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10. 下列式子中,正确的是().
A.$|-5|＜0$
B.$-(-3)＜0$
C.$\frac{2}{3}＞\frac{3}{4}$
D.$-\frac{2}{3}＞-\frac{3}{4}$
A.$|-5|＜0$
B.$-(-3)＜0$
C.$\frac{2}{3}＞\frac{3}{4}$
D.$-\frac{2}{3}＞-\frac{3}{4}$
答案
D
解析
【分析】
本题考查有理数的大小比较，解题时先将每个选项中可化简的数先化简，再根据有理数大小比较规则逐一判断即可：①正数大于0，负数小于0；②两个负数比较大小，绝对值大的反而小；③异分母分数比较大小可先通分再对比。
【解析】
逐个分析选项：
A选项：化简绝对值得$\vert -5\vert =5$，$5＞0$，即$\vert -5\vert ＞0$，A错误；
B选项：化简相反数得$-(-3)=3$，$3＞0$，即$-(-3)＞0$，B错误；
C选项：通分得$\frac{2}{3}=\frac{8}{12}$，$\frac{3}{4}=\frac{9}{12}$，$\frac{8}{12}＜\frac{9}{12}$，即$\frac{2}{3}＜\frac{3}{4}$，C错误；
D选项：两个负数比较先对比绝对值，$\vert -\frac{2}{3}\vert =\frac{8}{12}$，$\vert -\frac{3}{4}\vert =\frac{9}{12}$，$\frac{8}{12}＜\frac{9}{12}$，根据“两个负数绝对值大的反而小”，可得$-\frac{2}{3}＞-\frac{3}{4}$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
有理数大小比较；绝对值的性质；相反数化简
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟练掌握有理数大小比较规则，以及绝对值、相反数的化简方法，尤其要注意两个负数比较大小时不要搞反大小关系。
【难度系数】
0.8
本题考查有理数的大小比较，解题时先将每个选项中可化简的数先化简，再根据有理数大小比较规则逐一判断即可：①正数大于0，负数小于0；②两个负数比较大小，绝对值大的反而小；③异分母分数比较大小可先通分再对比。
【解析】
逐个分析选项：
A选项：化简绝对值得$\vert -5\vert =5$，$5＞0$，即$\vert -5\vert ＞0$，A错误；
B选项：化简相反数得$-(-3)=3$，$3＞0$，即$-(-3)＞0$，B错误；
C选项：通分得$\frac{2}{3}=\frac{8}{12}$，$\frac{3}{4}=\frac{9}{12}$，$\frac{8}{12}＜\frac{9}{12}$，即$\frac{2}{3}＜\frac{3}{4}$，C错误；
D选项：两个负数比较先对比绝对值，$\vert -\frac{2}{3}\vert =\frac{8}{12}$，$\vert -\frac{3}{4}\vert =\frac{9}{12}$，$\frac{8}{12}＜\frac{9}{12}$，根据“两个负数绝对值大的反而小”，可得$-\frac{2}{3}＞-\frac{3}{4}$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
有理数大小比较；绝对值的性质；相反数化简
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟练掌握有理数大小比较规则，以及绝对值、相反数的化简方法，尤其要注意两个负数比较大小时不要搞反大小关系。
【难度系数】
0.8
11.(易错题)绝对值小于3的非负整数有().
A.6个
B.5个
C.4个
D.3个
A.6个
B.5个
C.4个
D.3个
答案
D
解析
【分析】
解题时需先明确题目中的两个限制条件，第一步根据绝对值的意义确定数的取值范围，第二步结合“非负整数”的定义筛选出同时符合两个条件的数，最后统计个数即可。首先，绝对值小于3的数，就是数轴上到原点的距离小于3的数，对应的取值范围是大于-3且小于3；其次非负整数指的是0和正整数，只需在上述范围内找出所有非负整数，数出个数就能得到答案。
【解析】
设满足条件的数为$x$，根据题意可列出两个要求：
1. 绝对值小于3：即$\vert x\vert＜3$，解得$-3＜x＜3$；
2. $x$是非负整数，即$x$为大于等于0的整数。
结合两个条件筛选，符合要求的数有0、1、2，共3个。
因此本题选D选项。
【答案】
D
【知识点】
绝对值的性质；非负整数的概念
【点评】
本题是易错题，解题时要注意同时匹配所有限制条件，常见错误有两种：一是忽略“非负”的要求，把-1、-2也算入结果，误选5个；二是漏算0或者误把3计入结果，导致计数错误，读题时可标记关键词，避免漏解、多解。
【难度系数】
0.7
解题时需先明确题目中的两个限制条件，第一步根据绝对值的意义确定数的取值范围，第二步结合“非负整数”的定义筛选出同时符合两个条件的数，最后统计个数即可。首先，绝对值小于3的数，就是数轴上到原点的距离小于3的数，对应的取值范围是大于-3且小于3；其次非负整数指的是0和正整数，只需在上述范围内找出所有非负整数，数出个数就能得到答案。
【解析】
设满足条件的数为$x$，根据题意可列出两个要求：
1. 绝对值小于3：即$\vert x\vert＜3$，解得$-3＜x＜3$；
2. $x$是非负整数，即$x$为大于等于0的整数。
结合两个条件筛选，符合要求的数有0、1、2，共3个。
因此本题选D选项。
【答案】
D
【知识点】
绝对值的性质；非负整数的概念
【点评】
本题是易错题，解题时要注意同时匹配所有限制条件，常见错误有两种：一是忽略“非负”的要求，把-1、-2也算入结果，误选5个；二是漏算0或者误把3计入结果，导致计数错误，读题时可标记关键词，避免漏解、多解。
【难度系数】
0.7
12. 有理数$ m,n $在数轴上的对应点如图所示，则下列各式中正确的是().
A.$ m＞n $
B.$ -n＞|m| $
C.$ -m＞|n| $
D.$ |m|＜|n| $
A.$ m＞n $
B.$ -n＞|m| $
C.$ -m＞|n| $
D.$ |m|＜|n| $
答案
C
解析
【分析】
解题时首先利用数轴的性质：数轴上右边的数总比左边的数大，点到原点的距离就是该数的绝对值，距离越远绝对值越大。先从图中获取信息：m、n都在原点左侧，均为负数，且m在n左侧，因此可得m＜n＜0，同时m离原点更远，即|m|＞|n|。再结合相反数、绝对值的性质逐一分析每个选项，即可选出正确答案。
【解析】
解：由数轴可得：$ m ＜ n ＜ 0 $，且m到原点的距离大于n到原点的距离，即$ |m| ＞ |n| $。
对各选项逐一判断：
A. 数轴上左侧的数小于右侧的数，m在n左侧，因此$ m ＜ n $，该选项错误；
B. 因为$ n＜0 $，所以$ -n=|n| $，结合$ |m|＞|n| $，可得$ |m| ＞ -n $，该选项错误；
C. 因为$ m＜0 $，所以$ -m=|m| $，结合$ |m|＞|n| $，可得$ -m ＞ |n| $，该选项正确；
D. m到原点的距离比n远，因此$ |m| ＞ |n| $，该选项错误。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
数轴的应用，绝对值的性质，有理数大小比较
【点评】
本题是数轴与绝对值结合的基础题，解题核心是先通过数轴确定数的正负性和绝对值的大小关系，再结合相反数的性质对选项进行推导验证。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用数轴的性质：数轴上右边的数总比左边的数大，点到原点的距离就是该数的绝对值，距离越远绝对值越大。先从图中获取信息：m、n都在原点左侧，均为负数，且m在n左侧，因此可得m＜n＜0，同时m离原点更远，即|m|＞|n|。再结合相反数、绝对值的性质逐一分析每个选项，即可选出正确答案。
【解析】
解：由数轴可得：$ m ＜ n ＜ 0 $，且m到原点的距离大于n到原点的距离，即$ |m| ＞ |n| $。
对各选项逐一判断：
A. 数轴上左侧的数小于右侧的数，m在n左侧，因此$ m ＜ n $，该选项错误；
B. 因为$ n＜0 $，所以$ -n=|n| $，结合$ |m|＞|n| $，可得$ |m| ＞ -n $，该选项错误；
C. 因为$ m＜0 $，所以$ -m=|m| $，结合$ |m|＞|n| $，可得$ -m ＞ |n| $，该选项正确；
D. m到原点的距离比n远，因此$ |m| ＞ |n| $，该选项错误。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
数轴的应用，绝对值的性质，有理数大小比较
【点评】
本题是数轴与绝对值结合的基础题，解题核心是先通过数轴确定数的正负性和绝对值的大小关系，再结合相反数的性质对选项进行推导验证。
【难度系数】
0.7
13.在数轴上表示数：$-1\frac{1}{3},0,4,-3,2.5$,并将它们按从小到大的顺序用“＜”连接起来.
答案
解：
画出数轴，在数轴上分别标注出数$-1\frac{1}{3}$，$0$，$4$，$-3$，$2.5$对应的点。
根据数轴上的数从左到右依次增大的性质，可得从小到大的顺序为：
$-3 ＜ -1\frac{1}{3} ＜ 0 ＜ 2.5 ＜ 4$
画出数轴，在数轴上分别标注出数$-1\frac{1}{3}$，$0$，$4$，$-3$，$2.5$对应的点。
根据数轴上的数从左到右依次增大的性质，可得从小到大的顺序为：
$-3 ＜ -1\frac{1}{3} ＜ 0 ＜ 2.5 ＜ 4$
解析
【分析】
解题时首先要明确数轴的三要素（原点、正方向、单位长度），先正确画出数轴；其次根据各数的正负性确定它们在数轴上的位置：正数在原点右侧，负数在原点左侧，0在原点处，对应标注出5个数的点；最后利用“数轴上的数从左到右依次增大”的性质，把各点按从左到右的顺序排列，对应写出数的大小关系即可。
【解析】
1. 画出带有原点、正方向、单位长度的标准数轴，根据各数的数值在数轴上对应位置标注出$-1\frac{1}{3}、0、4、-3、2.5$五个数的点；
2. 依据数轴的性质：数轴上的数从左到右依次增大，将标注的数按从左到右的顺序用“＜”连接。
【答案】
$-3 ＜ -1\frac{1}{3} ＜ 0 ＜ 2.5 ＜ 4$
【知识点】
数轴表示数；有理数大小比较
【点评】
本题属于基础题型，核心考查数轴的应用和有理数大小比较的规则，熟练掌握数轴上数的大小分布规律即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确数轴的三要素（原点、正方向、单位长度），先正确画出数轴；其次根据各数的正负性确定它们在数轴上的位置：正数在原点右侧，负数在原点左侧，0在原点处，对应标注出5个数的点；最后利用“数轴上的数从左到右依次增大”的性质，把各点按从左到右的顺序排列，对应写出数的大小关系即可。
【解析】
1. 画出带有原点、正方向、单位长度的标准数轴，根据各数的数值在数轴上对应位置标注出$-1\frac{1}{3}、0、4、-3、2.5$五个数的点；
2. 依据数轴的性质：数轴上的数从左到右依次增大，将标注的数按从左到右的顺序用“＜”连接。
【答案】
$-3 ＜ -1\frac{1}{3} ＜ 0 ＜ 2.5 ＜ 4$
【知识点】
数轴表示数；有理数大小比较
【点评】
本题属于基础题型，核心考查数轴的应用和有理数大小比较的规则，熟练掌握数轴上数的大小分布规律即可快速解题。
【难度系数】
0.9
14.表示有理数a,b,c的点在数轴上的位置如图所示.
(1)在横线上填入“＞”或“＜”:a 0, b 0,c 0,|c| |a|.
(2)试在数轴上找出表示－a,－b,－c的点;
(3)试用“＜”将a,－a,b,－b,c,－c,0连接起来.
(1)在横线上填入“＞”或“＜”:a 0, b 0,c 0,|c| |a|.
(2)试在数轴上找出表示－a,－b,－c的点;
(3)试用“＜”将a,－a,b,－b,c,－c,0连接起来.
答案
解：
(1) $＜$；$＞$；$＜$；$＞$
(2) 根据相反数的几何意义，互为相反数的两个数在数轴上对应的点关于原点对称：
① 表示$-a$的点是点$a$关于原点的对称点，位于原点和点$b$之间；
② 表示$-b$的点是点$b$关于原点的对称点，位于点$a$和原点之间；
③ 表示$-c$的点是点$c$关于原点的对称点，位于点$b$的右侧。
在数轴上述对应位置标注出三个点即可。
(3) 根据数轴上的有理数从左到右依次增大的大小比较法则，可得：
$c ＜ -b ＜ a ＜ 0 ＜ -a ＜ b ＜ -c$
(1) $＜$；$＞$；$＜$；$＞$
(2) 根据相反数的几何意义，互为相反数的两个数在数轴上对应的点关于原点对称：
① 表示$-a$的点是点$a$关于原点的对称点，位于原点和点$b$之间；
② 表示$-b$的点是点$b$关于原点的对称点，位于点$a$和原点之间；
③ 表示$-c$的点是点$c$关于原点的对称点，位于点$b$的右侧。
在数轴上述对应位置标注出三个点即可。
(3) 根据数轴上的有理数从左到右依次增大的大小比较法则，可得：
$c ＜ -b ＜ a ＜ 0 ＜ -a ＜ b ＜ -c$
解析
【分析】
解题时结合数轴的基本性质逐步推导：1. 首先明确数轴上原点左侧的数为负数、右侧为正数，可直接判断a、b、c和0的大小关系；绝对值是数轴上的点到原点的距离，对比c、a到原点的距离即可判断两个绝对值的大小。2. 互为相反数的两个数在数轴上对应的点关于原点对称，根据这个性质就能找到-a、-b、-c的对应位置。3. 数轴上的数满足“从左到右依次增大”的规律，把所有要比较的数对应的点按位置排序，就能得到从小到大的排列结果。
【解析】
(1) 观察数轴可知：a、c位于原点左侧，因此$a＜0$，$c＜0$；b位于原点右侧，因此$b＞0$；点c到原点的距离比点a到原点的距离更远，因此$|c|＞|a|$。
(2) 根据相反数的几何意义：互为相反数的两个数对应的点关于原点对称。①作点a关于原点的对称点，该点在原点和点b之间，即为表示$-a$的点；②作点b关于原点的对称点，该点在点a和原点之间，即为表示$-b$的点；③作点c关于原点的对称点，该点在点b的右侧，即为表示$-c$的点，在上述对应位置标注三个点即可。
(3) 按照数轴上“数从左到右依次增大”的比较规则，将$a,-a,b,-b,c,-c,0$的对应点按从左到右的顺序排列，即可得到大小关系。
【答案】
(1) $\boldsymbol{＜}$；$\boldsymbol{＞}$；$\boldsymbol{＜}$；$\boldsymbol{＞}$
(2) 在原点和b之间标注$-a$，在a和原点之间标注$-b$，在b右侧标注$-c$（标注过程略）
(3) $\boldsymbol{c ＜ -b ＜ a ＜ 0 ＜ -a ＜ b ＜ -c}$
【知识点】
数轴的应用；相反数的意义；有理数大小比较
【点评】
本题是有理数章节的基础综合题，核心考查数形结合思想的应用，熟练掌握数轴的相关性质就能快速解题，是该部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时结合数轴的基本性质逐步推导：1. 首先明确数轴上原点左侧的数为负数、右侧为正数，可直接判断a、b、c和0的大小关系；绝对值是数轴上的点到原点的距离，对比c、a到原点的距离即可判断两个绝对值的大小。2. 互为相反数的两个数在数轴上对应的点关于原点对称，根据这个性质就能找到-a、-b、-c的对应位置。3. 数轴上的数满足“从左到右依次增大”的规律，把所有要比较的数对应的点按位置排序，就能得到从小到大的排列结果。
【解析】
(1) 观察数轴可知：a、c位于原点左侧，因此$a＜0$，$c＜0$；b位于原点右侧，因此$b＞0$；点c到原点的距离比点a到原点的距离更远，因此$|c|＞|a|$。
(2) 根据相反数的几何意义：互为相反数的两个数对应的点关于原点对称。①作点a关于原点的对称点，该点在原点和点b之间，即为表示$-a$的点；②作点b关于原点的对称点，该点在点a和原点之间，即为表示$-b$的点；③作点c关于原点的对称点，该点在点b的右侧，即为表示$-c$的点，在上述对应位置标注三个点即可。
(3) 按照数轴上“数从左到右依次增大”的比较规则，将$a,-a,b,-b,c,-c,0$的对应点按从左到右的顺序排列，即可得到大小关系。
【答案】
(1) $\boldsymbol{＜}$；$\boldsymbol{＞}$；$\boldsymbol{＜}$；$\boldsymbol{＞}$
(2) 在原点和b之间标注$-a$，在a和原点之间标注$-b$，在b右侧标注$-c$（标注过程略）
(3) $\boldsymbol{c ＜ -b ＜ a ＜ 0 ＜ -a ＜ b ＜ -c}$
【知识点】
数轴的应用；相反数的意义；有理数大小比较
【点评】
本题是有理数章节的基础综合题，核心考查数形结合思想的应用，熟练掌握数轴的相关性质就能快速解题，是该部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
15.(应用能力)有5袋大米,以每袋25 kg为标准,超过标准的千克数记作正数,不足标准的千克数记作负数,各袋大米的千克数如下表所示.
(1)第①袋大米的实际质量是多少千克?
(2)把表中各数用“＜”连接.
(3)把各袋大米的袋号按袋中大米的质量从小到大排列,这一排列与第(2)题中各数排列的顺序是否一致?
(1)第①袋大米的实际质量是多少千克?
(2)把表中各数用“＜”连接.
(3)把各袋大米的袋号按袋中大米的质量从小到大排列,这一排列与第(2)题中各数排列的顺序是否一致?
答案
解：
(1) $25 + (-0.2) = 24.8$（kg）
答：第①袋大米的实际质量是24.8千克。
(2) $-0.3 ＜ -0.2 ＜ -0.1 ＜ 0.1 ＜ 0.2$
(3) 各袋大米实际质量：
①：$25-0.2=24.8\ \mathrm{kg}$，②：$25+0.1=25.1\ \mathrm{kg}$，③：$25-0.3=24.7\ \mathrm{kg}$，④：$25-0.1=24.9\ \mathrm{kg}$，⑤：$25+0.2=25.2\ \mathrm{kg}$
按质量从小到大排列袋号为：③ ＜ ① ＜ ④ ＜ ② ＜ ⑤，这一排列与第(2)题中各数排列的顺序一致。
(1) $25 + (-0.2) = 24.8$（kg）
答：第①袋大米的实际质量是24.8千克。
(2) $-0.3 ＜ -0.2 ＜ -0.1 ＜ 0.1 ＜ 0.2$
(3) 各袋大米实际质量：
①：$25-0.2=24.8\ \mathrm{kg}$，②：$25+0.1=25.1\ \mathrm{kg}$，③：$25-0.3=24.7\ \mathrm{kg}$，④：$25-0.1=24.9\ \mathrm{kg}$，⑤：$25+0.2=25.2\ \mathrm{kg}$
按质量从小到大排列袋号为：③ ＜ ① ＜ ④ ＜ ② ＜ ⑤，这一排列与第(2)题中各数排列的顺序一致。
解析
【分析】
(1) 计算第①袋大米的实际质量，依据“实际质量=标准质量+对应偏差值”求解即可，其中标准质量为25kg，第①袋的偏差数为-0.2。
(2) 有理数大小比较规则：负数小于正数，负数比较时绝对值大的数反而小，正数比较时绝对值大的数更大，按该规则对表中数排序即可。
(3) 每袋大米实际质量为25与对应偏差值的和，偏差值越小则实际质量越小，先计算各袋实际质量，再按质量从小到大排列袋号，最后和第(2)问的数的排序对比，判断是否一致。
【解析】
(1) 已知每袋大米标准质量为25kg，第①袋偏差为-0.2kg，因此实际质量为：
$25 + (-0.2) = 24.8$（kg）
(2) 先比较负数大小：$|-0.3|=0.3$，$|-0.2|=0.2$，$|-0.1|=0.1$，根据负数绝对值越大数值越小，可得$-0.3 ＜ -0.2 ＜ -0.1$；再比较正数大小得$0.1 ＜ 0.2$，且所有负数小于正数，因此排序为：
$-0.3 ＜ -0.2 ＜ -0.1 ＜ 0.1 ＜ 0.2$
(3) 计算各袋实际质量：
①：$25-0.2=24.8\ \mathrm{kg}$，②：$25+0.1=25.1\ \mathrm{kg}$，③：$25-0.3=24.7\ \mathrm{kg}$，④：$25-0.1=24.9\ \mathrm{kg}$，⑤：$25+0.2=25.2\ \mathrm{kg}$
按质量从小到大对应袋号为：③ ＜ ① ＜ ④ ＜ ② ＜ ⑤，该排列与第(2)题中各数排列顺序一致。
【答案】
(1) 24.8千克
(2) $\boldsymbol{-0.3 ＜ -0.2 ＜ -0.1 ＜ 0.1 ＜ 0.2}$
(3) 袋号按质量从小到大排列为$\boldsymbol{③＜①＜④＜②＜⑤}$，与第(2)题排列顺序一致。
【知识点】
正负数的实际应用，有理数大小比较，有理数加减运算
【点评】
本题结合生活称重场景考查基础知识点，解题核心是理解正负数表示的偏差含义，明确实际质量、标准质量、偏差三者的数量关系，同时要熟练掌握有理数大小比较的规则，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.85
(1) 计算第①袋大米的实际质量，依据“实际质量=标准质量+对应偏差值”求解即可，其中标准质量为25kg，第①袋的偏差数为-0.2。
(2) 有理数大小比较规则：负数小于正数，负数比较时绝对值大的数反而小，正数比较时绝对值大的数更大，按该规则对表中数排序即可。
(3) 每袋大米实际质量为25与对应偏差值的和，偏差值越小则实际质量越小，先计算各袋实际质量，再按质量从小到大排列袋号，最后和第(2)问的数的排序对比，判断是否一致。
【解析】
(1) 已知每袋大米标准质量为25kg，第①袋偏差为-0.2kg，因此实际质量为：
$25 + (-0.2) = 24.8$（kg）
(2) 先比较负数大小：$|-0.3|=0.3$，$|-0.2|=0.2$，$|-0.1|=0.1$，根据负数绝对值越大数值越小，可得$-0.3 ＜ -0.2 ＜ -0.1$；再比较正数大小得$0.1 ＜ 0.2$，且所有负数小于正数，因此排序为：
$-0.3 ＜ -0.2 ＜ -0.1 ＜ 0.1 ＜ 0.2$
(3) 计算各袋实际质量：
①：$25-0.2=24.8\ \mathrm{kg}$，②：$25+0.1=25.1\ \mathrm{kg}$，③：$25-0.3=24.7\ \mathrm{kg}$，④：$25-0.1=24.9\ \mathrm{kg}$，⑤：$25+0.2=25.2\ \mathrm{kg}$
按质量从小到大对应袋号为：③ ＜ ① ＜ ④ ＜ ② ＜ ⑤，该排列与第(2)题中各数排列顺序一致。
【答案】
(1) 24.8千克
(2) $\boldsymbol{-0.3 ＜ -0.2 ＜ -0.1 ＜ 0.1 ＜ 0.2}$
(3) 袋号按质量从小到大排列为$\boldsymbol{③＜①＜④＜②＜⑤}$，与第(2)题排列顺序一致。
【知识点】
正负数的实际应用，有理数大小比较，有理数加减运算
【点评】
本题结合生活称重场景考查基础知识点，解题核心是理解正负数表示的偏差含义，明确实际质量、标准质量、偏差三者的数量关系，同时要熟练掌握有理数大小比较的规则，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.85
