6. 如图,$C$是线段$AB$上的一点,$M$是$AB$的中点,$N$是$CB$的中点.
(1)若$AB=13$,$BC=5$,求$MN$的长度;
(2)若$AC=m$,求$MN$的长度.

解:(1)因为 M 是 AB 的中点,$AB=13$,
所以 $BM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×13=6.5.$
因为 N 是 CB 的中点,$CB=5$,
所以 $BN=\frac{1}{2}CB=\frac{1}{2}×5=2.5$,
所以 $MN=BM-BN=4.$
(2)因为 M 是 AB 的中点,N 是 CB 的中点,
所以 $BM=\frac{1}{2}AB,BN=\frac{1}{2}CB.$
因为 $AC=m$,
所以 $MN=BM-BN=\frac{1}{2}AB-\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AB-BC)=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}m.$

7. 如图,点 $C,D$ 在线段 $AB$ 上, $M,N$ 分别是线段 $AC,BD$ 的中点,则 $MN=\dfrac{1}{2}(AB+CD)$, 试说明理由.

解:因为 M 是 AC 的中点,所以 $MC=\frac{1}{2}AC.$
因为 N 是 BD 的中点,所以 $DN=\frac{1}{2}BD.$
因为 $MN=MC+CD+DN$,
所以 $MN=\frac{1}{2}AC+CD+\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}(AC+BD)+CD.$
因为 $AC+BD=AB-CD$,所以 $MN=\frac{1}{2}(AB-CD)+CD=\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}(AB+CD).$

8. 已知线段$AB=6\ \mathrm{cm}$,$C$为$AB$的中点,$D$是$AB$上一点,且$CD=2\ \mathrm{cm}$,求线段$BD$的长.

解:因为 C 是 AB 的中点,所以 $BC=\frac{1}{2}AB=3\ \mathrm{cm}.$
①当点 D 在线段 AC 上时,$BD=BC+CD.$
因为 $CD=2\ \mathrm{cm}$,所以 $BD=BC+CD=3+2=5(\mathrm{cm});$
②当点 D 在线段 BC 上时,$BD=BC-CD.$
因为 $CD=2\ \mathrm{cm}$,所以 $BD=BC-CD=3-2=1(\mathrm{cm}).$
综上,线段 BD 的长为 5 cm 或 1 cm.

9. 已知 A,B,C 三点在同一条直线上,M,N 分别为 AB,BC 的中点,且 $AB=60,BC=40$,求线段MN 的长.

解:①若点 C 在点 A,B 之间,如答图①.
因为 M,N 分别为 AB,BC 的中点,
所以 $BM=\frac{1}{2}AB,BN=\frac{1}{2}BC.$
因为 $MN=BM-BN$,
所以 $MN=\frac{1}{2}(AB-BC)=\frac{1}{2}×(60-40)=10;$

②若点 C 在线段 AB 的延长线上,如答图②.
因为 M,N 分别为 AB,BC 的中点,
所以 $BM=\frac{1}{2}AB,BN=\frac{1}{2}BC.$
因为 $MN=MB+BN$,
所以 $MN=\frac{1}{2}(AB+BC)=\frac{1}{2}(60+40)=50.$
综上,线段 MN 的长为 10 或 50.

10. 如图,直线 $l$ 上有 $A,B$ 两点,线段 $AB=10\ \mathrm{cm}$. 点 $C$ 在直线 $l$ 上,且满足 $BC=4\ \mathrm{cm}$,$P$ 为线段$AC$ 的中点,求线段 $BP$ 的长.

解:当点 C 在线段 AB 上时,如答图①.

因为 $AB=10\ \mathrm{cm},BC=4\ \mathrm{cm}$,
所以 $AC=AB-BC=10-4=6(\mathrm{cm}).$
因为 P 为线段 AC 的中点,
所以 $PC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3(\mathrm{cm}),$
所以 $BP=PC+BC=3+4=7(\mathrm{cm}).$
当点 C 在线段 AB 的延长线上时,如答图②.
因为 $AB=10\ \mathrm{cm},BC=4\ \mathrm{cm}$,
所以 $AC=AB+BC=10+4=14(\mathrm{cm}).$
因为 P 为线段 AC 的中点,
所以 $PC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×14=7(\mathrm{cm}),$
所以 $BP=PC-BC=7-4=3(\mathrm{cm}).$
综上,线段 BP 的长为 7 cm 或 3 cm.