数为95，计算各次成绩与95的差值总和：
甲的差值总和为：$3+5+5-5+1-4-6+4+5+5-2=11$
$\bar{x}_甲=95+\frac{11}{11}=96$（分）
乙的差值总和为：$3+4+1-1+0-3-3+3+1+4+2=11$
$\bar{x}_乙=95+\frac{11}{11}=96$（分）
也可直接累加所有成绩求平均数，计算结果一致。
(2) 示例1：选乙参加比赛。理由：两人平均分相同，计算可得乙的成绩方差更小，波动更小，发挥更稳定，参赛更稳妥。
示例2：选甲参加比赛。理由：两人平均分相同，甲获得满分的次数更多，且后期测试成绩多为高分，冲击高名次的可能性更大。
【答案】
(1) 甲的平均分为96分，乙的平均分为96分；
(2) 选乙，理由：两人平均分相同，乙的成绩波动小，发挥更稳定（或选甲，理由：甲满分次数多，后期成绩优异，冲击高分可能性大，理由合理即可）
【知识点】
平均数计算，折线统计图分析，方差的应用
【点评】
本题结合折线统计图考查数据的分析与实际应用，既考查了平均数的计算方法，也引导学生结合数据的集中趋势、离散程度等特征解决实际决策问题，第二问为开放性问题，理由符合数据特征即可得分。
【难度系数】
0.7
5. 某班共50个学生，其中男生28人，女生22人.已知男生平均身高是172 cm，方差是17；女生平均身高是163 cm，方差是26.求全班学生身高的平均数和方差.
答案
5. $\bar{x}=\frac{1}{50}×(28×172+22×163)\approx168(\mathrm{cm}),s^2=\frac{28}{50}×[17+(172-168)^2]+\frac{22}{50}×[26+(163-168)^2]=40.92(\mathrm{cm}^2)$
解析
【分析】
要计算全班身高的平均数，需用加权平均数公式，以男、女生人数为权重，将两组平均身高分别乘以对应人数求和后，除以总人数即可。计算全班方差时，不能直接对两组方差加权平均，还需要考虑男、女生平均身高与全班平均身高的偏差带来的方差贡献，总体方差等于各组内方差的加权值加上组间均值偏差的加权平方和，因此先算出全班平均身高，再代入分层方差公式计算即可。
【解析】
1. 计算全班身高的平均数
加权平均数公式为$\bar{x}=\frac{n_1\bar{x_1}+n_2\bar{x_2}}{n_1+n_2}$，其中$n_1=28$为男生人数，$\bar{x_1}=172\mathrm{cm}$为男生平均身高，$n_2=22$为女生人数，$\bar{x_2}=163\mathrm{cm}$为女生平均身高，总人数$n=50$。
代入得：
$\bar{x}=\frac{28×172+22×163}{50}=\frac{4816+3586}{50}=\frac{8402}{50}=168.04\approx168(\mathrm{cm})$
2. 计算全班身高的方差
分层数据方差公式为$s^2=\frac{n_1}{n}[s_1^2+(\bar{x_1}-\bar{x})^2]+\frac{n_2}{n}[s_2^2+(\bar{x_2}-\bar{x})^2]$，其中$s_1^2=17$为男生方差，$s_2^2=26$为女生方差。
代入数值计算：
$\begin{aligned}s^2&=\frac{28}{50}×[17+(172-168)^2]+\frac{22}{50}×[26+(163-168)^2]\\&=0.56×(17+16)+0.44×(26+25)\\&=0.56×33+0.44×51\\&=18.48+22.44\\&=40.92(\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
【答案】
全班学生身高的平均数约为$\boxed{168\mathrm{cm}}$，方差为$\boxed{40.92\mathrm{cm}^2}$
【知识点】
加权平均数、方差计算、分层方差计算
【点评】
本题核心考查统计中合并数据的统计量计算，易错点是计算总体方差时忽略组间均值和总体均值的偏差贡献，仅对组内方差加权平均，解题时需牢记分层方差的计算逻辑，同时注意数值计算的准确性。
【难度系数】
0.6
要计算全班身高的平均数，需用加权平均数公式，以男、女生人数为权重，将两组平均身高分别乘以对应人数求和后，除以总人数即可。计算全班方差时，不能直接对两组方差加权平均，还需要考虑男、女生平均身高与全班平均身高的偏差带来的方差贡献，总体方差等于各组内方差的加权值加上组间均值偏差的加权平方和，因此先算出全班平均身高，再代入分层方差公式计算即可。
【解析】
1. 计算全班身高的平均数
加权平均数公式为$\bar{x}=\frac{n_1\bar{x_1}+n_2\bar{x_2}}{n_1+n_2}$，其中$n_1=28$为男生人数，$\bar{x_1}=172\mathrm{cm}$为男生平均身高，$n_2=22$为女生人数，$\bar{x_2}=163\mathrm{cm}$为女生平均身高，总人数$n=50$。
代入得：
$\bar{x}=\frac{28×172+22×163}{50}=\frac{4816+3586}{50}=\frac{8402}{50}=168.04\approx168(\mathrm{cm})$
2. 计算全班身高的方差
分层数据方差公式为$s^2=\frac{n_1}{n}[s_1^2+(\bar{x_1}-\bar{x})^2]+\frac{n_2}{n}[s_2^2+(\bar{x_2}-\bar{x})^2]$，其中$s_1^2=17$为男生方差，$s_2^2=26$为女生方差。
代入数值计算：
$\begin{aligned}s^2&=\frac{28}{50}×[17+(172-168)^2]+\frac{22}{50}×[26+(163-168)^2]\\&=0.56×(17+16)+0.44×(26+25)\\&=0.56×33+0.44×51\\&=18.48+22.44\\&=40.92(\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
【答案】
全班学生身高的平均数约为$\boxed{168\mathrm{cm}}$，方差为$\boxed{40.92\mathrm{cm}^2}$
【知识点】
加权平均数、方差计算、分层方差计算
【点评】
本题核心考查统计中合并数据的统计量计算，易错点是计算总体方差时忽略组间均值和总体均值的偏差贡献，仅对组内方差加权平均，解题时需牢记分层方差的计算逻辑，同时注意数值计算的准确性。
【难度系数】
0.6
