登录
一、选择题
1.已知$\odot O$的半径是10 cm，点P是$\odot O$外一点，则OP的长可能是（
A.4 cm
B.8 cm
C.10 cm
D.12 cm
1.已知$\odot O$的半径是10 cm，点P是$\odot O$外一点，则OP的长可能是（
D
）.A.4 cm
B.8 cm
C.10 cm
D.12 cm
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确点和圆的位置关系的判定规则：我们可以通过比较点到圆心的距离d和圆半径r的大小关系，判断点和圆的位置。已知点P是⊙O外一点，所以首先推导OP需要满足的大小条件，再对比选项选出符合条件的数值即可。
【解析】
点与圆的位置关系判定规则如下：
1. 若点在圆内，则点到圆心的距离d ＜ 半径r；
2. 若点在圆上，则点到圆心的距离d = 半径r；
3. 若点在圆外，则点到圆心的距离d ＞ 半径r。
本题中，⊙O的半径r=10cm，点P是⊙O外一点，因此OP ＞ 10cm。
对比各选项：A选项4cm＜10cm，B选项8cm＜10cm，C选项10cm=10cm，均不符合要求；D选项12cm＞10cm，符合条件。
【答案】
D
【知识点】
点与圆的位置关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，只需熟练掌握点和圆三种位置关系对应的距离与半径的大小关系，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确点和圆的位置关系的判定规则：我们可以通过比较点到圆心的距离d和圆半径r的大小关系，判断点和圆的位置。已知点P是⊙O外一点，所以首先推导OP需要满足的大小条件，再对比选项选出符合条件的数值即可。
【解析】
点与圆的位置关系判定规则如下：
1. 若点在圆内，则点到圆心的距离d ＜ 半径r；
2. 若点在圆上，则点到圆心的距离d = 半径r；
3. 若点在圆外，则点到圆心的距离d ＞ 半径r。
本题中，⊙O的半径r=10cm，点P是⊙O外一点，因此OP ＞ 10cm。
对比各选项：A选项4cm＜10cm，B选项8cm＜10cm，C选项10cm=10cm，均不符合要求；D选项12cm＞10cm，符合条件。
【答案】
D
【知识点】
点与圆的位置关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，只需熟练掌握点和圆三种位置关系对应的距离与半径的大小关系，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
2.已知$\odot O$的半径为6 cm，点P到圆心O的距离为7 cm，则点P与$\odot O$的位置关系是（
A.点P在圆内
B.点P在圆上
C.点P在圆外
D.无法确定
C
）.A.点P在圆内
B.点P在圆上
C.点P在圆外
D.无法确定
答案
C
解析
【分析】
要判断点与圆的位置关系，核心方法是比较点到圆心的距离$d$和圆的半径$r$的大小关系：若$d＜r$，点在圆内；若$d=r$，点在圆上；若$d＞r$，点在圆外。本题已经给出圆的半径和点P到圆心的距离，直接代入比较数值大小即可得出结论。
【解析】
第一步：明确已知量，$\odot O$的半径$r=6\mathrm{cm}$，点P到圆心O的距离$d=7\mathrm{cm}$。
第二步：比较$d$和$r$的大小，可得$7\mathrm{cm}＞6\mathrm{cm}$，即$d＞r$。
第三步：根据点与圆的位置关系判定规则，$d＞r$时点在圆外，因此点P在$\odot O$外。
【答案】
C
【知识点】
点与圆的位置关系
【点评】
本题属于基础概念应用题，是对基础知识点的直接考察，熟练掌握点和圆位置关系的判定规则即可快速解答。
【难度系数】
0.9
要判断点与圆的位置关系，核心方法是比较点到圆心的距离$d$和圆的半径$r$的大小关系：若$d＜r$，点在圆内；若$d=r$，点在圆上；若$d＞r$，点在圆外。本题已经给出圆的半径和点P到圆心的距离，直接代入比较数值大小即可得出结论。
【解析】
第一步：明确已知量，$\odot O$的半径$r=6\mathrm{cm}$，点P到圆心O的距离$d=7\mathrm{cm}$。
第二步：比较$d$和$r$的大小，可得$7\mathrm{cm}＞6\mathrm{cm}$，即$d＞r$。
第三步：根据点与圆的位置关系判定规则，$d＞r$时点在圆外，因此点P在$\odot O$外。
【答案】
C
【知识点】
点与圆的位置关系
【点评】
本题属于基础概念应用题，是对基础知识点的直接考察，熟练掌握点和圆位置关系的判定规则即可快速解答。
【难度系数】
0.9
3.有下列结论:①相等的圆心角所对的弧相等.②平分弦的直径垂直于弦.③圆是轴对称图形,任何一条直径都是它的对称轴.④长度相等的两条弧是等弧.其中正确的结论有(
A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
D
).A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
答案
D
解析
【分析】
要判断这四个结论的正误，需逐一结合圆的相关基础性质的完整表述分析，尤其要注意每个性质成立的前提限定条件，忽略限定条件很容易出现判断错误，我们逐个分析每个结论的对错即可得到最终答案。
【解析】
我们逐一判断每个结论：
①：只有在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，缺少“同圆或等圆”这个前提，结论不成立，故①错误；
②：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，若被平分的弦本身是直径，两条直径互相平分但不一定垂直，缺少“弦不是直径”的前提，结论不成立，故②错误；
③：对称轴的定义是直线，而直径是线段，正确表述为“圆的任意一条直径所在的直线是圆的对称轴”，故③错误；
④：等弧的定义是能够完全重合的弧，仅长度相等的弧不一定能重合（如半径不同的圆中长度相等的弧弧度不同，无法重合），故④错误。
四个结论全部错误，正确结论的个数为0。
【答案】
D
【知识点】
圆的基本性质，垂径定理，等弧的概念
【点评】
本题是圆相关基础概念的易错题，重点考查对性质限定条件的掌握，不少同学会因记不全概念的前提要求误判有正确结论，学习基础概念时要注意完整掌握表述细节。
【难度系数】
0.5
要判断这四个结论的正误，需逐一结合圆的相关基础性质的完整表述分析，尤其要注意每个性质成立的前提限定条件，忽略限定条件很容易出现判断错误，我们逐个分析每个结论的对错即可得到最终答案。
【解析】
我们逐一判断每个结论：
①：只有在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，缺少“同圆或等圆”这个前提，结论不成立，故①错误；
②：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，若被平分的弦本身是直径，两条直径互相平分但不一定垂直，缺少“弦不是直径”的前提，结论不成立，故②错误；
③：对称轴的定义是直线，而直径是线段，正确表述为“圆的任意一条直径所在的直线是圆的对称轴”，故③错误；
④：等弧的定义是能够完全重合的弧，仅长度相等的弧不一定能重合（如半径不同的圆中长度相等的弧弧度不同，无法重合），故④错误。
四个结论全部错误，正确结论的个数为0。
【答案】
D
【知识点】
圆的基本性质，垂径定理，等弧的概念
【点评】
本题是圆相关基础概念的易错题，重点考查对性质限定条件的掌握，不少同学会因记不全概念的前提要求误判有正确结论，学习基础概念时要注意完整掌握表述细节。
【难度系数】
0.5
4.如图，$\odot O$的直径AB与弦CD交于点E，若B为$\overset{\frown}{CD}$的中点，则下列说法错误的是(
A.$\overset{\frown}{CB}=\overset{\frown}{BD}$
B.$OE=BE$
C.$CE=DE$
D.$AB⊥ CD$
B
).A.$\overset{\frown}{CB}=\overset{\frown}{BD}$
B.$OE=BE$
C.$CE=DE$
D.$AB⊥ CD$
答案
B
解析
【分析】
首先梳理题干已知条件：AB是$\odot O$的直径，B是$\overset{\frown}{CD}$的中点，要求选出错误结论。第一步，根据弧中点的定义，可直接判断$\overset{\frown}{CB}=\overset{\frown}{BD}$，对应A选项正确；第二步，回忆垂径定理的推论：平分弧（非直径的弧）的直径垂直于该弧所对的弦，且平分这条弦，结合AB是直径、平分$\overset{\frown}{CD}$的条件，可推出$AB⊥ CD$、$CE=DE$，即可判断C、D选项正确；第三步，分析B选项，题干未给出E是OB中点的相关条件，无法推出$OE=BE$，因此B为错误结论。
【解析】
已知B为$\overset{\frown}{CD}$的中点，根据弧中点的定义可得$\overset{\frown}{CB}=\overset{\frown}{BD}$，故A选项正确，不符合题意；
根据垂径定理的推论：平分弦所对的一条弧的直径垂直于弦，并且平分弦，由于AB是$\odot O$的直径，且平分$\overset{\frown}{CD}$，因此可得$AB⊥ CD$，$CE=DE$，故C、D选项正确，不符合题意；
题干无相关条件能证明E是OB的中点，因此无法推出$OE=BE$，故B选项错误，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理推论，弧的中点定义
【点评】
本题属于圆的基础题，主要考查垂径定理推论的应用，解题时要注意审题，明确题干要求是选出错误的结论，避免因粗心选错答案。
【难度系数】
0.8
首先梳理题干已知条件：AB是$\odot O$的直径，B是$\overset{\frown}{CD}$的中点，要求选出错误结论。第一步，根据弧中点的定义，可直接判断$\overset{\frown}{CB}=\overset{\frown}{BD}$，对应A选项正确；第二步，回忆垂径定理的推论：平分弧（非直径的弧）的直径垂直于该弧所对的弦，且平分这条弦，结合AB是直径、平分$\overset{\frown}{CD}$的条件，可推出$AB⊥ CD$、$CE=DE$，即可判断C、D选项正确；第三步，分析B选项，题干未给出E是OB中点的相关条件，无法推出$OE=BE$，因此B为错误结论。
【解析】
已知B为$\overset{\frown}{CD}$的中点，根据弧中点的定义可得$\overset{\frown}{CB}=\overset{\frown}{BD}$，故A选项正确，不符合题意；
根据垂径定理的推论：平分弦所对的一条弧的直径垂直于弦，并且平分弦，由于AB是$\odot O$的直径，且平分$\overset{\frown}{CD}$，因此可得$AB⊥ CD$，$CE=DE$，故C、D选项正确，不符合题意；
题干无相关条件能证明E是OB的中点，因此无法推出$OE=BE$，故B选项错误，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理推论，弧的中点定义
【点评】
本题属于圆的基础题，主要考查垂径定理推论的应用，解题时要注意审题，明确题干要求是选出错误的结论，避免因粗心选错答案。
【难度系数】
0.8
5.如图，点A，B，C均在$\odot O$上，若$∠ AOB=60°$，则$∠ ACB$的度数是（
A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
A
）。A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先观察角的对应关系：∠AOB的顶点在圆心O，是弧AB所对的圆心角；∠ACB的顶点在圆周上，是弧AB所对的圆周角，两个角对应同一段弧AB。此时联想到圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，直接代入数值计算即可得到∠ACB的度数。
【解析】
∵ ∠AOB是⊙O中弧AB所对的圆心角，∠ACB是⊙O中弧AB所对的圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的$\frac{1}{2}$，
∴ $∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB$，
已知$∠ AOB=60°$，代入得：
$∠ ACB=\frac{1}{2}×60°=30°$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题是基础类题目，解题关键是准确识别同弧对应的圆心角和圆周角，熟练掌握圆周角定理即可快速求解，属于圆周角相关知识的常规考查题型。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察角的对应关系：∠AOB的顶点在圆心O，是弧AB所对的圆心角；∠ACB的顶点在圆周上，是弧AB所对的圆周角，两个角对应同一段弧AB。此时联想到圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，直接代入数值计算即可得到∠ACB的度数。
【解析】
∵ ∠AOB是⊙O中弧AB所对的圆心角，∠ACB是⊙O中弧AB所对的圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的$\frac{1}{2}$，
∴ $∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB$，
已知$∠ AOB=60°$，代入得：
$∠ ACB=\frac{1}{2}×60°=30°$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题是基础类题目，解题关键是准确识别同弧对应的圆心角和圆周角，熟练掌握圆周角定理即可快速求解，属于圆周角相关知识的常规考查题型。
【难度系数】
0.9
6.如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,$E$为$BC$延长线上一点.若$∠ DCE=70°$,则$∠ BOD$的度数是(
A.$65°$
B.$115°$
C.$130°$
D.$140°$
D
).A.$65°$
B.$115°$
C.$130°$
D.$140°$
答案
D
解析
【分析】
解题时首先观察图形，已知四边形ABCD是圆内接四边形，且给出了外角∠DCE的度数，首先利用圆内接四边形的外角等于它的内对角，求出同弧BD所对的圆周角∠A的度数，再根据“同弧所对的圆心角是圆周角的2倍”，即可求出圆心角∠BOD的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴ $∠ A + ∠ BCD = 180°$，
又
∵ $∠ DCE + ∠ BCD = 180°$（平角的定义），
∴ $∠ A = ∠ DCE = 70°$，
∵ $∠ BOD$是弧BD所对的圆心角，$∠ A$是弧BD所对的圆周角，
∴ $∠ BOD = 2∠ A = 2×70° = 140°$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理
【点评】
本题属于基础题，重点考查圆内接四边形的性质与圆周角定理的综合应用，解题的突破口是利用圆内接四边形外角的性质得到圆周角∠A的度数，熟练掌握相关性质定理即可快速求解。
【难度系数】
0.85
解题时首先观察图形，已知四边形ABCD是圆内接四边形，且给出了外角∠DCE的度数，首先利用圆内接四边形的外角等于它的内对角，求出同弧BD所对的圆周角∠A的度数，再根据“同弧所对的圆心角是圆周角的2倍”，即可求出圆心角∠BOD的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴ $∠ A + ∠ BCD = 180°$，
又
∵ $∠ DCE + ∠ BCD = 180°$（平角的定义），
∴ $∠ A = ∠ DCE = 70°$，
∵ $∠ BOD$是弧BD所对的圆心角，$∠ A$是弧BD所对的圆周角，
∴ $∠ BOD = 2∠ A = 2×70° = 140°$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理
【点评】
本题属于基础题，重点考查圆内接四边形的性质与圆周角定理的综合应用，解题的突破口是利用圆内接四边形外角的性质得到圆周角∠A的度数，熟练掌握相关性质定理即可快速求解。
【难度系数】
0.85
7.已知一个圆锥的底面半径是3 cm，高是4 cm，则这个圆锥的侧面积是(
A.$24π \ cm^2$
B.$15π \ cm^2$
C.$21π \ cm^2$
D.$12π \ cm^2$
B
).A.$24π \ cm^2$
B.$15π \ cm^2$
C.$21π \ cm^2$
D.$12π \ cm^2$
答案
B
解析
【分析】
要计算圆锥的侧面积，首先回忆圆锥侧面积的计算公式为$S_{侧}=π rl$，其中$r$是底面半径，$l$是圆锥的母线长。题目已给出底面半径$r=3\mathrm{cm}$，但未直接给出母线长，因此需要先求母线长：圆锥的高、底面半径、母线恰好构成直角三角形，母线为斜边，可通过勾股定理计算母线长，再代入侧面积公式即可得到结果。
【解析】
第一步：计算圆锥的母线长$l$
已知圆锥底面半径$r=3\mathrm{cm}$，高$h=4\mathrm{cm}$，圆锥的母线、底面半径、高构成直角三角形，母线为斜边，由勾股定理可得：
$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\mathrm{cm}$
第二步：计算圆锥侧面积
根据圆锥侧面积公式$S_{侧}=π rl$，代入数据得：
$S_{侧}=π×3×5=15π\ \mathrm{cm^2}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面积计算；勾股定理的应用
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是明确圆锥各参数之间的几何关系，牢记侧面积计算公式，计算难度较低，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
要计算圆锥的侧面积，首先回忆圆锥侧面积的计算公式为$S_{侧}=π rl$，其中$r$是底面半径，$l$是圆锥的母线长。题目已给出底面半径$r=3\mathrm{cm}$，但未直接给出母线长，因此需要先求母线长：圆锥的高、底面半径、母线恰好构成直角三角形，母线为斜边，可通过勾股定理计算母线长，再代入侧面积公式即可得到结果。
【解析】
第一步：计算圆锥的母线长$l$
已知圆锥底面半径$r=3\mathrm{cm}$，高$h=4\mathrm{cm}$，圆锥的母线、底面半径、高构成直角三角形，母线为斜边，由勾股定理可得：
$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\mathrm{cm}$
第二步：计算圆锥侧面积
根据圆锥侧面积公式$S_{侧}=π rl$，代入数据得：
$S_{侧}=π×3×5=15π\ \mathrm{cm^2}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面积计算；勾股定理的应用
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是明确圆锥各参数之间的几何关系，牢记侧面积计算公式，计算难度较低，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
8.如图，点A，B，C，D在$\odot O$上，$\overset{\frown}{CB}=\overset{\frown}{CD}$，$∠ CAD=30°$，$∠ ACD=50°$，则$∠ ADB$的度数为（
A.$30°$
B.$50°$
C.$70°$
D.$80°$
C
）.A.$30°$
B.$50°$
C.$70°$
D.$80°$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先利用弧相等的性质，等弧所对的圆周角相等，可先求出∠CAB的度数，进而得到∠DAB的度数；再根据同弧所对的圆周角相等，得到∠ABD的度数；最后在△ABD中利用三角形内角和为180°，即可计算出∠ADB的度数。
【解析】
解：
∵$\overset{\frown}{CB}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$∠ CAB=∠ CAD=30°$（等弧所对的圆周角相等），
∴$∠ DAB=∠ CAD+∠ CAB=30°+30°=60°$。
又
∵$∠ ABD$和$∠ ACD$都是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角，
∴$∠ ABD=∠ ACD=50°$（同弧所对的圆周角相等）。
在$△ ABD$中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ ADB=180°-∠ DAB-∠ ABD=180°-60°-50°=70°$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，三角形内角和定理
【点评】
本题是圆周角性质的基础应用题型，解题的核心是熟练掌握等弧、同弧所对圆周角相等的性质，结合三角形内角和即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用弧相等的性质，等弧所对的圆周角相等，可先求出∠CAB的度数，进而得到∠DAB的度数；再根据同弧所对的圆周角相等，得到∠ABD的度数；最后在△ABD中利用三角形内角和为180°，即可计算出∠ADB的度数。
【解析】
解：
∵$\overset{\frown}{CB}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$∠ CAB=∠ CAD=30°$（等弧所对的圆周角相等），
∴$∠ DAB=∠ CAD+∠ CAB=30°+30°=60°$。
又
∵$∠ ABD$和$∠ ACD$都是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角，
∴$∠ ABD=∠ ACD=50°$（同弧所对的圆周角相等）。
在$△ ABD$中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ ADB=180°-∠ DAB-∠ ABD=180°-60°-50°=70°$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，三角形内角和定理
【点评】
本题是圆周角性质的基础应用题型，解题的核心是熟练掌握等弧、同弧所对圆周角相等的性质，结合三角形内角和即可快速求解。
【难度系数】
0.7
9.如图,从A地到B地有两条路可走,一条路是大半圆,另一条路是4个小半圆.有一天,一只猫和一只老鼠同时从A地去B地.老鼠见猫沿着大半圆行走,它不敢与猫同行,就沿着4个小半圆行走.假设猫和老鼠行走的速度相同,那么下列结论正确的是(
A.猫先到达B地
B.老鼠先到达B地
C.猫和老鼠同时到达B地
D.无法确定猫和老鼠到达B地的先后顺序
C
).A.猫先到达B地
B.老鼠先到达B地
C.猫和老鼠同时到达B地
D.无法确定猫和老鼠到达B地的先后顺序
答案
C
解析
【分析】要判断谁先到达B地，在速度相同的情况下，只需比较两条路线的长度即可，路程相等则同时到达。我们可以先设出4个小半圆的直径，再表示出大半圆的直径，分别利用半圆弧长公式计算两条路线的长度，再比较大小。
【解析】设4个小半圆的直径分别为$d_1$、$d_2$、$d_3$、$d_4$，则大半圆的直径$D = d_1+d_2+d_3+d_4$。
根据半圆弧长公式$S=\frac{1}{2}π d$（$d$为半圆直径）：
1. 猫走的大半圆路线长度：$S_1=\frac{1}{2}π D=\frac{1}{2}π(d_1+d_2+d_3+d_4)$
2. 老鼠走的4个小半圆总路线长度：$S_2=\frac{1}{2}π d_1+\frac{1}{2}π d_2+\frac{1}{2}π d_3+\frac{1}{2}π d_4=\frac{1}{2}π(d_1+d_2+d_3+d_4)$
可得$S_1=S_2$，因为猫和老鼠行走速度相同，路程相等则所用时间相同，所以二者同时到达B地。
【答案】C
【知识点】圆的周长计算，代数式化简
【点评】本题是半圆弧长的实际应用，解题的关键是通过设参数的方式推导两条路线的长度关系，不需要知道直径的具体数值即可得出结论，不要被多个小半圆的形式误导。
【难度系数】0.7
【解析】设4个小半圆的直径分别为$d_1$、$d_2$、$d_3$、$d_4$，则大半圆的直径$D = d_1+d_2+d_3+d_4$。
根据半圆弧长公式$S=\frac{1}{2}π d$（$d$为半圆直径）：
1. 猫走的大半圆路线长度：$S_1=\frac{1}{2}π D=\frac{1}{2}π(d_1+d_2+d_3+d_4)$
2. 老鼠走的4个小半圆总路线长度：$S_2=\frac{1}{2}π d_1+\frac{1}{2}π d_2+\frac{1}{2}π d_3+\frac{1}{2}π d_4=\frac{1}{2}π(d_1+d_2+d_3+d_4)$
可得$S_1=S_2$，因为猫和老鼠行走速度相同，路程相等则所用时间相同，所以二者同时到达B地。
【答案】C
【知识点】圆的周长计算，代数式化简
【点评】本题是半圆弧长的实际应用，解题的关键是通过设参数的方式推导两条路线的长度关系，不需要知道直径的具体数值即可得出结论，不要被多个小半圆的形式误导。
【难度系数】0.7
