13.「2026 安徽宿州期中，★★☆」有一组勾股数，知道其中的两个数分别是24和7，则第三个数是。

13.答案 25
解析 设第三个数为$x$,分情况讨论:①当$x^2+7^2=24^2$时,$x^2=24^2-7^2=527$,不能找到一个正整数,使它的平方等于527,故此时$x$不是正整数,不符合题意.②当$24^2+7^2=x^2$时,$x^2=625$,故$x=25$(已舍负值),故第三个数是25.

14.「2026广东茂名期末，★★☆」如图,为修筑铁路需凿通隧道AC,现测量出∠ACB=90°,AB=6 km,BC=4.8 km.若每天凿隧道200 m,则需要天才能把隧道AC凿通.

14.答案 18
解析 因为$∠ ACB=90°$,$AB=6\ \mathrm{km}$,$BC=4.8\ \mathrm{km}$,所以$AC^2=AB^2-BC^2=6^2-4.8^2=12.96=3.6^2$,所以$AC=3.6\ \mathrm{km}$.$3.6\ \mathrm{km}=3\ 600\ \mathrm{m}$,$3\ 600÷200=18$(天),故需要18天才能把隧道$AC$凿通.

15.「2026广东揭阳期末，★★☆」如图，一台笔记本电脑平放在桌面上，屏幕宽BC为25 cm，当电脑张角为∠ABC时，顶部边缘C处到桌面的距离CE为20 cm，调整电脑的张角，当张角为∠ABD(点C与点D为笔记本顶部边缘同一点)时，顶部边缘D处到桌面的距离DF为15 cm，则E处与F处之间的距离(EF的长)为 cm.

15.答案 5
解析 由题意得$BC=BD=25\ \mathrm{cm}$,$CE=20\ \mathrm{cm}$,$DF=15\ \mathrm{cm}$,$∠ BEC=∠ BFD=90°$,在$\mathrm{Rt}△ BEC$中,由勾股定理得$BE^2=BC^2-CE^2=25^2-20^2=225=15^2$,所以$BE=15\ \mathrm{cm}$,
在$\mathrm{Rt}△ BFD$中,由勾股定理得$BF^2=BD^2-DF^2=25^2-15^2=400=20^2$,所以$BF=20\ \mathrm{cm}$,所以$EF=BF-BE=20-15=5(\mathrm{cm})$,故答案为5.

16.「2026陕西西安月考，★★★」如图，将七个正方形依次放在直线$l$上，已知正放置的四个正方形的面积依次是$S_1,S_2,S_3,S_4$，斜放置的正方形的面积分别是3,4,5，则$S_1+S_4$的值为。

16.答案 4
解析 如图,由题意得$AB=BE$,$∠ ACB=∠ BDE=∠ ABE=90°$,
$\therefore ∠ ABC+∠ BAC=90°$,$∠ ABC+∠ EBD=90°$,
$\therefore ∠ BAC=∠ EBD$,
$\therefore △ ABC≌△ BED(\mathrm{AAS})$,$\therefore BC=DE$.
$\because S_2=DE^2$,$\therefore S_2=BC^2$.
$\because S_1=AC^2$,$AC^2+BC^2=AB^2$,$AB^2=3$,
$\therefore S_1+S_2=3$,同理$S_2+S_3=4$,$S_3+S_4=5$,
$\therefore S_1+S_2+S_2+S_3+S_3+S_4=3+4+5=12$,
即$S_1+S_4+2(S_2+S_3)=12$,$\therefore S_1+S_4=4$.

三、解答题(共56分)
17.「2026江苏徐州月考，★☆」(8分)如图，$AD ⊥ BC$，垂足为$D$.$CD=1$，$AD=2$，$BD=4$.试说明$△ ABC$是直角三角形.

17.解析 $\because AD⊥ BC$,$\therefore ∠ ADC=∠ ADB=90°$.
$\because CD=1$,$AD=2$,$BD=4$,
$\therefore AC^2=CD^2+AD^2=1^2+2^2=5$,$AB^2=AD^2+BD^2=2^2+4^2=20$,$BC=CD+BD=5$,
$\therefore AC^2+AB^2=25=BC^2$,
$\therefore △ ABC$是直角三角形.