6. 归纳法 最大公因数和最小公倍数。
【探索发现】8和10的最大公因数是2，最小公倍数是40，$8×10=2×40$。
【举例验证】()和()的最大公因数是(),最小公倍数是(),()×()○()×()。
【总结归纳】两个数的最大公因数与最小公倍数的积。
【实践运用】24和一个数的最大公因数是$a$,最小公倍数是48,那么另一个数是()(用含$a$的式子表示)。

【举例验证】12 18 6 36 12 18 = 6 36（答案不唯一）
【总结归纳】等于这两个数的积
【实践运用】2×a

7. 在前面的学习中我们知道了$(a,b)=(a-b,b)$，也就是说最大公因数有传递性，事实上，《九章算术中》就记载了一个利用这种传递性求两个数最大公因数的方法，名为更相减损术。下面是用更相减损术计算98与70最大公因数的过程：
$98-70=28,70-28=42,42-28=14,28-14=14$,由于减数与差相等,都是14,所以98与70的的最大公因数是14,记作$(98,70)=14$。
请你仿照示例,用更相减损术求360与312的最大公因数。

解:360-312=48 312-48=264 264-48=216
216-48=168 168-48=120 120-48=72
72-48=24 48-24=24
答:360与312的最大公因数是24。
提示:根据更相减损术的方法计算即可。

8. (1)将22分解素因数的结果是22=2×11,可以发现2+2=2+1+1,即这个合数的各数位上数的和等于它所有素因数(含重复)的各数位上数的和,像这样的数叫作“史密斯数”。4、15、27、26、51这五个数中,是史密斯数的有()个。
(2)一个偶数分别与和它相邻的两个偶数相乘,得到的两个积相差88,这三个偶数的和是()。
(3)林老师为学校采购了9台“小蜜蜂”扩音器,每台扩音器的价格是300多元,采购共花费22元。
(4)上海世界华人龙舟邀请赛自2009年以来在朱家角镇持续举办,2026年9月中旬举办第十五届赛事。赛事绕标赛赛道上原有201个浮漂(首尾各一个),每两个浮漂之间的距离都是15米,如果将每两个浮漂之间的距离改为20米,那么不需调整位置的浮漂有()个。

(1)2
提示:按史密斯数的判断方法逐个判断,4和27是史密斯数。
(2)66
提示:这个偶数相邻的2个偶数相差4,所以这个偶数是88÷4=22,因此这三个偶数的和是22×3=66。
(3)3222
提示:9的倍数的特征是各个数位上的数之和是9的倍数,由于2+2=4,所以千位和十位上的数的和是9-4=5或18-4=14,由于单价是三百多元,因此千位上的数是3,进而确定十位上的数是5-3=2。
(4)51
提示:赛道长度是(201-1)×15=3000(米);15和20的最小公倍数是60,而3000以内(含3000)60的倍数有3000÷60=50(个),所以不用调整位置的浮漂有50+1=51(个)。

9. 学校有1008名学生，中秋联欢会上，按1~1008的顺序给学生随机编号，编号是5的倍数或6的倍数的同学将得到一份小礼品，每人最多得1份，至少需要准备多少份礼品？

解:5和6的最小公倍数是30 1008÷5=201(份)……3(人) 1008÷6=168(份) 1008÷30=33(份)……18(人) 201+168-33=336(份)
答:至少需要准备336份礼品。
提示:要注意5和6的最小公倍数是30。根据题意,求出5的倍数个数和6的倍数个数的和,要把30的倍数的个数减去。

10. 甲、乙两人做游戏,对于指定的9个连续的自然数,甲将这9个数以任意顺序填在下图中第一行的方格中,乙将这9个数以任意顺序填在第二行的方格中,求出所有同一列两个数的差,再将得到的差相乘。游戏规则是若积是偶数,则甲胜;若积是奇数,则乙胜。这个游戏规则公平吗?为什么?

不公平,甲必胜。理由见提示。
提示:①若这9个连续整数是5个奇数、4个偶数,无论怎样填写,总有一列都是奇数,奇数-奇数=偶数,所以这9个差相乘一定是偶数;②若这9个连续整数有5个偶数、4个奇数,无论怎样填写,总有一列都是偶数,偶数-偶数=偶数,所以这9个差相乘一定是偶数,所以这个游戏不公平,甲必胜。