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8 已知在平面直角坐标系$xOy$中，直线$y=2x+2$和直线$y=\frac{2}{3}x+2$分别交$x$轴于点$A$和点$B$，则下列直线中，与$x$轴的交点不在线段$AB$上的直线是(
A.$y=x+2$
B.$y=\sqrt{2}x+2$
C.$y=4x+2$
D.$y=\frac{2\sqrt{3}}{3}x+2$
C
).A.$y=x+2$
B.$y=\sqrt{2}x+2$
C.$y=4x+2$
D.$y=\frac{2\sqrt{3}}{3}x+2$
答案
C
[解析]$∵$直线 $y=2x+2$ 和直线 $y=\frac{2}{3}x+2$ 分别交$x$ 轴于点 $A$ 和点 $B$,$∴A(-1,0)$,$B(-3,0)$.
A. $y=x+2$ 与 $x$ 轴的交点为$(-2,0)$,故直线 $y=x+2$ 与$x$ 轴的交点在线段 $AB$ 上;B. $y=\sqrt{2}x+2$ 与 $x$ 轴的交点为$(-\sqrt{2},0)$,故直线 $y=\sqrt{2}x+2$ 与 $x$ 轴的交点在线段 $AB$上;C. $y=4x+2$ 与 $x$ 轴的交点为 $(-\frac{1}{2},0)$,故直线 $y=4x+2$ 与 $x$ 轴的交点不在线段 $AB$ 上;D. $y=\frac{2\sqrt{3}}{3}x+2$ 与$x$ 轴的交点为 $(-\sqrt{3},0)$,故直线 $y=\frac{2\sqrt{3}}{3}x+2$ 与 $x$ 轴的交点在线段 $AB$ 上. 故选 C.
[解析]$∵$直线 $y=2x+2$ 和直线 $y=\frac{2}{3}x+2$ 分别交$x$ 轴于点 $A$ 和点 $B$,$∴A(-1,0)$,$B(-3,0)$.
A. $y=x+2$ 与 $x$ 轴的交点为$(-2,0)$,故直线 $y=x+2$ 与$x$ 轴的交点在线段 $AB$ 上;B. $y=\sqrt{2}x+2$ 与 $x$ 轴的交点为$(-\sqrt{2},0)$,故直线 $y=\sqrt{2}x+2$ 与 $x$ 轴的交点在线段 $AB$上;C. $y=4x+2$ 与 $x$ 轴的交点为 $(-\frac{1}{2},0)$,故直线 $y=4x+2$ 与 $x$ 轴的交点不在线段 $AB$ 上;D. $y=\frac{2\sqrt{3}}{3}x+2$ 与$x$ 轴的交点为 $(-\sqrt{3},0)$,故直线 $y=\frac{2\sqrt{3}}{3}x+2$ 与 $x$ 轴的交点在线段 $AB$ 上. 故选 C.
9 甲、乙二人登山，均从距离地面0米处出发，甲、乙二人距离地面的高度$y$(米)关于甲出发时间$x$(分钟)的函数图象如图所示，已知甲在出发2分钟后将速度提升为原来的3倍并一路登顶，乙始终保持匀速前进。根据图象判断，以下说法正确的有(
①山的高度为340米；②甲、乙二人不同时出发；
③甲登顶的时间为自己出发后7分钟；④乙出发42.5分钟后登顶；⑤甲出发5分钟后追上乙.
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
A
).①山的高度为340米；②甲、乙二人不同时出发；
③甲登顶的时间为自己出发后7分钟；④乙出发42.5分钟后登顶；⑤甲出发5分钟后追上乙.
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
答案
A
[解析]如图,①由函数图象可得山的高度为 340 米,故此说法正确,符合题意;
②$∵$甲、乙二人登山,均从距离地面 0 米处出发,由图象可得 $O(0,0)$,$A(0,180)$,
$∴$甲出发时,乙已经距离地面 180 米,即甲、乙二人不同时出发,故此说法正确,符合题意;
③由图象可得甲出发 1 分钟时,距离地面 20 米,
$∴$甲在出发 2 分钟内的登山速度为 20 米/分钟.
$∵$甲在出发 2 分钟后将速度提升为原来的 3 倍并一路登顶,
$∴$甲在出发 2 分钟后的登山速度为 60 米/分钟.
$∵\frac{340-20×2}{60}=5$(分钟),$2+5=7$(分钟),
$∴$甲登顶的时间为自己出发后 7 分钟,故此说法正确,符合题意;
④由图象可得,乙的登山速度为 $\frac{340-180}{20}=8$(米/分钟),
$∴$乙的登山时间为 $\frac{340}{8}=42.5$(分钟),即乙出发 42.5 分钟后登顶,故此说法正确,符合题意;
⑤由图象可设直线 $AB$ 的函数表达式为 $y=kx+180$,把$(20,340)$代入,得 $20k+180=340$,$∴k=8$,
$∴$直线 $AB$ 的函数表达式为 $y=8x+180$.
设直线 $CD$ 的函数表达式为 $y=60x+n$,
把$(2,40)$代入,得 $120+n=40$,$∴n=-80$,
$∴$直线 $CD$ 的函数表达式为 $y=60x-80$.
令 $8x+180=60x-80$,解得 $x=5$,
$∴$甲出发 5 分钟后追上乙,故此说法正确,符合题意.
综上所述,正确的说法共有 5 个. 故选 A.
归纳总结 本题主要考查一次函数的应用,用待定系数法求一次函数表达式,并会用一次函数研究实际问题,关键是准确识图.
[解析]如图,①由函数图象可得山的高度为 340 米,故此说法正确,符合题意;
②$∵$甲、乙二人登山,均从距离地面 0 米处出发,由图象可得 $O(0,0)$,$A(0,180)$,
$∴$甲出发时,乙已经距离地面 180 米,即甲、乙二人不同时出发,故此说法正确,符合题意;
③由图象可得甲出发 1 分钟时,距离地面 20 米,
$∴$甲在出发 2 分钟内的登山速度为 20 米/分钟.
$∵$甲在出发 2 分钟后将速度提升为原来的 3 倍并一路登顶,
$∴$甲在出发 2 分钟后的登山速度为 60 米/分钟.
$∵\frac{340-20×2}{60}=5$(分钟),$2+5=7$(分钟),
$∴$甲登顶的时间为自己出发后 7 分钟,故此说法正确,符合题意;
④由图象可得,乙的登山速度为 $\frac{340-180}{20}=8$(米/分钟),
$∴$乙的登山时间为 $\frac{340}{8}=42.5$(分钟),即乙出发 42.5 分钟后登顶,故此说法正确,符合题意;
⑤由图象可设直线 $AB$ 的函数表达式为 $y=kx+180$,把$(20,340)$代入,得 $20k+180=340$,$∴k=8$,
$∴$直线 $AB$ 的函数表达式为 $y=8x+180$.
设直线 $CD$ 的函数表达式为 $y=60x+n$,
把$(2,40)$代入,得 $120+n=40$,$∴n=-80$,
$∴$直线 $CD$ 的函数表达式为 $y=60x-80$.
令 $8x+180=60x-80$,解得 $x=5$,
$∴$甲出发 5 分钟后追上乙,故此说法正确,符合题意.
综上所述,正确的说法共有 5 个. 故选 A.
归纳总结 本题主要考查一次函数的应用,用待定系数法求一次函数表达式,并会用一次函数研究实际问题,关键是准确识图.
10 新情境 实行阶梯电费 为了促进节能减排，倡导节约用电，某市将实行居民生活用电阶梯电价方案，如图，图中折线反映了每户每月用电电费$y$(元)与用电量$x$(千瓦时)间的函数表达式。阶梯电价方案分为三个档次，如下表：
(1)小明家某月用电120千瓦时，需交电费
(2)求第二档每月电费$y$(元)与用电量$x$(千瓦时)之间的函数表达式；
(3)在每月用电量超过230千瓦时，每多用1千瓦时电要比第二档多付电费$m$元，小刚家某月用电290千瓦时，交电费153元，求$m$的值。
(1)小明家某月用电120千瓦时，需交电费
54
元；(2)求第二档每月电费$y$(元)与用电量$x$(千瓦时)之间的函数表达式；
(3)在每月用电量超过230千瓦时，每多用1千瓦时电要比第二档多付电费$m$元，小刚家某月用电290千瓦时，交电费153元，求$m$的值。
答案
(1)54
[解析]根据第一档范围是 $0⩽x⩽140$,
设表达式为 $y=kx$,将$(140,63)$代入,得 $63=140k$,解得$k=0.45$,$∴y=0.45x$.
当 $x=120$ 时,$y=0.45×120=54$.
(2)设第二档每月电费 $y$(元)与用电量 $x$(千瓦时)之间的函数表达式为 $y=ax+c$,
将$(140,63)$代入,得 $140a+c=63$,即 $c=63-140a$.
将$(230,108)$代入,得 $230a+c=108$,
即 $230a+63-140a=108$,解得 $a=\frac{1}{2}$,
则 $c=63-140a=-7$.
故第二档每月电费 $y$(元)与用电量 $x$(千瓦时)之间的函数表达式为 $y=\frac{1}{2}x-7(140＜x⩽230)$.
(3)由 $y=\frac{1}{2}x-7$ 知,第二档电费为 0.5 元/千瓦时.
$∵$小刚家某月用电 290 千瓦时,交电费 153 元,
$∴290-230=60$(千瓦时),$153-108=45$(元),
$45÷60=0.75$(元/千瓦时),$∴m=0.75-0.5=0.25$.
故 $m$ 的值为 0.25.
[解析]根据第一档范围是 $0⩽x⩽140$,
设表达式为 $y=kx$,将$(140,63)$代入,得 $63=140k$,解得$k=0.45$,$∴y=0.45x$.
当 $x=120$ 时,$y=0.45×120=54$.
(2)设第二档每月电费 $y$(元)与用电量 $x$(千瓦时)之间的函数表达式为 $y=ax+c$,
将$(140,63)$代入,得 $140a+c=63$,即 $c=63-140a$.
将$(230,108)$代入,得 $230a+c=108$,
即 $230a+63-140a=108$,解得 $a=\frac{1}{2}$,
则 $c=63-140a=-7$.
故第二档每月电费 $y$(元)与用电量 $x$(千瓦时)之间的函数表达式为 $y=\frac{1}{2}x-7(140＜x⩽230)$.
(3)由 $y=\frac{1}{2}x-7$ 知,第二档电费为 0.5 元/千瓦时.
$∵$小刚家某月用电 290 千瓦时,交电费 153 元,
$∴290-230=60$(千瓦时),$153-108=45$(元),
$45÷60=0.75$(元/千瓦时),$∴m=0.75-0.5=0.25$.
故 $m$ 的值为 0.25.
11 如图,一次函数 $y=-\dfrac{2}{3}x+4$ 的图象分别与x轴,y轴交于点A,B,以线段AB为边在第一象限内作等腰直角三角形ABC,∠BAC=90°,求过B,C两点的直线的表达式.
答案
在 $y=-\frac{2}{3}x+4$ 中,令 $x=0$,得 $y=4$;令 $y=0$,得 $x=6$,
$∴$点 $B$ 的坐标是$(0,4)$,点 $A$ 的坐标是$(6,0)$.
由题意,得$∠BAC=90°$,$∴∠OAB+∠CAD=90°$.
又$∠CAD+∠ACD=90°$,$∴∠ACD=∠BAO$.
在$△ ABO$ 和$△ CAD$ 中,$\begin{cases} ∠BOA=∠ADC=90°,\\ ∠BAO=∠ACD,\\ AB=CA, \end{cases}$
$∴△ ABO≅△ CAD(\mathrm{AAS})$,
$∴OB=AD=4$,$OA=CD=6$.
$∴OD=OA+AD=10$,则点 $C$ 的坐标是$(10,6)$.
设直线 $BC$ 的表达式是 $y=kx+b$,
把 $B(0,4)$ 代入,得 $b=4$. 把 $C(10,6)$ 代入 $y=kx+4$,得
$10k+4=6$,解得 $k=\frac{1}{5}$,
$∴$直线 $BC$ 的表达式是 $y=\frac{1}{5}x+4$.
