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1. 如图,AC与BD交于点O,OA = OD,不添加辅助线,用“ASA”判定$△ ABO ≌ △ DCO$,需要添加的条件是 (
A.$∠ B = ∠ C$
B.$∠ A = ∠ D$
C.$AB = DC$
D.$OB = OC$
第1题图 第2题图
B
)A.$∠ B = ∠ C$
B.$∠ A = ∠ D$
C.$AB = DC$
D.$OB = OC$
第1题图 第2题图
答案
∵AC与BD交于点O,
∴∠AOB = ∠DOC.
∵OA = OD,
∴当∠A = ∠D时,可根据“ASA”判定$△ABO≌△DCO$(“轴对称模型”).
2. 教材P76例3变式 [2026沧州十五中月考] 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB = 90°, BC = 2\ \mathrm{cm}, CD ⊥ AB$于点$D$. 在$AC$上取一点$E$,使$EC = BC$,过点$E$作$EF ⊥ AC$于点$E$,交$CD$的延长线于点$F$. 若$EF = 5\ \mathrm{cm}$,则$AE =\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$.
答案
∵ ∠ACB = 90°,
∴ ∠ECF + ∠BCD = 90°.
∵ CD ⊥ AB,
∴ ∠BCD + ∠B = 90°,
∴ ∠B = ∠ECF. 又
∵ BC = CE,∠ACB = ∠FEC = 90°,
∴ △ABC≌△FCE(ASA),
∴ AC = EF.
∵ AE = AC - CE,BC = 2 cm,EF = 5 cm,
∴ AE = 5 - 2 = 3(cm).
3. [2026泸州期末] 如图，$DF ⊥ AC$于点$F$，$BE ⊥ AC$于点$E$，$CE = AF$，$AB // CD$，求证：$DF = BE$.
答案
证明:
∵ AB//CD,
∴ ∠A = ∠C(两直线平行,内错角相等).
∵ CE = AF,
∴ CE + EF = AF + EF,
∴ AE = CF(等式的基本性质1).
∵ DF ⊥ AC,BE ⊥ AC,
∴ ∠AEB = ∠CFD = 90°(垂直的定义).
在△ABE和△CDF中,
∠A = ∠C(已证),AE = CF(已证),∠AEB = ∠CFD(已证),
∴ △ABE≌△CDF(ASA),
∴ DF = BE(全等三角形的对应边相等).
∵ AB//CD,
∴ ∠A = ∠C(两直线平行,内错角相等).
∵ CE = AF,
∴ CE + EF = AF + EF,
∴ AE = CF(等式的基本性质1).
∵ DF ⊥ AC,BE ⊥ AC,
∴ ∠AEB = ∠CFD = 90°(垂直的定义).
在△ABE和△CDF中,
∠A = ∠C(已证),AE = CF(已证),∠AEB = ∠CFD(已证),
∴ △ABE≌△CDF(ASA),
∴ DF = BE(全等三角形的对应边相等).
4. 新趋势·尺规作图 如图是一块缺角的$△ ABC$残片.
(1)请你利用尺规,作一个和$△ ABC$全等的三角形;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)请你写出证明过程.
(1)请你利用尺规,作一个和$△ ABC$全等的三角形;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)请你写出证明过程.
答案
(1)如图,△FDE即所求.
(2)根据作图可得,
∠EFD = ∠A(已作),FD = AB(已作),∠EDF = ∠B(已作),
∴ △FDE≌△ABC(ASA).
5. 教材P88 习题T7变式 小华同学周末在家做家务，不慎把家里的一块三角形玻璃打碎成了如图所示的四块，小华要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，可以选择带
①②(答案不唯一)
去.（填序号）答案
①②(答案不唯一) 可以带①②去,符合三角形全等的基本事实“ASA”.
6. [2026吉林期末]八年级的数学兴趣小组开展了测量教学楼的高度的实践活动，方案如下：如图，①在旗杆CD与教学楼AB之间选一个点P；②利用测角仪分别测得旗杆顶点的视线PC及教学楼顶的视线PA与地面DB的夹角$∠ CPD = 40°, ∠ APB = 50°$；③利用卷尺测量点P到楼底的距离$PB = 9\ \mathrm{m}$；④利用激光测长仪测得旗杆的高度$CD = 9\ \mathrm{m}$；⑤利用卷尺测量旗杆与教学楼之间的距离$DB = 27\ \mathrm{m}$. 根据数学兴趣小组测量的数据，求教学楼的高度AB.
答案
解:根据题意,得 CD ⊥ BD,AB ⊥ BD,
∴ ∠CDP = ∠PBA = 90°(垂直的定义),
∴ ∠DCP + ∠CPD = 90°.
∵ ∠CPD = 40°(已知),∠BPA = 50°(已知),
∴ ∠CPD + ∠BPA = 90°,
∴ ∠DCP = ∠BPA(等角的余角相等).
在△CDP和△PBA中,∠DCP = ∠BPA(已证),CD = PB(已知),∠CDP = ∠PBA(已证),
∴ △CDP≌△PBA(ASA),
∴ AB = PD = BD - PB = 27 - 9 = 18(m),
∴ 教学楼的高度AB为18 m.
∴ ∠CDP = ∠PBA = 90°(垂直的定义),
∴ ∠DCP + ∠CPD = 90°.
∵ ∠CPD = 40°(已知),∠BPA = 50°(已知),
∴ ∠CPD + ∠BPA = 90°,
∴ ∠DCP = ∠BPA(等角的余角相等).
在△CDP和△PBA中,∠DCP = ∠BPA(已证),CD = PB(已知),∠CDP = ∠PBA(已证),
∴ △CDP≌△PBA(ASA),
∴ AB = PD = BD - PB = 27 - 9 = 18(m),
∴ 教学楼的高度AB为18 m.
