11. 已知$a,b,c$为实数，且$b+c=5-4a+3a^2$，$c-b=1-2a+a^2$，则$a,b,c$之间的大小关系是()

A.$a ＜ b ≤ c$
B.$b ＜ a ≤ c$
C.$b ≤ c ＜ a$
D.$c ＜ a ≤ b$

A 【点拨】$\because b+c=5-4a+3a^2$,①$c-b=1-2a+a^2$，②$\therefore$①$-$②得$2b=2a^2-2a+4$,即$b=a^2-a+2. \therefore b-a=a^2-a+2-a=(a-1)^2+1＞0. \therefore b＞a.$又$\because c-b=a^2-2a+1=(a-1)^2\ge0, \therefore c\ge b. \therefore a＜b\le c.$故选A.

12. [无锡模拟] 已知方程$x^2 - 4104676 = 0$的两根为$x_1 = 2026, x_2 = -2026$，则方程$x^2 - 2x - 4104675 = 0$的两根为。

$x_1=2\ 027,x_2=-2\ 025$ 【点拨】$x^2 - 2x - 4\ 104\ 675 = 0$,则$x^2 - 2x = 4\ 104\ 675, \therefore x^2 - 2x + 1 = 4\ 104\ 675 + 1.$
$\therefore (x-1)^2 = 4\ 104\ 676. \therefore x-1 = \pm 2\ 026. \therefore x_1=2\ 027, x_2=-2\ 025.$

13. ★★ 新考法 数形结合法 已知点A,B,C在数轴上的位置如图所示，O为原点，且O为AB的中点，B为AC的中点.若点B表示的数为$x^2 + 2x - 2$，则x的值是.

2

14. 新趋势 学科内综合 已知关于$x$的一元二次方程$(a-3)x^2 -8x +a^2 -1=0$.
(1)若方程有一个根为0,则实数$a$的值为;
(2)当$a=4$时,等腰三角形$ABC$的底边长和腰长分别是一元二次方程$(a-3)x^2 -8x +a^2 -1=0$的两个根,请求出$△ ABC$的周长.

【解】(1)1或−1
(2)当$a=4$时,方程为$x^2 - 8x + 4^2 - 1 = 0$，整理,得$x^2 - 8x + 15 = 0$，配方,得$(x-4)^2 = -15 + 16$,即$(x-4)^2 = 1$，直接开平方,得$x-4=-1$或$x-4=1$，解得$x_1=3,x_2=5.$
当$△ ABC$的底边长为3时,该三角形的三边长分别为3,5,5,$\therefore$其周长为13，
当$△ ABC$的底边长为5时,该三角形的三边长分别为5,3,3,$\therefore$其周长为11.
综上所述,$△ ABC$的周长为13或11.

15. 李老师提出问题:求代数式$x^2 + 4x +5$的最小值. 要求同学们运用所学知识进行解答.
同学们经过探索、交流和讨论,最后总结出如下解答方法:
解:$x^2 +4x +5 =x^2 +4x +2^2 -2^2 +5=(x+2)^2 +1$.
$\because (x+2)^2 ≥0, \therefore (x+2)^2 +1 ≥1$.
$\therefore$当$(x+2)^2=0$时,$(x+2)^2 +1$的值最小,最小值是1.
即$x^2 +4x +5$的最小值是1.
请你根据上述方法,解答下列各题.
(1)$(x-1)^2 +3$的最小值为.
(2)求代数式$x^2 +10x +32$的最小值.
(3)你认为代数式$-\frac{1}{3}x^2 +2x +5$有最大值还是有最小值?求出该最大值或最小值.
(4)若$7x -x^2 + y -11=0$,求$x + y$的最小值.

【解】(1)3
(2)$x^2 + 10x + 32 = x^2 + 10x + 5^2 - 5^2 + 32 = (x+5)^2 +7.$
$\because (x+5)^2 \ge 0, \therefore (x+5)^2 +7 \ge7.$
$\therefore$当$(x+5)^2=0$时,$(x+5)^2 +7$的值最小,最小值为7，即$x^2 +10x +32$的最小值为7.
(3)有最大值.$-\dfrac{1}{3}x^2 + 2x +5 = -\dfrac{1}{3}(x^2 -6x +9) +8 = -\dfrac{1}{3}(x-3)^2 +8.$
$\because -\dfrac{1}{3}(x-3)^2 \le 0, \therefore -\dfrac{1}{3}(x-3)^2 +8 \le 8.$
$\therefore$当$-\dfrac{1}{3}(x-3)^2=0$时,代数式$-\dfrac{1}{3}x^2 +2x +5$有最大值,最大值为8.
(4)$\because 7x -x^2 + y -11 =0, \therefore y = x^2 -7x +11.$
$\therefore x+y = x + x^2 -7x +11 = x^2 -6x +11 = x^2 -6x +3^2 -3^2 +11 = (x-3)^2 +2.$
$\because (x-3)^2 \ge 0, \therefore (x-3)^2 +2 \ge 2.$
$\therefore$当$(x-3)^2=0$时,$(x-3)^2 +2$的值最小,最小值为2，即$x+y$的最小值为2.
点易错 用配方法求代数式的最值时,不能改变代数式的值,配方时,加上一个数后必须再减去这个数,以保证代数式的值不变.