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1. 下列一定是二次函数的是 （
A.$y=-3x-1$；
B.$y=(m-1)x^2$（$m$为实数）；
C.$y=\frac{1}{2}x^2 -3x -1$；
D.$y=7x(1-x)+7x^2$。
C
）A.$y=-3x-1$；
B.$y=(m-1)x^2$（$m$为实数）；
C.$y=\frac{1}{2}x^2 -3x -1$；
D.$y=7x(1-x)+7x^2$。
答案
1. C.
解析
【分析】
要判断是否为二次函数，首先需牢记二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$）的函数是二次函数，判定需满足三个条件：①解析式是整式；②自变量的最高次数为2；③二次项系数不为0。解题时我们逐一验证每个选项是否符合这三个条件即可。
【解析】
根据二次函数的定义逐一分析选项：
选项A：$y=-3x-1$中自变量$x$的最高次数为1，属于一次函数，不符合二次函数定义，排除；
选项B：$y=(m-1)x^2$中，当$m=1$时，二次项系数$m-1=0$，此时函数变为常数函数$y=0$，不是二次函数，因此该函数不一定是二次函数，排除；
选项C：$y=\frac{1}{2}x^2 -3x -1$符合$y=ax^2+bx+c$的形式，其中二次项系数$a=\frac{1}{2}≠0$，自变量最高次数为2，满足二次函数的所有判定条件，一定是二次函数；
选项D：先化简解析式：$y=7x(1-x)+7x^2=7x-7x^2+7x^2=7x$，自变量最高次数为1，属于一次函数，不符合二次函数定义，排除。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的概念、整式的化简、一次函数的概念
【点评】
本题考查二次函数的判定，属于基础概念题，易错点有两个：一是忽略二次项系数不能为0的要求，误选B选项；二是遇到可化简的解析式没有先化简就直接判断，误选D选项，解题时要紧扣定义，认真审题。
【难度系数】
0.8
要判断是否为二次函数，首先需牢记二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$）的函数是二次函数，判定需满足三个条件：①解析式是整式；②自变量的最高次数为2；③二次项系数不为0。解题时我们逐一验证每个选项是否符合这三个条件即可。
【解析】
根据二次函数的定义逐一分析选项：
选项A：$y=-3x-1$中自变量$x$的最高次数为1，属于一次函数，不符合二次函数定义，排除；
选项B：$y=(m-1)x^2$中，当$m=1$时，二次项系数$m-1=0$，此时函数变为常数函数$y=0$，不是二次函数，因此该函数不一定是二次函数，排除；
选项C：$y=\frac{1}{2}x^2 -3x -1$符合$y=ax^2+bx+c$的形式，其中二次项系数$a=\frac{1}{2}≠0$，自变量最高次数为2，满足二次函数的所有判定条件，一定是二次函数；
选项D：先化简解析式：$y=7x(1-x)+7x^2=7x-7x^2+7x^2=7x$，自变量最高次数为1，属于一次函数，不符合二次函数定义，排除。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的概念、整式的化简、一次函数的概念
【点评】
本题考查二次函数的判定，属于基础概念题，易错点有两个：一是忽略二次项系数不能为0的要求，误选B选项；二是遇到可化简的解析式没有先化简就直接判断，误选D选项，解题时要紧扣定义，认真审题。
【难度系数】
0.8
2. 圆锥的体积公式是$V=\frac{1}{3}π r^2 h$，当$h$为常量时，$V$是$r$的 （
A.一次函数；
B.正比例函数；
C.反比例函数；
D.二次函数。
D
）A.一次函数；
B.正比例函数；
C.反比例函数；
D.二次函数。
答案
2. D.
解析
【分析】
要解决本题，首先需要熟记一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的定义，再将题目中的常量（$\frac{1}{3}$、π、h）合并为常数系数，观察自变量r的最高次数，最后匹配对应的函数类型即可。
【解析】
解：已知圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}π r^2 h$，且h为常量，因此$\frac{1}{3}πh$是不为0的常数，令$k=\frac{1}{3}πh$（$k≠0$），则原式可化为$V=kr^2$。
结合各类函数的定义逐一判断：
1. 一次函数形式为$y=kx+b$（$k≠0$，k、b为常数），自变量最高次数为1，本题中r的次数为2，不符合一次函数定义，排除A；
2. 正比例函数是特殊的一次函数，形式为$y=kx$（$k≠0$，k为常数），自变量最高次数为1，不符合定义，排除B；
3. 反比例函数形式为$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$，k为常数），自变量次数为-1，不符合定义，排除C；
4. 二次函数形式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，a、b、c为常数），本题中$b=0、c=0$，符合二次函数定义，因此V是r的二次函数。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的概念；正比例函数的概念；反比例函数的概念
【点评】
本题是基础概念类题目，解题的关键是区分常量与变量，将常量合并为系数后，根据自变量的最高次数判断函数类型，熟练掌握各类函数的定义就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
要解决本题，首先需要熟记一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的定义，再将题目中的常量（$\frac{1}{3}$、π、h）合并为常数系数，观察自变量r的最高次数，最后匹配对应的函数类型即可。
【解析】
解：已知圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}π r^2 h$，且h为常量，因此$\frac{1}{3}πh$是不为0的常数，令$k=\frac{1}{3}πh$（$k≠0$），则原式可化为$V=kr^2$。
结合各类函数的定义逐一判断：
1. 一次函数形式为$y=kx+b$（$k≠0$，k、b为常数），自变量最高次数为1，本题中r的次数为2，不符合一次函数定义，排除A；
2. 正比例函数是特殊的一次函数，形式为$y=kx$（$k≠0$，k为常数），自变量最高次数为1，不符合定义，排除B；
3. 反比例函数形式为$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$，k为常数），自变量次数为-1，不符合定义，排除C；
4. 二次函数形式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，a、b、c为常数），本题中$b=0、c=0$，符合二次函数定义，因此V是r的二次函数。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的概念；正比例函数的概念；反比例函数的概念
【点评】
本题是基础概念类题目，解题的关键是区分常量与变量，将常量合并为系数后，根据自变量的最高次数判断函数类型，熟练掌握各类函数的定义就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
3. 某商品原价为50元，连续涨价两次，每次涨价的增长率为x. 如果两次涨价后的价格为y元，那么y关于x的函数表达式是 （
A.$y=50(1+x)$；
B.$y=50(1+x)^2$；
C.$y=50x^2+50x$；
D.$y=50x^2+100x$。
B
）A.$y=50(1+x)$；
B.$y=50(1+x)^2$；
C.$y=50x^2+50x$；
D.$y=50x^2+100x$。
答案
3. B.
解析
【分析】
这道题考查增长率相关的函数表达式列写，解题时需先明确每次涨价的计算基数：第一次涨价的基数是商品原价50元，第二次涨价的基数是第一次涨价后的价格。我们可以先算出第一次涨价后的价格，再以此为基础算出第二次涨价后的价格，即可得到y与x的函数关系。
【解析】
第一步：计算第一次涨价后的价格。已知原价为50元，增长率为x，所以第一次涨价后的价格为 $ 50(1+x) $ 元。
第二步：计算第二次涨价后的价格。第二次涨价是在第一次涨价后的价格基础上，增长率仍为x，所以两次涨价后的价格 $ y = 50(1+x) × (1+x) = 50(1+x)^2 $。
对比选项，B选项符合推导结果。
【答案】
B
【知识点】
增长率计算、列函数关系式、二次函数概念
【点评】
本题是增长率类的基础题型，解题核心是明确每次价格变动的计算基数，熟练掌握增长率的计算公式即可快速求解，属于考试中常见的得分题。
【难度系数】
0.85
这道题考查增长率相关的函数表达式列写，解题时需先明确每次涨价的计算基数：第一次涨价的基数是商品原价50元，第二次涨价的基数是第一次涨价后的价格。我们可以先算出第一次涨价后的价格，再以此为基础算出第二次涨价后的价格，即可得到y与x的函数关系。
【解析】
第一步：计算第一次涨价后的价格。已知原价为50元，增长率为x，所以第一次涨价后的价格为 $ 50(1+x) $ 元。
第二步：计算第二次涨价后的价格。第二次涨价是在第一次涨价后的价格基础上，增长率仍为x，所以两次涨价后的价格 $ y = 50(1+x) × (1+x) = 50(1+x)^2 $。
对比选项，B选项符合推导结果。
【答案】
B
【知识点】
增长率计算、列函数关系式、二次函数概念
【点评】
本题是增长率类的基础题型，解题核心是明确每次价格变动的计算基数，熟练掌握增长率的计算公式即可快速求解，属于考试中常见的得分题。
【难度系数】
0.85
二、填空题
4. 已知$y=(m+1)x^{m^2+1}$是二次函数，那么$m$的值是
4. 已知$y=(m+1)x^{m^2+1}$是二次函数，那么$m$的值是
1
。答案
4. 1.
解析
【分析】
要解决本题，首先需要明确二次函数的核心判定条件：一是自变量的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0（若系数为0，函数次数将低于2，不符合二次函数定义）。解题时先根据次数要求列方程求出m的所有可能值，再结合系数不为0的限制排除不符合要求的解，即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵ $ y=(m+1)x^{m^2+1} $ 是二次函数
∴ 第一步，根据自变量最高次数为2列方程：
$ m^2 + 1 = 2 $
移项得 $ m^2 = 1 $，解得 $ m=1 $ 或 $ m=-1 $
第二步，根据二次项系数不为0列不等式：
$ m + 1 ≠ 0 $，解得 $ m ≠ -1 $
结合两步结果，排除m=-1，可得m=1。
【答案】
1
【知识点】
二次函数的定义，解一元二次方程
【点评】
本题属于二次函数概念的基础考查题，易错点是容易遗漏二次项系数不为0的限制条件，误填-1，解题时牢记二次函数定义的两个核心要求即可避免错误。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需要明确二次函数的核心判定条件：一是自变量的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0（若系数为0，函数次数将低于2，不符合二次函数定义）。解题时先根据次数要求列方程求出m的所有可能值，再结合系数不为0的限制排除不符合要求的解，即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵ $ y=(m+1)x^{m^2+1} $ 是二次函数
∴ 第一步，根据自变量最高次数为2列方程：
$ m^2 + 1 = 2 $
移项得 $ m^2 = 1 $，解得 $ m=1 $ 或 $ m=-1 $
第二步，根据二次项系数不为0列不等式：
$ m + 1 ≠ 0 $，解得 $ m ≠ -1 $
结合两步结果，排除m=-1，可得m=1。
【答案】
1
【知识点】
二次函数的定义，解一元二次方程
【点评】
本题属于二次函数概念的基础考查题，易错点是容易遗漏二次项系数不为0的限制条件，误填-1，解题时牢记二次函数定义的两个核心要求即可避免错误。
【难度系数】
0.7
5. 已知二次函数$y=-x^2 +4x +2$，如果$x=-\dfrac{1}{2}$，那么$y$的值是
$-\dfrac{1}{4}$
。答案
5. $-\dfrac{1}{4}$.
解析
【分析】
本题考查已知二次函数解析式与自变量的值求对应函数值，解题思路为：将给定的x的值直接代入二次函数解析式，按照有理数混合运算的顺序依次计算各项，最终合并得到y的值即可，计算时需注意符号运算规则，避免符号出错。
【解析】
将$x=-\dfrac{1}{2}$代入二次函数$y=-x^2 +4x +2$中：
1. 计算平方项：$x^2=(-\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{1}{4}$，因此$-x^2=-\dfrac{1}{4}$；
2. 计算一次项：$4x=4×(-\dfrac{1}{2})=-2$；
3. 合并各项计算y的值：
$y=-\dfrac{1}{4} + (-2) + 2 = -\dfrac{1}{4}$
【答案】
$-\dfrac{1}{4}$
【知识点】
1. 二次函数求值
2. 有理数混合运算
【点评】
本题是基础题型，核心考查代入法求函数值，易错点是计算$-x^2$时容易混淆运算顺序，将负号一并代入平方运算导致结果错误，计算时先算平方再处理负号即可避免失误。
【难度系数】
0.9
本题考查已知二次函数解析式与自变量的值求对应函数值，解题思路为：将给定的x的值直接代入二次函数解析式，按照有理数混合运算的顺序依次计算各项，最终合并得到y的值即可，计算时需注意符号运算规则，避免符号出错。
【解析】
将$x=-\dfrac{1}{2}$代入二次函数$y=-x^2 +4x +2$中：
1. 计算平方项：$x^2=(-\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{1}{4}$，因此$-x^2=-\dfrac{1}{4}$；
2. 计算一次项：$4x=4×(-\dfrac{1}{2})=-2$；
3. 合并各项计算y的值：
$y=-\dfrac{1}{4} + (-2) + 2 = -\dfrac{1}{4}$
【答案】
$-\dfrac{1}{4}$
【知识点】
1. 二次函数求值
2. 有理数混合运算
【点评】
本题是基础题型，核心考查代入法求函数值，易错点是计算$-x^2$时容易混淆运算顺序，将负号一并代入平方运算导致结果错误，计算时先算平方再处理负号即可避免失误。
【难度系数】
0.9
6. 已知二次函数$y=2x^2+4x-1$，它的二次项系数为$a$，一次项系数为$b$，常数项为$c$。$y=cx^2 -ax +b$的表达式为
$y=-x^2-2x+4$
。答案
6. $y=-x^2-2x+4$.
解析
【分析】
解题时首先要明确二次函数的一般形式$y=ax^2+bx+c$（$a\ne0$）中$a$是二次项系数、$b$是一次项系数、$c$是常数项，第一步先从已知的二次函数表达式中对应找出$a、b、c$的取值，第二步将三个系数的值代入待求的函数表达式，最后化简整理即可得到结果。
【解析】
1. 确定已知二次函数的各项系数：
已知二次函数$y=2x^2+4x-1$，对应一般形式可得：二次项系数$a=2$，一次项系数$b=4$，常数项$c=-1$。
2. 代入待求表达式：
将$a=2$，$b=4$，$c=-1$代入$y=cx^2 -ax +b$，得：
$y=(-1)x^2 -2x +4$
化简后为$y=-x^2-2x+4$。
【答案】
$y=-x^2-2x+4$
【知识点】
1. 二次函数的基本概念
2. 代数式代入求值
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是准确识别二次函数一般形式中各项的系数，代入时注意符号不要出错即可正确解答。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确二次函数的一般形式$y=ax^2+bx+c$（$a\ne0$）中$a$是二次项系数、$b$是一次项系数、$c$是常数项，第一步先从已知的二次函数表达式中对应找出$a、b、c$的取值，第二步将三个系数的值代入待求的函数表达式，最后化简整理即可得到结果。
【解析】
1. 确定已知二次函数的各项系数：
已知二次函数$y=2x^2+4x-1$，对应一般形式可得：二次项系数$a=2$，一次项系数$b=4$，常数项$c=-1$。
2. 代入待求表达式：
将$a=2$，$b=4$，$c=-1$代入$y=cx^2 -ax +b$，得：
$y=(-1)x^2 -2x +4$
化简后为$y=-x^2-2x+4$。
【答案】
$y=-x^2-2x+4$
【知识点】
1. 二次函数的基本概念
2. 代数式代入求值
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是准确识别二次函数一般形式中各项的系数，代入时注意符号不要出错即可正确解答。
【难度系数】
0.9
7. 已知矩形的周长为20 cm. 如果设它的一边长为x cm，面积为y cm²，那么y关于x的函数表达式是
$y=-x^2+10x$
。答案
7. $y=-x^2+10x$.
解析
【分析】
解题时首先明确逻辑：要求面积y关于边长x的函数表达式，需先求出矩形另一邻边的长度。第一步根据矩形周长公式，由总周长20cm算出相邻两边的长度和，再用和减去已知边长x得到另一边长；第二步根据矩形面积=长×宽的公式，代入两边长度列式，最后整理为标准函数形式即可。
【解析】
解：
∵矩形的周长为20 cm，一边长为x cm
∴矩形相邻两边的长度和为 $20÷2=10\ \mathrm{cm}$
∴矩形的另一边长为 $(10 - x)\ \mathrm{cm}$
根据矩形面积公式可得：
$y = x·(10 - x)$
整理得：$y=-x^2 + 10x$
【答案】
$y=-x^2+10x$
【知识点】
矩形周长与面积计算，列函数表达式，二次函数概念
【点评】
本题属于基础应用题，结合几何图形性质考查函数解析式的列法，只要熟练掌握矩形的周长、面积计算公式，就能顺利推导得出结果，解题时需注意边长的取值需符合实际意义。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确逻辑：要求面积y关于边长x的函数表达式，需先求出矩形另一邻边的长度。第一步根据矩形周长公式，由总周长20cm算出相邻两边的长度和，再用和减去已知边长x得到另一边长；第二步根据矩形面积=长×宽的公式，代入两边长度列式，最后整理为标准函数形式即可。
【解析】
解：
∵矩形的周长为20 cm，一边长为x cm
∴矩形相邻两边的长度和为 $20÷2=10\ \mathrm{cm}$
∴矩形的另一边长为 $(10 - x)\ \mathrm{cm}$
根据矩形面积公式可得：
$y = x·(10 - x)$
整理得：$y=-x^2 + 10x$
【答案】
$y=-x^2+10x$
【知识点】
矩形周长与面积计算，列函数表达式，二次函数概念
【点评】
本题属于基础应用题，结合几何图形性质考查函数解析式的列法，只要熟练掌握矩形的周长、面积计算公式，就能顺利推导得出结果，解题时需注意边长的取值需符合实际意义。
【难度系数】
0.8
8. 在一个半径为 10 cm 的圆形纸片中剪去一个半径为 r cm 的同心圆，得到一个圆环. 如果圆环的面积为 y cm²，那么 y 关于 r 的函数表达式是
。
$y=100π-π r^2$
。
答案
8. $y=100π-π r^2$.
解析
【分析】
解决本题的核心是利用面积和差关系推导函数关系式：首先明确圆环的面积等于外圆面积减去内圆面积，先根据圆的面积公式分别表示出外圆和内圆的面积，两者作差即可得到y与r的关系式；再结合实际问题的限制，确定自变量r的取值范围，r是内圆半径，必须满足大于0且小于外圆半径10，才能构成圆环。
【解析】
根据圆的面积公式$S=π R^2$：
外圆半径为10cm，外圆面积为$π × 10^2 = 100π \ \mathrm{cm}^2$；
内圆半径为r cm，内圆面积为$π r^2 \ \mathrm{cm}^2$；
圆环面积$y=\mathrm{外圆面积}-\mathrm{内圆面积}$，因此$y=100π - π r^2$；
结合实际意义，内圆半径r需满足$0 ＜ r ＜ 10$。
【答案】
$y=100π-π r^2$；$0＜r＜10$
【知识点】
圆环面积计算；二次函数的概念；自变量取值范围确定
【点评】
本题属于基础类题目，主要考查利用几何图形的面积和差关系建立函数关系式，解题的关键是熟记圆的面积公式，同时不要忽略实际问题中自变量的取值需要符合实际意义。
【难度系数】
0.9
解决本题的核心是利用面积和差关系推导函数关系式：首先明确圆环的面积等于外圆面积减去内圆面积，先根据圆的面积公式分别表示出外圆和内圆的面积，两者作差即可得到y与r的关系式；再结合实际问题的限制，确定自变量r的取值范围，r是内圆半径，必须满足大于0且小于外圆半径10，才能构成圆环。
【解析】
根据圆的面积公式$S=π R^2$：
外圆半径为10cm，外圆面积为$π × 10^2 = 100π \ \mathrm{cm}^2$；
内圆半径为r cm，内圆面积为$π r^2 \ \mathrm{cm}^2$；
圆环面积$y=\mathrm{外圆面积}-\mathrm{内圆面积}$，因此$y=100π - π r^2$；
结合实际意义，内圆半径r需满足$0 ＜ r ＜ 10$。
【答案】
$y=100π-π r^2$；$0＜r＜10$
【知识点】
圆环面积计算；二次函数的概念；自变量取值范围确定
【点评】
本题属于基础类题目，主要考查利用几何图形的面积和差关系建立函数关系式，解题的关键是熟记圆的面积公式，同时不要忽略实际问题中自变量的取值需要符合实际意义。
【难度系数】
0.9
