登录
1. 下列函数中，$y$是关于$x$的二次函数的是（
A.$y=2x+1$
B.$y=2x(x+1)$
C.$y=\dfrac{2}{x^2}$
D.$y=(x-2)^2 -x^2$
B
）A.$y=2x+1$
B.$y=2x(x+1)$
C.$y=\dfrac{2}{x^2}$
D.$y=(x-2)^2 -x^2$
答案
1.B 解析:二次函数的一般形式为 $y=ax^2+bx+c(a≠0)$. A 项 $y=2x+1$ 是一次函数,不符合;B 项 $y=2x(x+1)=2x^2+2x$,是二次函数;C 项 $y=\dfrac{2}{x^2}$ 不是整式形式,不符合; D 项 $y=(x-2)^2 -x^2=-4x+4$,是一次函数,不符合. 故选 B.
解析
【分析】
要判断一个函数是否为二次函数，首先要明确二次函数的判定标准：①函数表达式是关于自变量x的整式；②自变量x的最高次数是2；③二次项的系数不为0。解题时先把每个选项的表达式化简，再对照三个标准逐一排查即可得到答案，尤其注意有乘方、括号的表达式要先展开化简，不能仅看表面有平方项就判定为二次函数。
【解析】
二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，需满足整式、最高次为2、二次项系数不为0三个条件：
A选项：$y=2x+1$中x的最高次数为1，是一次函数，不符合二次函数定义；
B选项：将表达式展开得$y=2x(x+1)=2x^2+2x$，符合二次函数的定义；
C选项：$y=\dfrac{2}{x^2}$的分母含有自变量，是分式，不是整式，不符合二次函数定义；
D选项：将表达式展开化简得$y=(x-2)^2 -x^2=x^2-4x+4-x^2=-4x+4$，x的最高次数为1，是一次函数，不符合二次函数定义。
综上，只有B选项符合要求。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的定义、整式的化简
【点评】
本题是二次函数判定的基础题型，核心考查对二次函数定义的理解，解题时要注意先化简表达式再判断，避免被表面的平方项或分式形式误导。
【难度系数】
0.8
要判断一个函数是否为二次函数，首先要明确二次函数的判定标准：①函数表达式是关于自变量x的整式；②自变量x的最高次数是2；③二次项的系数不为0。解题时先把每个选项的表达式化简，再对照三个标准逐一排查即可得到答案，尤其注意有乘方、括号的表达式要先展开化简，不能仅看表面有平方项就判定为二次函数。
【解析】
二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，需满足整式、最高次为2、二次项系数不为0三个条件：
A选项：$y=2x+1$中x的最高次数为1，是一次函数，不符合二次函数定义；
B选项：将表达式展开得$y=2x(x+1)=2x^2+2x$，符合二次函数的定义；
C选项：$y=\dfrac{2}{x^2}$的分母含有自变量，是分式，不是整式，不符合二次函数定义；
D选项：将表达式展开化简得$y=(x-2)^2 -x^2=x^2-4x+4-x^2=-4x+4$，x的最高次数为1，是一次函数，不符合二次函数定义。
综上，只有B选项符合要求。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的定义、整式的化简
【点评】
本题是二次函数判定的基础题型，核心考查对二次函数定义的理解，解题时要注意先化简表达式再判断，避免被表面的平方项或分式形式误导。
【难度系数】
0.8
2. 抛物线$y=2(x-3)^2+4$的顶点坐标是（
A.$(3,4)$
B.$(-3,4)$
C.$(3,-4)$
D.$(2,4)$
A
）A.$(3,4)$
B.$(-3,4)$
C.$(3,-4)$
D.$(2,4)$
答案
2.A 解析:抛物线 $y=a(x-h)^2+k$ 的顶点坐标为 $(h,k)$. $y=2(x-3)^2+4$ 中 $h=3,k=4$,则顶点坐标为 $(3,4)$. 故选 A.
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的应用，解题思路如下：首先回忆二次函数顶点式的标准形式，明确顶点式中各参数与顶点坐标的对应关系；再将题目给出的抛物线解析式与标准顶点式对照，找出对应参数h、k的值，注意h的符号是易错点，括号内为x减h，因此h取括号内常数的相反数；最后根据对应关系直接写出顶点坐标，匹配正确选项即可。
【解析】
二次函数的顶点式为$ y=a(x-h)^2+k $（$ a≠0 $），其顶点坐标为$ (h,k) $。
将题目中的抛物线解析式$ y=2(x-3)^2+4 $与顶点式对照，可得$ h=3 $，$ k=4 $，因此该抛物线的顶点坐标为$ (3,4) $。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数顶点坐标
【点评】
本题属于基础题，核心是对二次函数顶点式的理解与识记，解题时需注意顶点式中h的符号，避免因符号混淆导致错误。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数顶点式的应用，解题思路如下：首先回忆二次函数顶点式的标准形式，明确顶点式中各参数与顶点坐标的对应关系；再将题目给出的抛物线解析式与标准顶点式对照，找出对应参数h、k的值，注意h的符号是易错点，括号内为x减h，因此h取括号内常数的相反数；最后根据对应关系直接写出顶点坐标，匹配正确选项即可。
【解析】
二次函数的顶点式为$ y=a(x-h)^2+k $（$ a≠0 $），其顶点坐标为$ (h,k) $。
将题目中的抛物线解析式$ y=2(x-3)^2+4 $与顶点式对照，可得$ h=3 $，$ k=4 $，因此该抛物线的顶点坐标为$ (3,4) $。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数顶点坐标
【点评】
本题属于基础题，核心是对二次函数顶点式的理解与识记，解题时需注意顶点式中h的符号，避免因符号混淆导致错误。
【难度系数】
0.9
3. 下列各点中，不在双曲线$y=-\dfrac{8}{x}$上的点是（
A.$(-2,-4)$
B.$(-2,4)$
C.$(1,-8)$
D.$(-4,2)$
A
）A.$(-2,-4)$
B.$(-2,4)$
C.$(1,-8)$
D.$(-4,2)$
答案
3.A 解析:双曲线 $y=-\dfrac{8}{x}$ 上的点满足 $xy=-8$. A 项 $(-2)×(-4)=8$,不满足;B 项 $(-2)×4=-8$,满足;C 项 $1×(-8)=-8$,满足;D 项 $(-4)×2=-8$,满足. 故选 A.
解析
【分析】
要判断点是否在反比例函数图像上，只需验证点的横、纵坐标是否满足函数解析式即可。对于反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$，可变形为$xy=k$，因此只需计算各选项中点的横纵坐标乘积，判断是否等于$k=-8$，乘积不相等的点就不在双曲线上。
【解析】
将双曲线解析式$y=-\dfrac{8}{x}$变形为$xy=-8$，即双曲线上任意点的横、纵坐标乘积均为$-8$，逐个验证选项：
A项：$x=-2$，$y=-4$，$xy=(-2)×(-4)=8≠-8$，不满足条件，该点不在双曲线上；
B项：$x=-2$，$y=4$，$xy=(-2)×4=-8$，满足条件，该点在双曲线上；
C项：$x=1$，$y=-8$，$xy=1×(-8)=-8$，满足条件，该点在双曲线上；
D项：$x=-4$，$y=2$，$xy=(-4)×2=-8$，满足条件，该点在双曲线上。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数图像上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，解题核心是掌握反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的性质：图像上任意一点的横、纵坐标乘积恒等于$k$，计算时注意正负号即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要判断点是否在反比例函数图像上，只需验证点的横、纵坐标是否满足函数解析式即可。对于反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$，可变形为$xy=k$，因此只需计算各选项中点的横纵坐标乘积，判断是否等于$k=-8$，乘积不相等的点就不在双曲线上。
【解析】
将双曲线解析式$y=-\dfrac{8}{x}$变形为$xy=-8$，即双曲线上任意点的横、纵坐标乘积均为$-8$，逐个验证选项：
A项：$x=-2$，$y=-4$，$xy=(-2)×(-4)=8≠-8$，不满足条件，该点不在双曲线上；
B项：$x=-2$，$y=4$，$xy=(-2)×4=-8$，满足条件，该点在双曲线上；
C项：$x=1$，$y=-8$，$xy=1×(-8)=-8$，满足条件，该点在双曲线上；
D项：$x=-4$，$y=2$，$xy=(-4)×2=-8$，满足条件，该点在双曲线上。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数图像上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，解题核心是掌握反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的性质：图像上任意一点的横、纵坐标乘积恒等于$k$，计算时注意正负号即可快速解题。
【难度系数】
0.9
4. ★★(泰安中考)将抛物线$y=-x^2 -2x +3$向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的抛物线必定经过 (
A.$(-2,2)$
B.$(-1,1)$
C.$(0,6)$
D.$(1,-3)$
B
)A.$(-2,2)$
B.$(-1,1)$
C.$(0,6)$
D.$(1,-3)$
答案
4.B 解析:$y=-x^2-2x+3=-(x+1)^2+4$. 向右平移 1 个单位长度得 $y=-x^2+4$,再向下平移 2 个单位长度得 $y=-x^2+2$. 把各选项横坐标代入,当 $x=-1$ 时, $y=-1+2=1$,$\therefore (-1,1)$ 在抛物线上. 故选 B.
解析
【分析】
要解决这道题，首先需将原抛物线的一般式配方为顶点式，方便根据平移规则计算平移后的抛物线解析式；平移时遵循“左加右减（针对x），上加下减（针对整个函数值）”的规律，得到平移后的解析式后，将各选项的横坐标代入解析式计算纵坐标，与选项给出的纵坐标对比即可判断点是否在抛物线上。
【解析】
第一步：将原抛物线解析式配方为顶点式
$y=-x^2-2x+3=-(x^2+2x)+3=-[(x+1)^2-1]+3=-(x+1)^2+4$
第二步：根据平移规则求平移后的解析式
向右平移1个单位长度，将x替换为$x-1$，得：
$y=-(x-1+1)^2+4=-x^2+4$
再向下平移2个单位长度，将整体减去2，得：
$y=-x^2+4-2=-x^2+2$
第三步：逐一代入选项验证
A. 当$x=-2$时，$y=-(-2)^2+2=-4+2=-2≠2$，故$(-2,2)$不在抛物线上；
B. 当$x=-1$时，$y=-(-1)^2+2=-1+2=1$，故$(-1,1)$在抛物线上；
C. 当$x=0$时，$y=-0^2+2=2≠6$，故$(0,6)$不在抛物线上；
D. 当$x=1$时，$y=-1^2+2=1≠-3$，故$(1,-3)$不在抛物线上。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数的配方；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，核心考查二次函数图象的平移规则，解题关键是正确对原函数配方、熟练运用平移规律得到平移后的解析式，再代入验证即可，易错点是混淆平移时“左加右减”的作用对象。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需将原抛物线的一般式配方为顶点式，方便根据平移规则计算平移后的抛物线解析式；平移时遵循“左加右减（针对x），上加下减（针对整个函数值）”的规律，得到平移后的解析式后，将各选项的横坐标代入解析式计算纵坐标，与选项给出的纵坐标对比即可判断点是否在抛物线上。
【解析】
第一步：将原抛物线解析式配方为顶点式
$y=-x^2-2x+3=-(x^2+2x)+3=-[(x+1)^2-1]+3=-(x+1)^2+4$
第二步：根据平移规则求平移后的解析式
向右平移1个单位长度，将x替换为$x-1$，得：
$y=-(x-1+1)^2+4=-x^2+4$
再向下平移2个单位长度，将整体减去2，得：
$y=-x^2+4-2=-x^2+2$
第三步：逐一代入选项验证
A. 当$x=-2$时，$y=-(-2)^2+2=-4+2=-2≠2$，故$(-2,2)$不在抛物线上；
B. 当$x=-1$时，$y=-(-1)^2+2=-1+2=1$，故$(-1,1)$在抛物线上；
C. 当$x=0$时，$y=-0^2+2=2≠6$，故$(0,6)$不在抛物线上；
D. 当$x=1$时，$y=-1^2+2=1≠-3$，故$(1,-3)$不在抛物线上。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数的配方；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，核心考查二次函数图象的平移规则，解题关键是正确对原函数配方、熟练运用平移规律得到平移后的解析式，再代入验证即可，易错点是混淆平移时“左加右减”的作用对象。
【难度系数】
0.7
5. ★★★ (2024·天津中考)若点$A(x_1,-1)$,$B(x_2,1)$,$C(x_3,5)$都在反比例函数$y=\dfrac{5}{x}$的图象上，则$x_1$,$x_2$,$x_3$的大小关系是 (
A.$x_1＜x_2＜x_3$
B.$x_1＜x_3＜x_2$
C.$x_3＜x_2＜x_1$
D.$x_2＜x_1＜x_3$
B
)A.$x_1＜x_2＜x_3$
B.$x_1＜x_3＜x_2$
C.$x_3＜x_2＜x_1$
D.$x_2＜x_1＜x_3$
答案
5.B 解析:点在 $y=\dfrac{5}{x}$ 上,则 $x=\dfrac{5}{y}$. 当 $y=-1$ 时,$x_1=-5$;当 $y=1$ 时,$x_2=5$;当 $y=5$ 时,$x_3=1$.$-5＜1＜5$,即 $x_1＜x_3＜x_2$. 故选 B.
解析
【分析】
要判断三个横坐标的大小关系，首先明确反比例函数图象上的任意一点的坐标都满足函数解析式。已知三个点的纵坐标，我们可以先将反比例函数解析式变形为用y表示x的形式，再分别代入三个点的纵坐标求出对应的$x_1$、$x_2$、$x_3$的值，最后比较三个数值的大小即可得到结果。
【解析】
∵点A、B、C都在反比例函数$y=\dfrac{5}{x}$的图象上，
∴将解析式变形可得$x=\dfrac{5}{y}$。
当$y=-1$时，$x_1=\dfrac{5}{-1}=-5$；
当$y=1$时，$x_2=\dfrac{5}{1}=5$；
当$y=5$时，$x_3=\dfrac{5}{5}=1$。
∵$-5＜1＜5$，
∴$x_1＜x_3＜x_2$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 反比例函数图象上点的坐标特征
2. 有理数大小比较
【点评】
本题属于基础题，考查反比例函数的相关应用，解题方法灵活，既可以直接代入计算横坐标比较大小，也可以结合反比例函数的图象所在象限、增减性进行判断，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要判断三个横坐标的大小关系，首先明确反比例函数图象上的任意一点的坐标都满足函数解析式。已知三个点的纵坐标，我们可以先将反比例函数解析式变形为用y表示x的形式，再分别代入三个点的纵坐标求出对应的$x_1$、$x_2$、$x_3$的值，最后比较三个数值的大小即可得到结果。
【解析】
∵点A、B、C都在反比例函数$y=\dfrac{5}{x}$的图象上，
∴将解析式变形可得$x=\dfrac{5}{y}$。
当$y=-1$时，$x_1=\dfrac{5}{-1}=-5$；
当$y=1$时，$x_2=\dfrac{5}{1}=5$；
当$y=5$时，$x_3=\dfrac{5}{5}=1$。
∵$-5＜1＜5$，
∴$x_1＜x_3＜x_2$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 反比例函数图象上点的坐标特征
2. 有理数大小比较
【点评】
本题属于基础题，考查反比例函数的相关应用，解题方法灵活，既可以直接代入计算横坐标比较大小，也可以结合反比例函数的图象所在象限、增减性进行判断，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
6. ★★★ (牡丹江中考)如图，等边三角形OAB中，点B在x轴正半轴上，$S_{△ OAB}=4\sqrt{3}$，若反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$图象的一支经过点A，则k的值是（
A.$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$\frac{3\sqrt{3}}{4}$
D.$4\sqrt{3}$
D
）A.$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$\frac{3\sqrt{3}}{4}$
D.$4\sqrt{3}$
答案
6.D 解析:设等边三角形 OAB 的边长为 $a$,则 $\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2=4\sqrt{3}$,解得 $a=4$. $\because$ 点 B 在 x 轴正半轴上,$\therefore$ 点 A 的坐标为 $(2,2\sqrt{3})$. $\because$ 反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象经过点 A,$\therefore k=2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$.故选 D.
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以分三步思考：首先，已知等边三角形OAB的面积，我们可以利用等边三角形的面积公式求出它的边长；其次，根据等边三角形的性质，结合平面直角坐标系的特点，求出点A的横、纵坐标；最后，因为点A在反比例函数图象上，将点A坐标代入反比例函数解析式，即可求出k的值。
【解析】
设等边三角形OAB的边长为$a$，根据等边三角形面积公式$S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$，已知$S_{△ OAB}=4\sqrt{3}$，可得：
$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=4\sqrt{3}$
两边同时除以$\sqrt{3}$得：$\frac{1}{4}a^2=4$，解得$a=4$（边长为正数，舍去负解）。
因为等边三角形OAB中，点B在x轴正半轴上，过点A作x轴的垂线，垂足为OB中点，所以点A的横坐标为$\frac{a}{2}=2$，纵坐标为等边三角形的高$\frac{\sqrt{3}}{2}a=2\sqrt{3}$，即$A(2,2\sqrt{3})$。
因为反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点A，将点A坐标代入解析式得：$k=xy=2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形面积计算，坐标与图形性质，反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数与等边三角形的综合基础题，解题的核心是熟练掌握等边三角形的面积公式和性质，准确求出点A的坐标，再结合反比例函数的性质求解k，计算难度较低，解题思路清晰。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以分三步思考：首先，已知等边三角形OAB的面积，我们可以利用等边三角形的面积公式求出它的边长；其次，根据等边三角形的性质，结合平面直角坐标系的特点，求出点A的横、纵坐标；最后，因为点A在反比例函数图象上，将点A坐标代入反比例函数解析式，即可求出k的值。
【解析】
设等边三角形OAB的边长为$a$，根据等边三角形面积公式$S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$，已知$S_{△ OAB}=4\sqrt{3}$，可得：
$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=4\sqrt{3}$
两边同时除以$\sqrt{3}$得：$\frac{1}{4}a^2=4$，解得$a=4$（边长为正数，舍去负解）。
因为等边三角形OAB中，点B在x轴正半轴上，过点A作x轴的垂线，垂足为OB中点，所以点A的横坐标为$\frac{a}{2}=2$，纵坐标为等边三角形的高$\frac{\sqrt{3}}{2}a=2\sqrt{3}$，即$A(2,2\sqrt{3})$。
因为反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点A，将点A坐标代入解析式得：$k=xy=2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形面积计算，坐标与图形性质，反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数与等边三角形的综合基础题，解题的核心是熟练掌握等边三角形的面积公式和性质，准确求出点A的坐标，再结合反比例函数的性质求解k，计算难度较低，解题思路清晰。
【难度系数】
0.7
7. ★★★ 一位篮球运动员跳起投篮,篮球运动的高度 y(m)关于篮球运动的水平距离 x(m)的函数表达式为 $y=-\dfrac{1}{5}(x-2.5)^2+3.5$.已知篮圈中心到地面的距离是3.05 m,如果篮球运动的高度达到最高点之后能准确投入篮圈,那么篮球运动的水平距离为 (
A.1 m
B.2 m
C.4 m
D.5 m
C
)A.1 m
B.2 m
C.4 m
D.5 m
答案
7.C 解析:篮圈中心到地面的距离为 3.05 m,把 $y=3.05$ 代入 $y=-\dfrac{1}{5}(x-2.5)^2+3.5$,得 $-\dfrac{1}{5}(x-2.5)^2+3.5=3.05$,则 $(x-2.5)^2=2.25$,解得 $x=1$ 或 $x=4$.篮球达到最高点之后投入篮圈,取 $x＞2.5$,则 $x=4$.故选 C.
解析
【分析】
本题是二次函数在实际投篮场景中的应用，解题思路如下：1. 篮圈到地面的高度对应函数值y=3.05m，需求出对应水平距离x；2. 该二次函数开口向下，顶点(2.5,3.5)是篮球运动的最高点，题目要求最高点后投中篮圈，因此所求x必须大于顶点横坐标2.5；3. 将y=3.05代入函数解方程后，筛选出符合x＞2.5的解即可。
【解析】
解：已知篮圈中心到地面的距离为3.05m，即y=3.05，代入函数表达式$y=-\dfrac{1}{5}(x-2.5)^2+3.5$，得：
$-\dfrac{1}{5}(x-2.5)^2+3.5=3.05$
移项整理可得：$(x-2.5)^2=(3.5-3.05)×5=2.25$
开平方得：$x-2.5=\pm1.5$
解得：$x_1=1$，$x_2=4$
∵篮球在达到最高点之后投入篮圈，二次函数顶点横坐标为2.5，即x＞2.5
∴舍去x=1，取x=4
故选C。
【答案】C
【知识点】
二次函数的应用；二次函数顶点性质；解一元二次方程
【点评】
本题结合生活中的投篮场景考查二次函数的实际应用，解题关键是要注意题目中“达到最高点之后投入篮圈”的限定条件，避免未筛选解导致选错答案。
【难度系数】
0.6
本题是二次函数在实际投篮场景中的应用，解题思路如下：1. 篮圈到地面的高度对应函数值y=3.05m，需求出对应水平距离x；2. 该二次函数开口向下，顶点(2.5,3.5)是篮球运动的最高点，题目要求最高点后投中篮圈，因此所求x必须大于顶点横坐标2.5；3. 将y=3.05代入函数解方程后，筛选出符合x＞2.5的解即可。
【解析】
解：已知篮圈中心到地面的距离为3.05m，即y=3.05，代入函数表达式$y=-\dfrac{1}{5}(x-2.5)^2+3.5$，得：
$-\dfrac{1}{5}(x-2.5)^2+3.5=3.05$
移项整理可得：$(x-2.5)^2=(3.5-3.05)×5=2.25$
开平方得：$x-2.5=\pm1.5$
解得：$x_1=1$，$x_2=4$
∵篮球在达到最高点之后投入篮圈，二次函数顶点横坐标为2.5，即x＞2.5
∴舍去x=1，取x=4
故选C。
【答案】C
【知识点】
二次函数的应用；二次函数顶点性质；解一元二次方程
【点评】
本题结合生活中的投篮场景考查二次函数的实际应用，解题关键是要注意题目中“达到最高点之后投入篮圈”的限定条件，避免未筛选解导致选错答案。
【难度系数】
0.6
8. ★★★ (日照中考)已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的部分图象如图所示，对称轴为直线$x=\frac{3}{2}$，且经过点$(-1,0)$。下列结论：①$3a+b=0$；②若点$(\frac{1}{2},y_1),(3,y_2)$是抛物线上的两点，则$y_1＜y_2$；③$10b-3c=0$；④若$y≤c$，则$0≤x≤3$。其中正确的有 (
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
(第8题)
C
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
(第8题)答案
8.C 解析:对称轴为直线 $x=\dfrac{3}{2}$,则 $-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{3}{2}$,得 $3a+b=0$,①正确. 由图象开口向上可知,点 $(\dfrac{1}{2},y_1)$ 到对称轴的距离小于点 $(3,y_2)$ 到对称轴的距离,故 $y_1＜y_2$,②正确. 点 $(-1,0)$ 关于对称轴的对称点为 $(4,0)$,则抛物线与 x 轴交于 $(-1,0)$ 和 $(4,0)$.设 $y=a(x+1)(x-4)$,则 $b=-3a,c=-4a$,所以 $10b-3c=-18a≠0$,③错误. $y-c=a(x+1)(x-4)-(-4a)=ax(x-3)$,开口向上时,$y≤c$ 对应 $0≤x≤3$,④正确. 正确的有 3 个. 故选 C.
解析
【分析】
解决这类二次函数结论判断题，先提取已知条件：抛物线开口向上，对称轴为直线$x=\frac{3}{2}$，过点$(-1,0)$，再逐个验证结论：①涉及a、b的关系，直接用对称轴公式推导；②比较函数值大小，开口向上时，点到对称轴的距离越远函数值越大，计算两点到对称轴的距离即可判断；③涉及b、c的等量关系，利用二次函数的对称性找到抛物线与x轴的另一个交点，设交点式用a表示b、c，代入式子验证；④解$y≤c$的不等式，化简后结合开口方向求解集即可。
【解析】
1. 验证结论①：
由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=\frac{3}{2}$，化简得$-b=3a$，即$3a+b=0$，故①正确。
2. 验证结论②：
抛物线开口向上，抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大。
点$(\frac{1}{2},y_1)$到对称轴$x=\frac{3}{2}$的距离为$\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1$；
点$(3,y_2)$到对称轴的距离为$3-\frac{3}{2}=1.5$；
因为$1＜1.5$，所以$y_1＜y_2$，故②正确。
3. 验证结论③：
二次函数图像关于对称轴对称，已知过点$(-1,0)$，则该点关于对称轴$x=\frac{3}{2}$的对称点为$(4,0)$，即抛物线与x轴交于$(-1,0)$和$(4,0)$。
设交点式$y=a(x+1)(x-4)=ax^2-3ax-4a$，可得$b=-3a$，$c=-4a$。
代入$10b-3c$得：$10×(-3a)-3×(-4a)=-30a+12a=-18a$，因为$a≠0$，所以$10b-3c≠0$，故③错误。
4. 验证结论④：
$y≤c$即$ax^2+bx+c≤c$，化简得$ax^2+bx≤0$。
将$b=-3a$代入得：$ax^2-3ax≤0$，因$a＞0$，两边除以$a$不等号方向不变，得$x^2-3x≤0$，即$x(x-3)≤0$，解得$0≤x≤3$，故④正确。
综上，正确的结论为①②④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图像与性质；二次函数的对称性；二次函数与不等式
【点评】
本题是二次函数的综合类题型，需要熟练运用对称轴公式、函数对称性、交点式、不等式求解等知识，通过逐个验证结论的方式解题，是二次函数的常考典型题型。
【难度系数】
0.6
解决这类二次函数结论判断题，先提取已知条件：抛物线开口向上，对称轴为直线$x=\frac{3}{2}$，过点$(-1,0)$，再逐个验证结论：①涉及a、b的关系，直接用对称轴公式推导；②比较函数值大小，开口向上时，点到对称轴的距离越远函数值越大，计算两点到对称轴的距离即可判断；③涉及b、c的等量关系，利用二次函数的对称性找到抛物线与x轴的另一个交点，设交点式用a表示b、c，代入式子验证；④解$y≤c$的不等式，化简后结合开口方向求解集即可。
【解析】
1. 验证结论①：
由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=\frac{3}{2}$，化简得$-b=3a$，即$3a+b=0$，故①正确。
2. 验证结论②：
抛物线开口向上，抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大。
点$(\frac{1}{2},y_1)$到对称轴$x=\frac{3}{2}$的距离为$\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1$；
点$(3,y_2)$到对称轴的距离为$3-\frac{3}{2}=1.5$；
因为$1＜1.5$，所以$y_1＜y_2$，故②正确。
3. 验证结论③：
二次函数图像关于对称轴对称，已知过点$(-1,0)$，则该点关于对称轴$x=\frac{3}{2}$的对称点为$(4,0)$，即抛物线与x轴交于$(-1,0)$和$(4,0)$。
设交点式$y=a(x+1)(x-4)=ax^2-3ax-4a$，可得$b=-3a$，$c=-4a$。
代入$10b-3c$得：$10×(-3a)-3×(-4a)=-30a+12a=-18a$，因为$a≠0$，所以$10b-3c≠0$，故③错误。
4. 验证结论④：
$y≤c$即$ax^2+bx+c≤c$，化简得$ax^2+bx≤0$。
将$b=-3a$代入得：$ax^2-3ax≤0$，因$a＞0$，两边除以$a$不等号方向不变，得$x^2-3x≤0$，即$x(x-3)≤0$，解得$0≤x≤3$，故④正确。
综上，正确的结论为①②④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图像与性质；二次函数的对称性；二次函数与不等式
【点评】
本题是二次函数的综合类题型，需要熟练运用对称轴公式、函数对称性、交点式、不等式求解等知识，通过逐个验证结论的方式解题，是二次函数的常考典型题型。
【难度系数】
0.6
9. 若函数$y=x^2 -2x +b$的图象与坐标轴有三个交点，则$b$的取值范围是（
A.$b＜1$且$b≠0$
B.$b＞1$
C.$0＜b＜1$
D.$b＜1$
A
）A.$b＜1$且$b≠0$
B.$b＞1$
C.$0＜b＜1$
D.$b＜1$
答案
9.A 解析:函数 $y=x^2-2x+b$ 的图象与 y 轴一定有一个交点. 若与坐标轴有三个交点,则与 x 轴有两个不同交点,且与 y 轴的交点不能和与 x 轴的交点重合. 由 $\Delta=(-2)^2-4b＞0$,得 $b＜1$;又当 $b=0$ 时图象经过原点,与坐标轴的交点只有两个不同点,故 $b≠0$. 所以 $b＜1$ 且 $b≠0$. 故选 A.
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以分步骤思考：首先，二次函数的图象与y轴必然存在一个交点，要使得图象和坐标轴总共有三个交点，需要满足两个条件：一是与x轴有两个不同的交点，保证除了y轴的交点外，x轴上有两个交点；二是与y轴的交点不能和x轴上的交点重合，也就是图象不能经过原点，否则会减少一个交点。接下来我们分别根据这两个条件推导b的取值范围即可。
【解析】
函数$y=x^2-2x+b$是二次函数，它的图象与y轴一定有一个交点$(0,b)$。
若图象与坐标轴有三个交点，首先需要和x轴有两个不同的交点，对应一元二次方程$x^2-2x+b=0$有两个不相等的实数根，因此判别式$\Delta＞0$：
$\Delta=(-2)^2-4×1× b=4-4b＞0$，解得$b＜1$。
其次，若$b=0$，此时函数为$y=x^2-2x=x(x-2)$，图象经过原点$(0,0)$，此时与坐标轴的交点为$(0,0)$和$(2,0)$，仅两个交点，不符合要求，因此$b≠0$。
综上，$b$的取值范围是$b＜1$且$b≠0$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数与坐标轴交点、根的判别式应用、二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数交点问题的常见易错题，解题的关键是不要遗漏“图象过原点时交点总数减少”这个特殊情况，需要结合图象全面分析条件，避免只考虑判别式而错选。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们可以分步骤思考：首先，二次函数的图象与y轴必然存在一个交点，要使得图象和坐标轴总共有三个交点，需要满足两个条件：一是与x轴有两个不同的交点，保证除了y轴的交点外，x轴上有两个交点；二是与y轴的交点不能和x轴上的交点重合，也就是图象不能经过原点，否则会减少一个交点。接下来我们分别根据这两个条件推导b的取值范围即可。
【解析】
函数$y=x^2-2x+b$是二次函数，它的图象与y轴一定有一个交点$(0,b)$。
若图象与坐标轴有三个交点，首先需要和x轴有两个不同的交点，对应一元二次方程$x^2-2x+b=0$有两个不相等的实数根，因此判别式$\Delta＞0$：
$\Delta=(-2)^2-4×1× b=4-4b＞0$，解得$b＜1$。
其次，若$b=0$，此时函数为$y=x^2-2x=x(x-2)$，图象经过原点$(0,0)$，此时与坐标轴的交点为$(0,0)$和$(2,0)$，仅两个交点，不符合要求，因此$b≠0$。
综上，$b$的取值范围是$b＜1$且$b≠0$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数与坐标轴交点、根的判别式应用、二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数交点问题的常见易错题，解题的关键是不要遗漏“图象过原点时交点总数减少”这个特殊情况，需要结合图象全面分析条件，避免只考虑判别式而错选。
【难度系数】
0.6
10. （锦州中考）如图，四边形ABCD是边长为2 cm的正方形，点E,F分别为边AD,CD的中点，点O为正方形的中心，连接OE,OF，点P从点E出发沿E-O-F运动，同时点Q从点B出发沿BC运动，两点运动速度均为1 cm/s，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为t s，连接BP,PQ,△BPQ的面积为S cm²，下列图象能正确反映出S与t的函数关系的是（
D
）答案
10.D 解析:由题意知,Q 到 B 的距离为 $t$ cm. 当 $0＜t≤1$ 时,点 P 从 E 到 O,点 P 到 BC 的距离为 $(2-t)$ cm,则 $S=\dfrac{1}{2}t(2-t)$,图象是开口向下的一段曲线,且 $t=1$ 时 $S=\dfrac{1}{2}$.当 $1＜t≤2$ 时,点 P 从 O 到 F,点 P 到 BC 的距离恒为 1 cm,则 $S=\dfrac{1}{2}t$,图象是一段上升直线. 故选 D.
解析
【分析】
这是动点与函数图象结合的问题，解题时需按点P的运动路径分段讨论：首先明确△BPQ的底是运动的BQ，长度随时间t变化，高是点P到BC边的垂直距离，分P在EO段、OF段两种情况，分别求出S与t的函数关系式，再根据函数类型判断对应图象即可。
【解析】
由题意得，点Q运动速度为1cm/s，故BQ的长度为$t$ cm。
①当$0＜t≤1$时，点P沿$E→O$运动：此时点P到BC边的距离为$(2-t)$ cm，根据三角形面积公式可得$S=\frac{1}{2} × BQ × 高=\frac{1}{2}t(2-t)$，该函数是开口向下的二次函数，对应图象为开口向下的曲线段，当$t=1$时，$S=\frac{1}{2} ×1 ×(2-1)=\frac{1}{2}$。
②当$1＜t≤2$时，点P沿$O→F$运动：此时点P到BC边的距离恒为1 cm，故$S=\frac{1}{2} × t ×1=\frac{1}{2}t$，该函数是正比例函数，对应图象为上升的直线段。
综上，符合条件的图象为D选项。
【答案】
D
【知识点】
动点函数图象；三角形面积计算；函数性质应用
【点评】
本题属于分段函数的实际应用类问题，核心解题思路是分类讨论不同运动阶段的变量关系，结合函数性质匹配图象，较好地考查了分类讨论和数形结合的数学思想。
【难度系数】
0.7
这是动点与函数图象结合的问题，解题时需按点P的运动路径分段讨论：首先明确△BPQ的底是运动的BQ，长度随时间t变化，高是点P到BC边的垂直距离，分P在EO段、OF段两种情况，分别求出S与t的函数关系式，再根据函数类型判断对应图象即可。
【解析】
由题意得，点Q运动速度为1cm/s，故BQ的长度为$t$ cm。
①当$0＜t≤1$时，点P沿$E→O$运动：此时点P到BC边的距离为$(2-t)$ cm，根据三角形面积公式可得$S=\frac{1}{2} × BQ × 高=\frac{1}{2}t(2-t)$，该函数是开口向下的二次函数，对应图象为开口向下的曲线段，当$t=1$时，$S=\frac{1}{2} ×1 ×(2-1)=\frac{1}{2}$。
②当$1＜t≤2$时，点P沿$O→F$运动：此时点P到BC边的距离恒为1 cm，故$S=\frac{1}{2} × t ×1=\frac{1}{2}t$，该函数是正比例函数，对应图象为上升的直线段。
综上，符合条件的图象为D选项。
【答案】
D
【知识点】
动点函数图象；三角形面积计算；函数性质应用
【点评】
本题属于分段函数的实际应用类问题，核心解题思路是分类讨论不同运动阶段的变量关系，结合函数性质匹配图象，较好地考查了分类讨论和数形结合的数学思想。
【难度系数】
0.7
