1. 如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米.如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面2米,则小巷的宽度为 ()

A.0.7米
B.1.5米
C.2.2米
D.2.4米

1. C

2. ★★★ (2026·成都月考)如图，AB,BC,CD,DE是四根长度均为5 cm的火柴棒，点A,C,E共线。若AC=6 cm,CD⊥BC,则线段CE的长度是 ()

A.6 cm
B.7 cm
C.$\sqrt{72}$ cm
D.8 cm

2. D

3. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$CD⊥ AB$,垂足为$D$,$AF$平分$∠ CAB$,交$CD$于点$E$,交$CB$于点$F$.若$AC=9$,$AB=15$,则$CE$的长为 ()

A.$4$
B.$\dfrac{9}{2}$
C.$\dfrac{24}{5}$
D.$5$

3. B

4. （2026·宁波期中）如图，BD是$△ ABC$的角平分线，$BA=BC=10$，$AC=12$，$DE// BC$，$P$，$Q$分别是$BD$和$BC$上的任意一点；连结$PA$，$PC$，$PQ$，$AQ$，给出下列结论：①$PC+PQ≥ AQ$；②$AE+DE=BC$；③$PC+PQ$的最小值是$\frac{48}{5}$；④若$AP$平分$∠ BAC$，则$△ APD$的面积为9。其中正确的是（）

A.①②③
B.①②④
C.②③④
D.①②③④

4. D 解析:①
∵BA=BC=10,BD是△ABC的角平分线,
∴BD⊥AC,AD=CD,
∴BD垂直平分AC,
∴AP=PC,
∴PC+PQ=AP+PQ.
∵AP+PQ≥AQ,
∴PC+PQ≥AQ,故①正确;②
∵DE//BC,
∴∠EDB=∠DBC,∠ADE=∠ACB.
∵BD是△ABC的角平分线,
∴∠EBD=∠DBC,
∴∠EDB=∠EBD,
∴EB=ED.
∵AB=BC,
∴∠BAC=∠ACB.
∵∠ADE=∠ACB,
∴∠ADE=∠BAD,
∴EA=ED,
∴AE=DE=BE=$\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}BC$,
∴AE+DE=BC,故②正确;③根据解析①可知,PC+PQ=AP+PQ,
∴当AP+PQ的值最小时,PC+PQ的值最小,过点A作AM⊥BC于点M,当点P在AM与BD交点处时,AP+PQ=AM,此时AP+PQ的值最小,且最小值为AM,
∵BD平分∠ABC,
∴BD⊥AC,
∴BD=$\sqrt{AB^2-AD^2}=8$.
∵ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC · BD=\frac{1}{2}BC · AM$,
∴ $AM=\frac{AC · BD}{BC}=\frac{12×8}{10}=\frac{48}{5}$,即PC+PQ的最小值是$\frac{48}{5}$,故③正确;④过点P作PN⊥AB于点N,
∵AP平分∠BAC,PD⊥AC,
∴PN=PD.
∵ $\frac{S_{△ APD}}{S_{△ APB}}=\frac{AD}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$,$S_{△ APD}+S_{△ APB}=S_{△ ADB}=\frac{1}{2}×6×8=24$,
∴ $S_{△ APD}=\frac{3}{3+5}×S_{△ ABD}=\frac{3}{8}×24=9$,故④正确.综上可知,正确的有①②③④,故选D.

5. ★★★|一题多解（2024·陕西中考）如图，在△ABC中，AB=AC，E是边AB上一点，连结CE，在BC的右侧作BF//AC，且BF=AE，连结CF。若AC=13，BC=10，则四边形EBFC的面积为。
（第5题）

5. 60 解析:
∵ AB = AC,
∴ ∠ABC = ∠ACB.
∵ BF // AC,
∴ ∠ACB=∠CBF,
∴ ∠ABC = ∠CBF,
∴ BC 平分∠ABF,如图,过点 C 作 CM ⊥ AB 于点 M,CN ⊥ BF 于点 N,则 CM = CN.
∵ $S_{△ ACE}=\frac{1}{2}AE · CM$,$S_{△ CBF}=\frac{1}{2}BF · CN$,且 BF=AE,
∴ $S_{△ CBF}=S_{△ ACE}$,
∴ 四边形 EBFC 的面积 = $S_{△ CBF} + S_{△ CBE} = S_{△ ACE} + S_{△ CBE} = S_{△ CBA}$,已知 AC=AB=13,设 AM=x,则 BM=13-x,由勾股定理,得 $CM^2=AC^2-AM^2=BC^2-BM^2$,
∴ $13^2 -x^2=10^2 -(13-x)^2$,解得$x=\frac{119}{13}$,
∴ $CM=\sqrt{13^2-(\frac{119}{13})^2}=\frac{120}{13}$,
∴ $S_{△ CBA}=\frac{1}{2}AB · CM=\frac{1}{2}×13×\frac{120}{13}=60$,
∴ 四边形 EBFC 的面积为 60.
一题多解：已证得四边形 EBFC 的面积 = $S_{△ CBA}$,过点 A 作 BC 的垂线交 BC 于点 G,则 AG 也为 BC 边上的中线(三线合一),
∴ $CG=\frac{1}{2}BC=5$,
∴ $AG=\sqrt{13^2-5^2}=12$,
∴ $S_{△ CBA}=\frac{1}{2}AG · BC=\frac{1}{2}×12×10=60$,
∴ 四边形 EBFC 的面积为 60.

6. ★★★ 如图,在长方形ABCD中,AB=4,AD=10,点Q是BC的中点,点P在AD边上运动,若△BPQ是腰长为5的等腰三角形,则AP的长为.＞＞ 对点专练 P65

6. 2或3或8 解析:
∵ AD=10,点 Q 是 BC 的中点,
∴ $BQ=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5$,如图,①以 B 为圆心,BQ 长为半径作圆,与 AD 交于点 $P_2$,此时 $BP_2=BQ$,则 $AP_2=\sqrt{BP_2^2-AB^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$;②以 Q 为圆心,QB 长为半径作圆,与 AD 交于点 $P_1,P_3$,过点 $P_1$作 $P_1E ⊥ BC$ 于 E,根据勾股定理, $QE=\sqrt{P_1Q^2-P_1E^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$,
∴ $AP_1=BE=BQ-QE=5-3=2$;同理 $AP_3=5+3=8$.综上所述,AP 的长为 2 或 3 或 8.

7. 方程思想 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=60°$,点$D$是$△ ABC$外一点,$△ BCD$是等边三角形,过点$D$分别作射线$AB$,$AC$的垂线,垂足分别为$E$,$F$,若$CF=3BE$,则$\frac{AB}{AC}$的值为。

7. $\frac{7}{5}$ 解析:在 AE 的延长线上取点 G,使得∠AGD=60°,延长 GD 交 AF 的延长线于点 H,
∵ ∠A=∠G=60°,
∴ ∠H=60°,即△AGH 为等边三角形.
∵ △BCD 为等边三角形,
∴ ∠CBD=∠BCD=60°,BD=CD=BC.
∵ ∠ABC+∠GBD=120°,∠GDB+∠GBD=120°,
∴ ∠ABC=∠GDB,
∴ △ABC≌△GDB(AAS),同理可证△ABC≌△HCD(AAS),
∴ △ABC≌△GDB≌△HCD,
∴ AB=GD=CH,AC=DH=BG.
∵ DE ⊥ BG,DF ⊥ CH,
∴ ∠FDH=∠EDG=30°,
∴ 在 Rt△GED 和 Rt△HFD 中,DH=2FH,GD=2GE.设 BE=x,FH=y,则 CF=3x,CH=3x+y,DH=2y,
∴ GD=CH=3x+y,BG=DH=2y,
∴ GE=2y-x,
∴ GD=2GE=4y-2x,
∴ 3x+y=4y-2x,
∴ $y=\frac{5}{3}x$,
∴ $AB=GD=3x+\frac{5}{3}x=\frac{14}{3}x$,$AC=DH=2×\frac{5}{3}x=\frac{10}{3}x$,
∴ $\frac{AB}{AC}=\frac{7}{5}$.