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1（2025·安徽宿州宿城第一初级中学期末）下列函数中，是一次函数的是（
A.$y=\frac{x}{2}$
B.$y=\frac{5}{x}$
C.$y=x^2+3$
D.$y=mx+n(m,n是常数)$
A
）。A.$y=\frac{x}{2}$
B.$y=\frac{5}{x}$
C.$y=x^2+3$
D.$y=mx+n(m,n是常数)$
答案
A
2 如图，一次函数 $y=kx+b$ 的图象与正比例函数 $y=2x$ 的图象互相平行，且经过点A，则一次函数 $y=kx+b$ 的表达式为
$y=2x-4$
。答案
$y=2x-4$
3 在同一平面直角坐标系中，一次函数 $ y = ax + a^2 $ 与 $ y = a^2x + a $ 的图象可能是(
D
). 答案
D
[解析]当 $x=1$ 时,两个函数的函数值 $y=a+a^2$,即两个图象都过点$(1,a+a^2)$,故选项 A,C 不符合题意;当 $a＞0$时,$a^2＞0$,一次函数 $y=ax+a^2$ 经过一、二、三象限,一次函数 $y=a^2x+a$ 经过一、二、三象限,都与 $y$ 轴正半轴有交点,故选项 B 不符合题意;当 $a＜0$ 时,$a^2＞0$,一次函数$y=ax+a^2$ 经过一、二、四象限,与 $y$ 轴正半轴有交点,一次函数 $y=a^2x+a$ 经过一、三、四象限,与 $y$ 轴负半轴有交点,故选项 D 符合题意. 故选 D.
解后反思 本题主要考查了一次函数的图象与性质. 理解和掌握它的性质是解题的关键.
一次函数 $y=kx+b$ 的图象有四种情况:
①当 $k＞0,b＞0$ 时,函数 $y=kx+b$ 的图象经过第一、二、三象限;②当 $k＞0,b＜0$ 时,函数 $y=kx+b$ 的图象经过第一、三、四象限;③当 $k＜0,b＞0$ 时,函数 $y=kx+b$ 的图象经过第一、二、四象限;④当 $k＜0,b＜0$ 时,函数 $y=kx+b$的图象经过第二、三、四象限.
[解析]当 $x=1$ 时,两个函数的函数值 $y=a+a^2$,即两个图象都过点$(1,a+a^2)$,故选项 A,C 不符合题意;当 $a＞0$时,$a^2＞0$,一次函数 $y=ax+a^2$ 经过一、二、三象限,一次函数 $y=a^2x+a$ 经过一、二、三象限,都与 $y$ 轴正半轴有交点,故选项 B 不符合题意;当 $a＜0$ 时,$a^2＞0$,一次函数$y=ax+a^2$ 经过一、二、四象限,与 $y$ 轴正半轴有交点,一次函数 $y=a^2x+a$ 经过一、三、四象限,与 $y$ 轴负半轴有交点,故选项 D 符合题意. 故选 D.
解后反思 本题主要考查了一次函数的图象与性质. 理解和掌握它的性质是解题的关键.
一次函数 $y=kx+b$ 的图象有四种情况:
①当 $k＞0,b＞0$ 时,函数 $y=kx+b$ 的图象经过第一、二、三象限;②当 $k＞0,b＜0$ 时,函数 $y=kx+b$ 的图象经过第一、三、四象限;③当 $k＜0,b＞0$ 时,函数 $y=kx+b$ 的图象经过第一、二、四象限;④当 $k＜0,b＜0$ 时,函数 $y=kx+b$的图象经过第二、三、四象限.
4 (2024·山东菏泽期末)如图，已知一次函数$y=kx-3$的图象经过点$M(-2,1)$，且与$x$轴交于点$A$，与$y$轴交于点$B$。
(1)求$k$的值；
(2)求$△ AOB$的面积。
(1)求$k$的值；
(2)求$△ AOB$的面积。
答案
(1)$∵$一次函数 $y=kx-3$ 的图象经过点 $M(-2,1)$,
$∴1=-2k-3$,解得 $k=-2$. 故 $k$ 的值为$-2$.
(2)由(1)可知直线 $AB$ 的表达式为 $y=-2x-3$,
当 $x=0$ 时,$y=-2×0-3=-3$,
$∴$点 $B$ 的坐标为$(0,-3)$,$∴OB=3$.
当 $y=0$ 时,$-2x-3=0$,解得 $x=-\frac{3}{2}$,
$∴$点 $A$ 的坐标为 $(-\frac{3}{2},0)$,$∴OA=\frac{3}{2}$,
$∴S_{△ AOB}=\frac{1}{2}OA· OB=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×3=\frac{9}{4}$.
$∴1=-2k-3$,解得 $k=-2$. 故 $k$ 的值为$-2$.
(2)由(1)可知直线 $AB$ 的表达式为 $y=-2x-3$,
当 $x=0$ 时,$y=-2×0-3=-3$,
$∴$点 $B$ 的坐标为$(0,-3)$,$∴OB=3$.
当 $y=0$ 时,$-2x-3=0$,解得 $x=-\frac{3}{2}$,
$∴$点 $A$ 的坐标为 $(-\frac{3}{2},0)$,$∴OA=\frac{3}{2}$,
$∴S_{△ AOB}=\frac{1}{2}OA· OB=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×3=\frac{9}{4}$.
5（2023·黑龙江中考）已知甲、乙两地相距480 km，一辆出租车从甲地出发往返于甲、乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120 km，货车继续出发$\frac{2}{3}$h后与出租车相遇。出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地。如图是两车距各自出发地的距离y(km)与货车行驶时间x(h)之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
(1)图中a的值是
(2)求货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数表达式；
(3)直接写出在出租车返回的行驶过程中，货车出发多长时间与出租车相距12 km。
(1)图中a的值是
120
；(2)求货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数表达式；
(3)直接写出在出租车返回的行驶过程中，货车出发多长时间与出租车相距12 km。
答案
(1)120
[解析]由图象知,$C(4,480)$,
设直线 $OC$ 的表达式为 $y=kx$,
把 $C(4,480)$ 代入,得 $480=4k$,解得 $k=120$,
$∴$直线 $OC$ 的表达式为 $y=120x$.
把$(1,a)$代入 $y=120x$,得 $a=120$.
(2)$∵a=120$,$∴$货车装货时与乙地相距 120 km,$∴$货车装完货物后,出租车距离乙地为 $120+120=240(\mathrm{km})$,
$∴$出租车距离甲地为 $480-240=240(\mathrm{km})$.
把 $y=240$ 代入 $y=120x$,得 $240=120x$,解得 $x=2$,
$∴$货车装完货物时,$x=2$,$∴B(2,120)$,
根据货车继续出发$\frac{2}{3}$ h后与出租车相遇，
可得$\frac{2}{3}×($出租车的速度$+$货车的速度$)=120$,根据直线$OC$ 的表达式为 $y=120x(0⩽x⩽4)$,可得出出租车的速度为120 km/h,$∴$相遇时,货车的速度为 60 km/h. 故可设直线$BG$ 的表达式为 $y=60x+b$,将 $B(2,120)$ 代入 $y=60x+b$,得 $120=120+b$,解得 $b=0$,$∴y=60x$,当 $y=480$ 时,$x=6$,$∴$直线 $BG$ 的表达式为 $y=60x(2⩽x⩽8)$. 故货车装完货物后驶往甲地的过程中,距其出发地的距离 $y(\mathrm{km})$与行驶时间 $x(\mathrm{h})$之间的函数表达式为 $y=60x(2⩽x⩽8)$.
(3)把 $y=480$ 代入 $y=60x$,得 $480=60x$,
解得 $x=8$,$∴G(8,480)$,$∴F(8,0)$.
由出租车到达乙地后立即按原路返回,结果比货车早 15 分钟到达甲地,得 $EF=\frac{15}{60}=\frac{1}{4}$,$∴E(\frac{31}{4},0)$,$∴$出租车返回后的速度为 $480÷(\frac{31}{4}-4)=128(\mathrm{km/h})$.
设在出租车返回的行驶过程中,货车出发 $t$ 小时,与出租车相距 12 km,
此时货车距离乙地为 $60t$ km,出租车距离乙地为 $128(t-4)=(128t-512)\mathrm{km}$.
①出租车和货车第二次相遇前,相距 12 km 时,$60t_1-(128t_1-512)=12$,解得 $t_1=\frac{125}{17}$;
②出租车和货车第二次相遇后,相距 12 km 时,$(128t_2-512)-60t_2=12$,解得 $t_2=\frac{131}{17}$.
故在出租车返回的行驶过程中,货车出发$\frac{125}{17}$ h或$\frac{131}{17}$ h时与出租车相距 12 km.
[解析]由图象知,$C(4,480)$,
设直线 $OC$ 的表达式为 $y=kx$,
把 $C(4,480)$ 代入,得 $480=4k$,解得 $k=120$,
$∴$直线 $OC$ 的表达式为 $y=120x$.
把$(1,a)$代入 $y=120x$,得 $a=120$.
(2)$∵a=120$,$∴$货车装货时与乙地相距 120 km,$∴$货车装完货物后,出租车距离乙地为 $120+120=240(\mathrm{km})$,
$∴$出租车距离甲地为 $480-240=240(\mathrm{km})$.
把 $y=240$ 代入 $y=120x$,得 $240=120x$,解得 $x=2$,
$∴$货车装完货物时,$x=2$,$∴B(2,120)$,
根据货车继续出发$\frac{2}{3}$ h后与出租车相遇，
可得$\frac{2}{3}×($出租车的速度$+$货车的速度$)=120$,根据直线$OC$ 的表达式为 $y=120x(0⩽x⩽4)$,可得出出租车的速度为120 km/h,$∴$相遇时,货车的速度为 60 km/h. 故可设直线$BG$ 的表达式为 $y=60x+b$,将 $B(2,120)$ 代入 $y=60x+b$,得 $120=120+b$,解得 $b=0$,$∴y=60x$,当 $y=480$ 时,$x=6$,$∴$直线 $BG$ 的表达式为 $y=60x(2⩽x⩽8)$. 故货车装完货物后驶往甲地的过程中,距其出发地的距离 $y(\mathrm{km})$与行驶时间 $x(\mathrm{h})$之间的函数表达式为 $y=60x(2⩽x⩽8)$.
(3)把 $y=480$ 代入 $y=60x$,得 $480=60x$,
解得 $x=8$,$∴G(8,480)$,$∴F(8,0)$.
由出租车到达乙地后立即按原路返回,结果比货车早 15 分钟到达甲地,得 $EF=\frac{15}{60}=\frac{1}{4}$,$∴E(\frac{31}{4},0)$,$∴$出租车返回后的速度为 $480÷(\frac{31}{4}-4)=128(\mathrm{km/h})$.
设在出租车返回的行驶过程中,货车出发 $t$ 小时,与出租车相距 12 km,
此时货车距离乙地为 $60t$ km,出租车距离乙地为 $128(t-4)=(128t-512)\mathrm{km}$.
①出租车和货车第二次相遇前,相距 12 km 时,$60t_1-(128t_1-512)=12$,解得 $t_1=\frac{125}{17}$;
②出租车和货车第二次相遇后,相距 12 km 时,$(128t_2-512)-60t_2=12$,解得 $t_2=\frac{131}{17}$.
故在出租车返回的行驶过程中,货车出发$\frac{125}{17}$ h或$\frac{131}{17}$ h时与出租车相距 12 km.
6（2025·福建三明永安期中）下列关于一次函数$y=-x+1$的说法中，错误的是(
A.其图象经过第一、二、四象限
B.其图象与$x$轴的交点坐标为$(-1,0)$
C.其图象一定经过点$(2,-1)$
D.$y$随$x$的增大而减小
B
)。A.其图象经过第一、二、四象限
B.其图象与$x$轴的交点坐标为$(-1,0)$
C.其图象一定经过点$(2,-1)$
D.$y$随$x$的增大而减小
答案
B
7 如图，在平面直角坐标系中，点$A(-1,m)$在直线$y=2x+3$上，连接$OA$，将线段$OA$绕点$O$顺时针旋转$90°$，点$A$的对应点$B$恰好落在直线$y=-x+b$上，则$b$的值为(
A.$-2$
B.$1$
C.$\frac{3}{2}$
D.$2$
（第7题）（第9题）
D
).A.$-2$
B.$1$
C.$\frac{3}{2}$
D.$2$
（第7题）（第9题）
答案
D
[解析]把 $A(-1,m)$ 代入 $y=2x+3$,得 $m=-2+3=1$.
因为线段 $OA$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $90°$,点 $A$ 的对应点为点$B$,所以点 $B$ 的坐标为$(1,1)$,把 $B(1,1)$ 代入 $y=-x+b$,得 $1=-1+b$,解得 $b=2$. 故选 D.
[解析]把 $A(-1,m)$ 代入 $y=2x+3$,得 $m=-2+3=1$.
因为线段 $OA$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $90°$,点 $A$ 的对应点为点$B$,所以点 $B$ 的坐标为$(1,1)$,把 $B(1,1)$ 代入 $y=-x+b$,得 $1=-1+b$,解得 $b=2$. 故选 D.
