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(5)有两根钢管,一根长56分米,另一根长72分米,现在要将它们锯成同样长的小段,每段钢管要尽可能长,且没有剩余。每段钢管的长度应为(
A.1
B.4
C.8
D.16
C
)分米。A.1
B.4
C.8
D.16
答案
C
(6)一张长方形纸长是48厘米，宽是42厘米，要将其剪成若干个同样大小的正方形且没有剩余，剪出的正方形边长最大是(
A.2
B.3
C.6
D.12
C
)厘米。A.2
B.3
C.6
D.12
答案
C
6. 农历腊月初八是腊八节，是中国传统节日，习俗是吃“腊八粥”。饭店准备熬制腊八粥，每锅使用的食材完全相同且质量都是整数千克。熬制腊八粥一共用掉了18千克花生和30千克莲子，最多熬了多少锅腊八粥？
答案
解:18=2×3×3 30=2×3×5
最大公因数:2×3=6
答:最多熬了6锅腊八粥。
最大公因数:2×3=6
答:最多熬了6锅腊八粥。
7. 一个三角形花圃，它的三条边的长度分别是72分米、60分米和36分米。如果在花圃的三条边上摆放盆栽，要求每个角上都有一盆，且相邻两盆盆栽之间的距离都相等，那么至少要摆放多少盆盆栽？
答案
解:72=2×2×2×3×3 60=2×2×3×5
36=2×2×3×3 2×2×3=12
(72+60+36)÷12=14(盆)
答:至少要摆放14盆盆栽。
36=2×2×3×3 2×2×3=12
(72+60+36)÷12=14(盆)
答:至少要摆放14盆盆栽。
8. 甲、乙、丙、丁四个数中，甲和乙的最大公因数是72，丙和丁的最大公因数是90，这四个数的最大公因数是多少？
答案
解:72=2×2×2×3×3 90=2×3×3×5
2×3×3=18
答:这四个数的最大公因数是18。
2×3×3=18
答:这四个数的最大公因数是18。
9. 【归纳法】最大公因数的传递性。
【定义】自然数$a$和$b$的最大公因数$c$可以表示为$(a,b)=c$。
【发现】写出每组数的最大公因数。
$(84,36)=(\quad)$ $(48,36)=(\quad)$
$(90,36)=(\quad)$ $(54,36)=(\quad)$
$(88,64)=(\quad)$ $(24,64)=(\quad)$
每一行中,第二组数是第一组两个数的$(\quad)$和第一组中的较小数,两组数的最大公因数$(\quad)$。
【猜想】对于自然数$a$、$b(a＞b)$,有:
$(a,b) ◯ (a-b,b)$
【证明】试证明你的猜想。(提示:不妨设$a=p× m,b=q× m$)
【定义】自然数$a$和$b$的最大公因数$c$可以表示为$(a,b)=c$。
【发现】写出每组数的最大公因数。
$(84,36)=(\quad)$ $(48,36)=(\quad)$
$(90,36)=(\quad)$ $(54,36)=(\quad)$
$(88,64)=(\quad)$ $(24,64)=(\quad)$
每一行中,第二组数是第一组两个数的$(\quad)$和第一组中的较小数,两组数的最大公因数$(\quad)$。
【猜想】对于自然数$a$、$b(a＞b)$,有:
$(a,b) ◯ (a-b,b)$
【证明】试证明你的猜想。(提示:不妨设$a=p× m,b=q× m$)
答案
【发现】12 12 18 18 8 8 差 相等
【猜想】=
【证明】设$(a,b)=m,a=p×m,b=q×m(p、q 互素,且p＞q)$,则$a-b=(p-q)×m$,由于p、q互素,所以p-q与q互素,因此$(a-b,b)=m$。
提示:【发现】求两个数最大公因数可以用分解素因数的方法,两个数共有素因数的积就是它们的最大公因数,据此求解即可,根据两个数的最大公因数的确定可以发现,每一行中,第二组数是第一组中的较小数和第一组两个数的差,两组数的最大公因数相等。
【猜想】对于自然数a、b(a＞b),有$(a,b)=(a-b,b)$。
【证明】设$(a,b)=m,a=p×m,b=q×m$(p、q互素),则$a-b=(p-q)m$,由于p、q互素,所以p-q与q互素。
【猜想】=
【证明】设$(a,b)=m,a=p×m,b=q×m(p、q 互素,且p＞q)$,则$a-b=(p-q)×m$,由于p、q互素,所以p-q与q互素,因此$(a-b,b)=m$。
提示:【发现】求两个数最大公因数可以用分解素因数的方法,两个数共有素因数的积就是它们的最大公因数,据此求解即可,根据两个数的最大公因数的确定可以发现,每一行中,第二组数是第一组中的较小数和第一组两个数的差,两组数的最大公因数相等。
【猜想】对于自然数a、b(a＞b),有$(a,b)=(a-b,b)$。
【证明】设$(a,b)=m,a=p×m,b=q×m$(p、q互素),则$a-b=(p-q)m$,由于p、q互素,所以p-q与q互素。
10. 转化思想 360、314 和 245 除以一个自然数，余数相等，这个自然数最大是多少？
答案
解:360-314=46,360-245=115,314-245=69,
46、115、69的最大公因数是23,所以自然数最大是23。
提示:一个自然数分别去除360、314、245得到相同的余数,那么这些被除数的差:360-314=46,360-245=115,314-245=69,都是这个所求自然数的倍数,即转化为求46、115、69的最大公因数。因为46、115、69的最大公因数是23,所以所求的自然数是23。
46、115、69的最大公因数是23,所以自然数最大是23。
提示:一个自然数分别去除360、314、245得到相同的余数,那么这些被除数的差:360-314=46,360-245=115,314-245=69,都是这个所求自然数的倍数,即转化为求46、115、69的最大公因数。因为46、115、69的最大公因数是23,所以所求的自然数是23。
11. 把26、33、34、35、63、85、91、143八个数分成若干组，要求每一组任意两个数的最大公因数是1，至少要分成多少组？
答案
解:因为$26=2×13$,$33=3×11$,$34=2×17$,$35=5×7$,$63=3×3×7$,$85=5×17$,$91=7×13$,$143=11×13$,
由于素数7、13都出现了三次,所以至少要分成3组。
提示:把这8个数都分解素因数,根据这8个数中相同素因数出现的次数来分析。
由于素数7、13都出现了三次,所以至少要分成3组。
提示:把这8个数都分解素因数,根据这8个数中相同素因数出现的次数来分析。
