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7. 一个圆锥的体积是$3π$立方分米,底面半径是3分米,它的高是(
1
)分米。答案
7. 1
解析
【分析】
这是一道已知圆锥体积和底面半径求高的逆向计算问题，首先我们需要回忆圆锥的体积计算公式，明确公式中各个量的含义，之后对公式做恒等变形，把要求的高单独整理到等式一侧，再把题目给出的体积、底面半径的数值代入变形后的公式，通过约分化简就能算出高的数值，计算时要特别注意圆锥体积公式里的1/3项，逆向推导求高时要对应乘3，不要遗漏。
【解析】
第一步：写出圆锥的标准体积公式：
圆锥体积$V=\frac{1}{3}π r^2 h$，其中$r$是底面半径，$h$是圆锥的高。
第二步：对公式变形，推导高的计算式：
将等式两边同时乘3，再同时除以$π r^2$，可得$h=\frac{3V}{π r^2}$。
第三步：代入已知条件计算：
已知$V=3π$立方分米，$r=3$分米，代入上式：
$h=\frac{3× 3π}{π × 3^2}=\frac{9π}{9π}=1$分米。
【答案】
1
【知识点】
圆锥体积公式，代数式化简求值
【点评】
本题属于圆锥体积相关的基础计算题，核心考察圆锥体积公式的逆向运用，易错点是很多同学会遗忘圆锥体积公式中的1/3项，直接用体积除以底面积得到错误结果，解题时要注意区分圆锥和圆柱的体积关系，牢记圆锥体积是等底等高圆柱体积的1/3，逆向求高时要先将体积乘3再除以底面积。
【难度系数】
0.7
这是一道已知圆锥体积和底面半径求高的逆向计算问题，首先我们需要回忆圆锥的体积计算公式，明确公式中各个量的含义，之后对公式做恒等变形，把要求的高单独整理到等式一侧，再把题目给出的体积、底面半径的数值代入变形后的公式，通过约分化简就能算出高的数值，计算时要特别注意圆锥体积公式里的1/3项，逆向推导求高时要对应乘3，不要遗漏。
【解析】
第一步：写出圆锥的标准体积公式：
圆锥体积$V=\frac{1}{3}π r^2 h$，其中$r$是底面半径，$h$是圆锥的高。
第二步：对公式变形，推导高的计算式：
将等式两边同时乘3，再同时除以$π r^2$，可得$h=\frac{3V}{π r^2}$。
第三步：代入已知条件计算：
已知$V=3π$立方分米，$r=3$分米，代入上式：
$h=\frac{3× 3π}{π × 3^2}=\frac{9π}{9π}=1$分米。
【答案】
1
【知识点】
圆锥体积公式，代数式化简求值
【点评】
本题属于圆锥体积相关的基础计算题，核心考察圆锥体积公式的逆向运用，易错点是很多同学会遗忘圆锥体积公式中的1/3项，直接用体积除以底面积得到错误结果，解题时要注意区分圆锥和圆柱的体积关系，牢记圆锥体积是等底等高圆柱体积的1/3，逆向求高时要先将体积乘3再除以底面积。
【难度系数】
0.7
8. 把一个平面图形按$n:1$的比放大,放大后的面积与放大前的面积的比是( $\quad$ : $\quad$ )。
答案
8. $n^{2}:1$
解析
【分析】
我们可以从平面图形放大的定义入手思考：首先图形按n:1的比放大，指的是图形所有对应边的长度都放大为原来的n倍。而面积是二维度量，我们可以先从熟悉的基础图形（比如正方形、长方形）举例推导，再推广到所有平面图形：假设原图形某条关键边长为a，放大后对应边长就是na，代入面积公式计算放大前后的面积，再求两者的比，就能得到结果。
【解析】
1. 明确放大规则：把平面图形按$n:1$的比放大，代表图形所有对应线段的长度都变为原来的$n$倍。
2. 推导面积关系：任意平面图形的面积都和对应边长的平方成正比，设原图形面积为$S$，对应边长为$a$，满足$S = k· a^2$（$k$为和图形形状相关的常数，比如正方形$k=1$，三角形$k=\frac{1}{2}$等）。
放大后对应边长为$n· a$，放大后的面积$S' = k· (n· a)^2 = k· n^2a^2 = n^2· (k· a^2) =n^2S$。
3. 求面积比：放大后面积与放大前面积的比为$S':S = n^2S : S =n^2:1$。
【答案】
$n^{2}:1$
【知识点】
图形的放大缩小，边长与面积比例关系
【点评】
本题考察图形缩放的维度变化规律，很容易出现直接把边长比等同于面积比的错误，要注意区分一维长度的缩放倍数和二维面积的缩放倍数的差异，平面图形缩放后面积比是对应边长比的平方，这个规律对所有平面图形都适用。
【难度系数】
0.7
我们可以从平面图形放大的定义入手思考：首先图形按n:1的比放大，指的是图形所有对应边的长度都放大为原来的n倍。而面积是二维度量，我们可以先从熟悉的基础图形（比如正方形、长方形）举例推导，再推广到所有平面图形：假设原图形某条关键边长为a，放大后对应边长就是na，代入面积公式计算放大前后的面积，再求两者的比，就能得到结果。
【解析】
1. 明确放大规则：把平面图形按$n:1$的比放大，代表图形所有对应线段的长度都变为原来的$n$倍。
2. 推导面积关系：任意平面图形的面积都和对应边长的平方成正比，设原图形面积为$S$，对应边长为$a$，满足$S = k· a^2$（$k$为和图形形状相关的常数，比如正方形$k=1$，三角形$k=\frac{1}{2}$等）。
放大后对应边长为$n· a$，放大后的面积$S' = k· (n· a)^2 = k· n^2a^2 = n^2· (k· a^2) =n^2S$。
3. 求面积比：放大后面积与放大前面积的比为$S':S = n^2S : S =n^2:1$。
【答案】
$n^{2}:1$
【知识点】
图形的放大缩小，边长与面积比例关系
【点评】
本题考察图形缩放的维度变化规律，很容易出现直接把边长比等同于面积比的错误，要注意区分一维长度的缩放倍数和二维面积的缩放倍数的差异，平面图形缩放后面积比是对应边长比的平方，这个规律对所有平面图形都适用。
【难度系数】
0.7
9. 在一幅中国地图上,用3厘米的线段表示实际距离270千米,这幅地图的比例尺是(
$1:9000000$
);在这幅地图上量得盐城到北京的距离是10.5厘米,盐城到北京的实际距离是(945
)千米。答案
9. $1:9000000$ 945
解析
【分析】
这道题考查比例尺的相关应用，解题思路非常清晰：首先要牢记比例尺的核心定义是「图上距离:实际距离」，计算的第一步必须先统一图上距离和实际距离的单位，避免单位不匹配导致结果出错。第一空已知3厘米图上距离对应270千米实际距离，先把实际距离的千米单位转换为和图上一致的厘米单位，代入比例尺公式化简就能得到结果。第二空既可以先算出图上1厘米代表的实际千米数，再乘测得的10.5厘米图上距离直接得到实际千米数，也可以用「实际距离=图上距离÷比例尺」的公式计算，最后把结果的厘米单位转回千米即可。
【解析】
1. 计算这幅地图的比例尺：
先统一单位：因为1千米=100000厘米，所以270千米=270×100000=27000000厘米
代入比例尺公式：
比例尺 = 图上距离:实际距离 = 3:27000000 = 1:9000000
2. 计算盐城到北京的实际距离：
先算出该地图1厘米图上距离对应的实际距离：270÷3=90千米
因此10.5厘米对应的实际距离为：10.5×90=945千米
也可通过公式推导验证：实际距离=10.5÷(1/9000000)=94500000厘米=945千米，结果一致。
【答案】
$1:9000000$ 945
【知识点】
比例尺计算，长度单位换算
【点评】
本题是比例尺板块的基础常规题型，易错点集中在容易忽略图上距离和实际距离的单位统一，只要牢记千米和厘米的换算进率，熟练掌握比例尺的基础公式，就可以顺利完成计算，整体难度不高。
【难度系数】
0.8
这道题考查比例尺的相关应用，解题思路非常清晰：首先要牢记比例尺的核心定义是「图上距离:实际距离」，计算的第一步必须先统一图上距离和实际距离的单位，避免单位不匹配导致结果出错。第一空已知3厘米图上距离对应270千米实际距离，先把实际距离的千米单位转换为和图上一致的厘米单位，代入比例尺公式化简就能得到结果。第二空既可以先算出图上1厘米代表的实际千米数，再乘测得的10.5厘米图上距离直接得到实际千米数，也可以用「实际距离=图上距离÷比例尺」的公式计算，最后把结果的厘米单位转回千米即可。
【解析】
1. 计算这幅地图的比例尺：
先统一单位：因为1千米=100000厘米，所以270千米=270×100000=27000000厘米
代入比例尺公式：
比例尺 = 图上距离:实际距离 = 3:27000000 = 1:9000000
2. 计算盐城到北京的实际距离：
先算出该地图1厘米图上距离对应的实际距离：270÷3=90千米
因此10.5厘米对应的实际距离为：10.5×90=945千米
也可通过公式推导验证：实际距离=10.5÷(1/9000000)=94500000厘米=945千米，结果一致。
【答案】
$1:9000000$ 945
【知识点】
比例尺计算，长度单位换算
【点评】
本题是比例尺板块的基础常规题型，易错点集中在容易忽略图上距离和实际距离的单位统一，只要牢记千米和厘米的换算进率，熟练掌握比例尺的基础公式，就可以顺利完成计算，整体难度不高。
【难度系数】
0.8
10. 一个圆柱的侧面积是31.4平方米,高和底面半径相等,它的表面积是(
62.8
)平方米。答案
10. 62.8
解析
【分析】
我们先从已知条件出发，首先回忆圆柱侧面积的计算公式，题目已经给出侧面积数值，还说明高和底面半径相等，不需要强行计算出半径的具体数值，只需要把h=r代入侧面积公式，就能推导出侧面积和2个底面积的等量关系，再结合圆柱表面积=侧面积+2个底面积的公式，直接代入数值就能快速算出结果，避免复杂的开方运算。
【解析】
1. 写出圆柱侧面积公式：设圆柱底面半径为r，高为h，圆柱侧面积$S_{侧} = 底面周长 × 高 = 2π r · h$。
2. 代入等量关系：题目已知h=r，将h替换为r代入侧面积公式，可得：
$S_{侧} = 2π r · r = 2π r^2$
已知$S_{侧}=31.4$平方米，因此直接得到$2π r^2=31.4$平方米。
3. 计算两个底面积总和：圆柱单个底面的面积为$π r^2$，两个底面积之和$S_{底总}=2×π r^2$，刚好等于推导得到的31.4平方米。
4. 计算总表面积：圆柱表面积$S_{表}=S_{侧}+S_{底总}=31.4+31.4=62.8$平方米。
【答案】
62.8
【知识点】
圆柱侧面积计算，圆柱表面积计算
【点评】
本题不需要求解底面半径的具体数值，通过等量代换的技巧直接关联侧面积和两个底面积的总和，大幅简化了计算过程，避免了复杂运算出错，重点考察学生对圆柱表面积相关公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
我们先从已知条件出发，首先回忆圆柱侧面积的计算公式，题目已经给出侧面积数值，还说明高和底面半径相等，不需要强行计算出半径的具体数值，只需要把h=r代入侧面积公式，就能推导出侧面积和2个底面积的等量关系，再结合圆柱表面积=侧面积+2个底面积的公式，直接代入数值就能快速算出结果，避免复杂的开方运算。
【解析】
1. 写出圆柱侧面积公式：设圆柱底面半径为r，高为h，圆柱侧面积$S_{侧} = 底面周长 × 高 = 2π r · h$。
2. 代入等量关系：题目已知h=r，将h替换为r代入侧面积公式，可得：
$S_{侧} = 2π r · r = 2π r^2$
已知$S_{侧}=31.4$平方米，因此直接得到$2π r^2=31.4$平方米。
3. 计算两个底面积总和：圆柱单个底面的面积为$π r^2$，两个底面积之和$S_{底总}=2×π r^2$，刚好等于推导得到的31.4平方米。
4. 计算总表面积：圆柱表面积$S_{表}=S_{侧}+S_{底总}=31.4+31.4=62.8$平方米。
【答案】
62.8
【知识点】
圆柱侧面积计算，圆柱表面积计算
【点评】
本题不需要求解底面半径的具体数值，通过等量代换的技巧直接关联侧面积和两个底面积的总和，大幅简化了计算过程，避免了复杂运算出错，重点考察学生对圆柱表面积相关公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
11. 如左下图,一个圆柱高8 cm,将它的高增加2 cm,那么它的表面积将增加$8π\ \mathrm{cm}^{2}$。原来圆柱的体积是(
$32π$
)$\mathrm{cm}^{3}$。答案
11. $32π$
解析
【分析】
首先我们要明确：当圆柱的高增加时，上下两个底面的面积并没有发生改变，因此新增的表面积全部来自于高为2cm的新增圆柱段的侧面积。解题思路分三步：第一步，利用新增的表面积和新增的高度，结合圆柱侧面积公式求出圆柱的底面周长；第二步，通过底面周长计算出圆柱的底面半径；第三步，代入圆柱体积公式，结合原圆柱的高8cm，计算出原圆柱的体积即可。
【解析】
解：
1. 确定新增表面积的属性：高增加2cm后，圆柱上下底总面积没有变化，仅侧面积增加，因此新增的$8π\ \mathrm{cm}^2$就是高为2cm的小圆柱的侧面积。
2. 计算圆柱底面周长：
根据圆柱侧面积公式 $ S_{\mathrm{侧}} = C · \Delta h $，其中新增高度$\Delta h=2\ \mathrm{cm}$，可得底面周长：
$ C = \frac{S_{\mathrm{增}}}{\Delta h} = \frac{8π}{2} = 4π\ \mathrm{cm} $
3. 计算底面半径：
由圆的周长公式 $ C=2π r $，可得底面半径：
$ r = \frac{C}{2π} = \frac{4π}{2π} = 2\ \mathrm{cm} $
4. 计算原圆柱体积：
原圆柱高$h=8\ \mathrm{cm}$，根据圆柱体积公式 $ V=π r^2 h $：
$ V = π × 2^2 × 8 = 32π\ \mathrm{cm}^3 $
【答案】
$32π$
【知识点】
圆柱侧面积计算，圆柱体积计算
【点评】
本题的核心易错点是容易误认为高增加后新增的表面积包含新增的上下底面，实际上原圆柱的上下底面并未发生变化，新增部分仅为侧面积，理清这个逻辑后直接套用对应公式即可求解，属于圆柱相关的基础变式题。
【难度系数】
0.7
首先我们要明确：当圆柱的高增加时，上下两个底面的面积并没有发生改变，因此新增的表面积全部来自于高为2cm的新增圆柱段的侧面积。解题思路分三步：第一步，利用新增的表面积和新增的高度，结合圆柱侧面积公式求出圆柱的底面周长；第二步，通过底面周长计算出圆柱的底面半径；第三步，代入圆柱体积公式，结合原圆柱的高8cm，计算出原圆柱的体积即可。
【解析】
解：
1. 确定新增表面积的属性：高增加2cm后，圆柱上下底总面积没有变化，仅侧面积增加，因此新增的$8π\ \mathrm{cm}^2$就是高为2cm的小圆柱的侧面积。
2. 计算圆柱底面周长：
根据圆柱侧面积公式 $ S_{\mathrm{侧}} = C · \Delta h $，其中新增高度$\Delta h=2\ \mathrm{cm}$，可得底面周长：
$ C = \frac{S_{\mathrm{增}}}{\Delta h} = \frac{8π}{2} = 4π\ \mathrm{cm} $
3. 计算底面半径：
由圆的周长公式 $ C=2π r $，可得底面半径：
$ r = \frac{C}{2π} = \frac{4π}{2π} = 2\ \mathrm{cm} $
4. 计算原圆柱体积：
原圆柱高$h=8\ \mathrm{cm}$，根据圆柱体积公式 $ V=π r^2 h $：
$ V = π × 2^2 × 8 = 32π\ \mathrm{cm}^3 $
【答案】
$32π$
【知识点】
圆柱侧面积计算，圆柱体积计算
【点评】
本题的核心易错点是容易误认为高增加后新增的表面积包含新增的上下底面，实际上原圆柱的上下底面并未发生变化，新增部分仅为侧面积，理清这个逻辑后直接套用对应公式即可求解，属于圆柱相关的基础变式题。
【难度系数】
0.7
12. 张师傅把一张长方形铁皮按右上图裁剪,正好做成一个圆柱形的油漆桶。这个油漆桶的容积是(
$108π$
)升。(铁皮的厚度忽略不计)答案
12. $108π$
解析
【分析】
这道题的核心是挖掘裁剪铁皮的隐含长度关系来推导圆柱的参数：首先明确完整圆柱油漆桶由2个圆形底面和1个侧面长方形组成，对应题图的裁剪逻辑：原大铁皮的总长度等于底面圆的直径加底面圆的周长，原大铁皮的宽度等于2倍底面直径，也就是圆柱的高恰好等于原铁皮的宽度。我们可以先设底面半径为r，结合题图给出的原铁皮总长24.84分米的已知条件，先求出半径r，再得到圆柱的高h，最后代入圆柱容积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：设圆柱形油漆桶的底面半径为r分米。
根据裁剪的长度对应关系，原长方形铁皮的长 = 底面直径 + 底面圆周长，代入题图给出的原铁皮总长24.84dm列等式：
$2r + 2π r = 24.84$
代入π≈3.14计算：
$2r + 6.28r = 24.84$
$8.28r = 24.84$
解得 $r=3$
由题图隐含关系可知，油漆桶的高等于2倍底面直径：
$h=2×2r=4r=4×3=12\ \mathrm{分米}$
代入圆柱容积公式$V=π r^2 h$：
$V=π×3^2×12=108π\ \mathrm{立方分米}$
因为1立方分米=1升，因此油漆桶容积为$108π$升。
【答案】
$108π$
【知识点】
圆柱体积计算，圆的周长计算
【点评】
本题属于圆柱实际应用的典型题型，难点在于识别题图里没有直接标注的隐含等量关系，不少同学会忽略原铁皮长、宽和圆柱底面直径、周长、高的对应关系，找不到求解半径的入口，解题时先把圆柱的组成部分和裁剪图的各部分一一对应，就能快速理清推导逻辑。
【难度系数】
0.6
这道题的核心是挖掘裁剪铁皮的隐含长度关系来推导圆柱的参数：首先明确完整圆柱油漆桶由2个圆形底面和1个侧面长方形组成，对应题图的裁剪逻辑：原大铁皮的总长度等于底面圆的直径加底面圆的周长，原大铁皮的宽度等于2倍底面直径，也就是圆柱的高恰好等于原铁皮的宽度。我们可以先设底面半径为r，结合题图给出的原铁皮总长24.84分米的已知条件，先求出半径r，再得到圆柱的高h，最后代入圆柱容积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：设圆柱形油漆桶的底面半径为r分米。
根据裁剪的长度对应关系，原长方形铁皮的长 = 底面直径 + 底面圆周长，代入题图给出的原铁皮总长24.84dm列等式：
$2r + 2π r = 24.84$
代入π≈3.14计算：
$2r + 6.28r = 24.84$
$8.28r = 24.84$
解得 $r=3$
由题图隐含关系可知，油漆桶的高等于2倍底面直径：
$h=2×2r=4r=4×3=12\ \mathrm{分米}$
代入圆柱容积公式$V=π r^2 h$：
$V=π×3^2×12=108π\ \mathrm{立方分米}$
因为1立方分米=1升，因此油漆桶容积为$108π$升。
【答案】
$108π$
【知识点】
圆柱体积计算，圆的周长计算
【点评】
本题属于圆柱实际应用的典型题型，难点在于识别题图里没有直接标注的隐含等量关系，不少同学会忽略原铁皮长、宽和圆柱底面直径、周长、高的对应关系，找不到求解半径的入口，解题时先把圆柱的组成部分和裁剪图的各部分一一对应，就能快速理清推导逻辑。
【难度系数】
0.6
13. 甲、乙两筐苹果共重56千克,从甲筐中取出$\frac{2}{9}$放入乙筐,两筐苹果就同样重。甲筐苹果原来重(
36
)千克,乙筐苹果原来重(20
)千克。答案
13. 36 20
解析
【分析】
这道题的核心是抓住两筐苹果总重量始终不变的特点来解题。首先第一步，先推导操作完成后两筐各自的重量：已知两筐总重56千克，操作后两筐重量相等，所以此时每筐的重量就是总重量的一半，也就是56÷2=28千克。接下来思考，这个28千克是甲筐拿出自身原重量的2/9之后剩下的重量，说明甲筐剩下的重量占自身原重量的比例是1-2/9=7/9，也就是甲原重量的7/9等于28千克，用“对应量÷对应分率”就可以算出甲筐原来的重量，最后用总重量减去甲筐原重量就能得到乙筐原来的重量。
【解析】
1. 计算操作后两筐相等时的单筐重量：
两筐苹果总重量始终为56千克，操作后两筐重量相同，因此每筐重量为：
$56 ÷ 2 = 28$（千克）
2. 计算甲筐原来的重量：
从甲筐取出$\frac{2}{9}$后，甲筐剩余的重量占自身原重量的分率为：
$1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$
该分率对应的实际重量就是28千克，因此甲筐原重量为：
$28 ÷ \frac{7}{9} = 28 × \frac{9}{7} = 36$（千克）
3. 计算乙筐原来的重量：
用两筐总重量减去甲筐原重量，得到乙筐原重量：
$56 - 36 = 20$（千克）
【答案】
36 20
【知识点】
分数除法应用，总量不变问题
【点评】
本题是分数类和不变的典型应用题，易错点是容易误将甲取出的$\frac{2}{9}$当成总重量的分率，采用先求相等状态下单筐重量的解题思路，可以大幅降低解题难度，避免出错。
【难度系数】
0.6
这道题的核心是抓住两筐苹果总重量始终不变的特点来解题。首先第一步，先推导操作完成后两筐各自的重量：已知两筐总重56千克，操作后两筐重量相等，所以此时每筐的重量就是总重量的一半，也就是56÷2=28千克。接下来思考，这个28千克是甲筐拿出自身原重量的2/9之后剩下的重量，说明甲筐剩下的重量占自身原重量的比例是1-2/9=7/9，也就是甲原重量的7/9等于28千克，用“对应量÷对应分率”就可以算出甲筐原来的重量，最后用总重量减去甲筐原重量就能得到乙筐原来的重量。
【解析】
1. 计算操作后两筐相等时的单筐重量：
两筐苹果总重量始终为56千克，操作后两筐重量相同，因此每筐重量为：
$56 ÷ 2 = 28$（千克）
2. 计算甲筐原来的重量：
从甲筐取出$\frac{2}{9}$后，甲筐剩余的重量占自身原重量的分率为：
$1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$
该分率对应的实际重量就是28千克，因此甲筐原重量为：
$28 ÷ \frac{7}{9} = 28 × \frac{9}{7} = 36$（千克）
3. 计算乙筐原来的重量：
用两筐总重量减去甲筐原重量，得到乙筐原重量：
$56 - 36 = 20$（千克）
【答案】
36 20
【知识点】
分数除法应用，总量不变问题
【点评】
本题是分数类和不变的典型应用题，易错点是容易误将甲取出的$\frac{2}{9}$当成总重量的分率，采用先求相等状态下单筐重量的解题思路，可以大幅降低解题难度，避免出错。
【难度系数】
0.6
三、择优录取。(每题2分,共12分)
1. 将右图的圆柱任意切一刀,切面不可能是(
1. 将右图的圆柱任意切一刀,切面不可能是(
D
)。答案
1. D
解析
【分析】
我们可以结合圆柱的结构特征，通过逐一分析不同切割方向下圆柱的切面形状来解题：首先圆柱有两个互相平行的圆形底面，侧面是曲面。第一步先考虑平行于底面切割的情况，得到的切面是圆形，对应选项A；第二步考虑垂直于底面纵向竖直切割的情况，得到的切面是长方形，对应选项B；第三步考虑倾斜切割、既不平行也不垂直于底面的情况，此时可以得到椭圆形切面，对应选项C。最后判断三角形，圆柱的面无法通过一次切割得到三条首尾相连的直边，因此切面不可能是三角形，即可选出正确答案。
【解析】
我们对圆柱不同切割方式得到的切面逐一验证：
1. 若切割面平行于圆柱的上下底面，切面为圆形，对应选项A，是可以得到的；
2. 若切割面垂直于圆柱上下底面，沿圆柱纵向竖直切割，切面为长方形，对应选项B，是可以得到的；
3. 若切割面倾斜放置，既不平行也不垂直于圆柱底面，切面可以得到椭圆，对应选项C，是可以得到的；
4. 无论选择任何方向对圆柱切一刀，都无法得到三条边均为直线的三角形切面，因此切面不可能是选项D的三角形。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
圆柱的特征，立体图形截面
【点评】
本题结合实际切割场景考察对圆柱结构的理解，需要学生发挥空间想象能力，逐一验证不同切割方向对应的切面形状，排除所有可能的切面后锁定不可能的选项，能有效锻炼学生的空间几何思维。
【难度系数】
0.7
我们可以结合圆柱的结构特征，通过逐一分析不同切割方向下圆柱的切面形状来解题：首先圆柱有两个互相平行的圆形底面，侧面是曲面。第一步先考虑平行于底面切割的情况，得到的切面是圆形，对应选项A；第二步考虑垂直于底面纵向竖直切割的情况，得到的切面是长方形，对应选项B；第三步考虑倾斜切割、既不平行也不垂直于底面的情况，此时可以得到椭圆形切面，对应选项C。最后判断三角形，圆柱的面无法通过一次切割得到三条首尾相连的直边，因此切面不可能是三角形，即可选出正确答案。
【解析】
我们对圆柱不同切割方式得到的切面逐一验证：
1. 若切割面平行于圆柱的上下底面，切面为圆形，对应选项A，是可以得到的；
2. 若切割面垂直于圆柱上下底面，沿圆柱纵向竖直切割，切面为长方形，对应选项B，是可以得到的；
3. 若切割面倾斜放置，既不平行也不垂直于圆柱底面，切面可以得到椭圆，对应选项C，是可以得到的；
4. 无论选择任何方向对圆柱切一刀，都无法得到三条边均为直线的三角形切面，因此切面不可能是选项D的三角形。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
圆柱的特征，立体图形截面
【点评】
本题结合实际切割场景考察对圆柱结构的理解，需要学生发挥空间想象能力，逐一验证不同切割方向对应的切面形状，排除所有可能的切面后锁定不可能的选项，能有效锻炼学生的空间几何思维。
【难度系数】
0.7
2. 下面不能和9、3、$\frac{1}{3}$组成比例的数是(
A. 1.5
B. $\frac{1}{9}$
C. 1
D. 81
A
)。A. 1.5
B. $\frac{1}{9}$
C. 1
D. 81
答案
2. A
解析
【分析】
要判断哪个数不能和9、3、$\frac{1}{3}$组成比例，我们可以利用比例的基本性质来思考：如果四个数能组成比例，那么必然存在两组数的乘积相等（即外项积等于内项积）。我们可以先算出已知三个数两两相乘的所有结果，再分别把每个选项的数和三个已知数相乘，看得到的结果有没有和之前的乘积重合的，完全没有重合的那个数就无法组成比例。
【解析】
根据比例的基本性质：在比例中，两个外项的乘积等于两个内项的乘积，我们逐一验证选项：
1. 先计算已知三个数9、3、$\frac{1}{3}$的两两乘积：
$9×3=27$，$9×\frac{1}{3}=3$，$3×\frac{1}{3}=1$
2. 验证各选项：
选项A：1.5
计算1.5和三个已知数的乘积：$1.5×9=13.5$，$1.5×3=4.5$，$1.5×\frac{1}{3}=0.5$，这三个结果都不等于27、3、1中的任意一个，不存在相等的两组乘积，无法组成比例。
选项B：$\frac{1}{9}$
计算得$9×\frac{1}{9}=1$，和$3×\frac{1}{3}=1$相等，可组成比例$9:3=\frac{1}{3}:\frac{1}{9}$，符合比例要求。
选项C：1
计算得$9×\frac{1}{3}=3$，和$3×1=3$相等，可组成比例$9:3=1:\frac{1}{3}$，符合比例要求。
选项D：81
计算得$81×\frac{1}{3}=27$，和$9×3=27$相等，可组成比例$81:9=3:\frac{1}{3}$，符合比例要求。
因此不能组成比例的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
比例的基本性质，比例的判定
【点评】
本题属于比例判定的基础题型，核心是利用“内项积等于外项积”的性质替代直接枚举比例的繁琐操作，通过对比乘积的方式就能快速得到结果，做题时可以优先计算已知数的两两乘积，再和选项的乘积对比，能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.6
要判断哪个数不能和9、3、$\frac{1}{3}$组成比例，我们可以利用比例的基本性质来思考：如果四个数能组成比例，那么必然存在两组数的乘积相等（即外项积等于内项积）。我们可以先算出已知三个数两两相乘的所有结果，再分别把每个选项的数和三个已知数相乘，看得到的结果有没有和之前的乘积重合的，完全没有重合的那个数就无法组成比例。
【解析】
根据比例的基本性质：在比例中，两个外项的乘积等于两个内项的乘积，我们逐一验证选项：
1. 先计算已知三个数9、3、$\frac{1}{3}$的两两乘积：
$9×3=27$，$9×\frac{1}{3}=3$，$3×\frac{1}{3}=1$
2. 验证各选项：
选项A：1.5
计算1.5和三个已知数的乘积：$1.5×9=13.5$，$1.5×3=4.5$，$1.5×\frac{1}{3}=0.5$，这三个结果都不等于27、3、1中的任意一个，不存在相等的两组乘积，无法组成比例。
选项B：$\frac{1}{9}$
计算得$9×\frac{1}{9}=1$，和$3×\frac{1}{3}=1$相等，可组成比例$9:3=\frac{1}{3}:\frac{1}{9}$，符合比例要求。
选项C：1
计算得$9×\frac{1}{3}=3$，和$3×1=3$相等，可组成比例$9:3=1:\frac{1}{3}$，符合比例要求。
选项D：81
计算得$81×\frac{1}{3}=27$，和$9×3=27$相等，可组成比例$81:9=3:\frac{1}{3}$，符合比例要求。
因此不能组成比例的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
比例的基本性质，比例的判定
【点评】
本题属于比例判定的基础题型，核心是利用“内项积等于外项积”的性质替代直接枚举比例的繁琐操作，通过对比乘积的方式就能快速得到结果，做题时可以优先计算已知数的两两乘积，再和选项的乘积对比，能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.6
3. 一种精密零件长3毫米,把它画在比例尺是$12:1$的图纸上,零件长应是(
A. 0.025
B. 0.25
C. 3.6
D. 36
C
)厘米。A. 0.025
B. 0.25
C. 3.6
D. 36
答案
3. C
解析
【分析】
这道题是比例尺的常规应用题，解题思路可以按三步推进：第一步先明确比例尺的含义，题中的12:1是放大比例尺，代表图上距离和实际距离的比值是12，也就是图上长度是实际长度的12倍；第二步利用比例尺的推导公式“图上距离=实际距离×比例尺”，代入已知的实际零件长度3毫米，先算出以毫米为单位的图上长度；第三步按照长度单位的换算规则，把毫米转换为题目要求的厘米单位，最后匹配选项得到正确结果。
【解析】
解：1. 明确公式：比例尺=图上距离:实际距离，因此变形可得：图上距离=实际距离×比例尺
2. 代入数值计算图上距离（单位：毫米）：
已知实际零件长3毫米，比例尺为12:1，因此图上距离=3×12=36毫米
3. 单位换算：因为1厘米=10毫米，所以36毫米=36÷10=3.6厘米
因此图纸上零件的长度为3.6厘米，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
比例尺计算，长度单位换算
【点评】
本题属于基础的放大比例尺应用题型，常见的易错点有两个：一是混淆放大比例尺的倍数关系，误把图上距离算成实际距离的1/12得到错误结果；二是忽略题目要求的最终单位是厘米，直接把算出的36毫米当成结果错选D，解题时要注意区分放大、缩小比例尺，同时留意题干的单位要求。
【难度系数】
0.8
这道题是比例尺的常规应用题，解题思路可以按三步推进：第一步先明确比例尺的含义，题中的12:1是放大比例尺，代表图上距离和实际距离的比值是12，也就是图上长度是实际长度的12倍；第二步利用比例尺的推导公式“图上距离=实际距离×比例尺”，代入已知的实际零件长度3毫米，先算出以毫米为单位的图上长度；第三步按照长度单位的换算规则，把毫米转换为题目要求的厘米单位，最后匹配选项得到正确结果。
【解析】
解：1. 明确公式：比例尺=图上距离:实际距离，因此变形可得：图上距离=实际距离×比例尺
2. 代入数值计算图上距离（单位：毫米）：
已知实际零件长3毫米，比例尺为12:1，因此图上距离=3×12=36毫米
3. 单位换算：因为1厘米=10毫米，所以36毫米=36÷10=3.6厘米
因此图纸上零件的长度为3.6厘米，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
比例尺计算，长度单位换算
【点评】
本题属于基础的放大比例尺应用题型，常见的易错点有两个：一是混淆放大比例尺的倍数关系，误把图上距离算成实际距离的1/12得到错误结果；二是忽略题目要求的最终单位是厘米，直接把算出的36毫米当成结果错选D，解题时要注意区分放大、缩小比例尺，同时留意题干的单位要求。
【难度系数】
0.8
4. 把一个圆柱的侧面展开是一个正方形,圆柱的半径与高的比是(
A. $r:h$
B. $1:6.28$
C. $1:π$
D. $1:2π$
D
)。A. $r:h$
B. $1:6.28$
C. $1:π$
D. $1:2π$
答案
4. D
解析
【分析】
我们先从圆柱侧面展开图的特征入手思考：圆柱沿高展开得到的图形，其中一组邻边分别对应圆柱的底面周长和圆柱的高，题目说明展开后是正方形，代表这两条邻边长度完全相等，也就是圆柱的底面周长和高相等。接下来我们代入圆的周长公式，把高用半径的表达式表示出来，再对半径和高的比做化简，就能得到最终结果，解题时要注意不要遗漏周长公式里的系数2，避免算错比值。
【解析】
解：
1. 由圆柱侧面展开为正方形，可得等量关系：圆柱的底面周长 = 圆柱的高$h$
2. 圆柱底面是圆形，圆的周长公式为$C=2π r$（$r$为底面半径），因此可以推出：
$h = C = 2π r$
3. 代入求半径与高的比：
$r:h = r:2π r$
由于圆柱的半径$r$不为0，两边同时除以$r$进行化简，可得$r:h=1:2π$。
因此本题选D。
【答案】D
【知识点】
圆柱侧面展开图，圆的周长计算，比的化简
【点评】
本题是圆柱相关性质的经典基础题，核心考点是侧面展开正方形的边长和圆柱参数的对应关系，易错点是很多同学会漏掉圆周长公式里的系数2错选1:π，或是直接把π近似为6.28错选B，解题时要注意题目要求的是半径和高的最简代数比，不需要提前代入π的近似数值。
【难度系数】
0.7
我们先从圆柱侧面展开图的特征入手思考：圆柱沿高展开得到的图形，其中一组邻边分别对应圆柱的底面周长和圆柱的高，题目说明展开后是正方形，代表这两条邻边长度完全相等，也就是圆柱的底面周长和高相等。接下来我们代入圆的周长公式，把高用半径的表达式表示出来，再对半径和高的比做化简，就能得到最终结果，解题时要注意不要遗漏周长公式里的系数2，避免算错比值。
【解析】
解：
1. 由圆柱侧面展开为正方形，可得等量关系：圆柱的底面周长 = 圆柱的高$h$
2. 圆柱底面是圆形，圆的周长公式为$C=2π r$（$r$为底面半径），因此可以推出：
$h = C = 2π r$
3. 代入求半径与高的比：
$r:h = r:2π r$
由于圆柱的半径$r$不为0，两边同时除以$r$进行化简，可得$r:h=1:2π$。
因此本题选D。
【答案】D
【知识点】
圆柱侧面展开图，圆的周长计算，比的化简
【点评】
本题是圆柱相关性质的经典基础题，核心考点是侧面展开正方形的边长和圆柱参数的对应关系，易错点是很多同学会漏掉圆周长公式里的系数2错选1:π，或是直接把π近似为6.28错选B，解题时要注意题目要求的是半径和高的最简代数比，不需要提前代入π的近似数值。
【难度系数】
0.7
5. 一个圆柱和一个圆锥的体积之比是$3:4$,底面积之比是$4:3$,高的比是(
A. $3:16$
B. $1:3$
C. $9:16$
D. $16:9$
A
)。A. $3:16$
B. $1:3$
C. $9:16$
D. $16:9$
答案
5. A
解析
【分析】
我们可以按照以下思路解题：首先回忆圆柱和圆锥的体积计算公式，题目已经给出两者的体积比和底面积比，我们可以直接把比值对应的数值当作体积、底面积的赋值代入公式，分别推导出圆柱的高和圆锥的高的表达式，最后计算两个高的比值并化简即可得到结果。这里要特别注意圆锥体积公式里带有1/3的系数，推导圆锥高的时候需要把体积乘3再除以底面积，不要遗漏这个关键步骤。
【解析】
1. 写出体积公式并变形求高：
圆柱体积公式：$V_{柱}=S_{柱}h_{柱}$，变形得圆柱的高：$h_{柱}=\frac{V_{柱}}{S_{柱}}$
圆锥体积公式：$V_{锥}=\frac{1}{3}S_{锥}h_{锥}$，变形得圆锥的高：$h_{锥}=\frac{3V_{锥}}{S_{锥}}$
2. 代入题目给定的比值赋值：
已知$V_{柱}:V_{锥}=3:4$，$S_{柱}:S_{锥}=4:3$，赋值$V_{柱}=3$，$V_{锥}=4$，$S_{柱}=4$，$S_{锥}=3$，代入高的表达式：
$h_{柱}=\frac{V_{柱}}{S_{柱}}=\frac{3}{4}$
$h_{锥}=\frac{3V_{锥}}{S_{锥}}=\frac{3×4}{3}=4$
3. 计算高的比值：
$h_{柱}:h_{锥}=\frac{3}{4}:4=3:16$
【答案】
A
【知识点】
圆柱体积计算，圆锥体积计算，比的化简
【点评】
本题是圆柱圆锥体积模块的常规题型，核心易错点是很多同学推导圆锥高的时候忘记乘3，忽略圆锥体积自带的1/3系数，从而算出错误的比值，解题时牢记两类立体图形体积公式的差异就能避免出错。
【难度系数】
0.5
我们可以按照以下思路解题：首先回忆圆柱和圆锥的体积计算公式，题目已经给出两者的体积比和底面积比，我们可以直接把比值对应的数值当作体积、底面积的赋值代入公式，分别推导出圆柱的高和圆锥的高的表达式，最后计算两个高的比值并化简即可得到结果。这里要特别注意圆锥体积公式里带有1/3的系数，推导圆锥高的时候需要把体积乘3再除以底面积，不要遗漏这个关键步骤。
【解析】
1. 写出体积公式并变形求高：
圆柱体积公式：$V_{柱}=S_{柱}h_{柱}$，变形得圆柱的高：$h_{柱}=\frac{V_{柱}}{S_{柱}}$
圆锥体积公式：$V_{锥}=\frac{1}{3}S_{锥}h_{锥}$，变形得圆锥的高：$h_{锥}=\frac{3V_{锥}}{S_{锥}}$
2. 代入题目给定的比值赋值：
已知$V_{柱}:V_{锥}=3:4$，$S_{柱}:S_{锥}=4:3$，赋值$V_{柱}=3$，$V_{锥}=4$，$S_{柱}=4$，$S_{锥}=3$，代入高的表达式：
$h_{柱}=\frac{V_{柱}}{S_{柱}}=\frac{3}{4}$
$h_{锥}=\frac{3V_{锥}}{S_{锥}}=\frac{3×4}{3}=4$
3. 计算高的比值：
$h_{柱}:h_{锥}=\frac{3}{4}:4=3:16$
【答案】
A
【知识点】
圆柱体积计算，圆锥体积计算，比的化简
【点评】
本题是圆柱圆锥体积模块的常规题型，核心易错点是很多同学推导圆锥高的时候忘记乘3，忽略圆锥体积自带的1/3系数，从而算出错误的比值，解题时牢记两类立体图形体积公式的差异就能避免出错。
【难度系数】
0.5
6. 下列叙述中,正确的有(
(1)若$a:b=c:d$,则$b:d=a:c$。
(2)把一个三角形按$2:1$的比放大,那么它的面积按$4:1$的比放大。
(3)如果一个圆柱的体积是圆锥的3倍,那么它们一定等底等高。
(4)比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数,比值不变。
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
B
)个。(1)若$a:b=c:d$,则$b:d=a:c$。
(2)把一个三角形按$2:1$的比放大,那么它的面积按$4:1$的比放大。
(3)如果一个圆柱的体积是圆锥的3倍,那么它们一定等底等高。
(4)比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数,比值不变。
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案
6. B
解析
【分析】
我们的解题思路是逐个验证4个叙述的正误，统计正确叙述的总个数，再匹配对应选项。首先回忆比例的基本性质、图形放大的规律、圆柱与圆锥的体积关系、比的基本性质这几个核心知识点，对每一条描述逐一推导判断，排除错误说法，最终得到正确的数量。
【解析】
我们逐个分析4条叙述：
1. 分析叙述(1)：根据比例的基本性质，若$a:b=c:d$，可得外项积等于内项积，即$ad=bc$。比例的四个项均不为0，符合比例定义要求，将$ad=bc$变形为比例式，可推出$b:d=a:c$，因此该叙述正确。
2. 分析叙述(2)：三角形的面积公式为$S=\frac{1}{2}×底×高$，把三角形按$2:1$放大后，底和高都变为原来的2倍，新面积$S'=\frac{1}{2}×(2×底)×(2×高)=4× S$，即面积按$4:1$的比放大，该叙述正确。
3. 分析叙述(3)：圆柱体积公式为$V_柱=S_柱h_柱$，圆锥体积公式为$V_锥=\frac{1}{3}S_锥h_锥$，若$V_柱=3V_锥$，仅能推出$S_柱h_柱=S_锥h_锥$，不一定满足底面积和高分别相等，例如圆柱底面积为3、高为2，圆锥底面积为2、高为3，此时圆柱体积是圆锥的3倍，但二者不等底等高，该叙述错误。
4. 分析叙述(4)：比的基本性质要求比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值不变，该叙述没有排除0的特殊情况，不符合比的定义要求，因此是错误的。
综上，正确的叙述一共有2个。
【答案】
B
【知识点】
比例的基本性质，图形的放大与缩小，圆柱圆锥体积关系
【点评】
本题属于概念综合类易错题，覆盖了比、比例、立体图形体积、图形缩放多个高频考点，易错点集中在忽略比的基本性质中“0除外”的限定，以及误以为圆柱体积是圆锥3倍就必然等底等高，需要同学们准确记忆概念的完整限定条件，避免疏漏。
【难度系数】
0.6
我们的解题思路是逐个验证4个叙述的正误，统计正确叙述的总个数，再匹配对应选项。首先回忆比例的基本性质、图形放大的规律、圆柱与圆锥的体积关系、比的基本性质这几个核心知识点，对每一条描述逐一推导判断，排除错误说法，最终得到正确的数量。
【解析】
我们逐个分析4条叙述：
1. 分析叙述(1)：根据比例的基本性质，若$a:b=c:d$，可得外项积等于内项积，即$ad=bc$。比例的四个项均不为0，符合比例定义要求，将$ad=bc$变形为比例式，可推出$b:d=a:c$，因此该叙述正确。
2. 分析叙述(2)：三角形的面积公式为$S=\frac{1}{2}×底×高$，把三角形按$2:1$放大后，底和高都变为原来的2倍，新面积$S'=\frac{1}{2}×(2×底)×(2×高)=4× S$，即面积按$4:1$的比放大，该叙述正确。
3. 分析叙述(3)：圆柱体积公式为$V_柱=S_柱h_柱$，圆锥体积公式为$V_锥=\frac{1}{3}S_锥h_锥$，若$V_柱=3V_锥$，仅能推出$S_柱h_柱=S_锥h_锥$，不一定满足底面积和高分别相等，例如圆柱底面积为3、高为2，圆锥底面积为2、高为3，此时圆柱体积是圆锥的3倍，但二者不等底等高，该叙述错误。
4. 分析叙述(4)：比的基本性质要求比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值不变，该叙述没有排除0的特殊情况，不符合比的定义要求，因此是错误的。
综上，正确的叙述一共有2个。
【答案】
B
【知识点】
比例的基本性质，图形的放大与缩小，圆柱圆锥体积关系
【点评】
本题属于概念综合类易错题，覆盖了比、比例、立体图形体积、图形缩放多个高频考点，易错点集中在忽略比的基本性质中“0除外”的限定，以及误以为圆柱体积是圆锥3倍就必然等底等高，需要同学们准确记忆概念的完整限定条件，避免疏漏。
【难度系数】
0.6
